1、二 一般形式的柯西不等式,(a1b1+a2b2+a3b3)2,ai=kbi(i=1,2,3),ai=kbi(i=1,2,n),(a1b1+a2b2 +anbn)2,1.三维形式的柯西不等式中等号成立的条件写成 可以吗？提示：不可以.因为若出现bi=0(i=1,2,3)的情况，则分式不成立了，但是，可以利用分式的形式来形象地记忆.,2已知a，b，c大于0，且abc1，则a2b2c2的最小值为_.【解析】根据柯西不等式，有(a2b2c2)(121212)(abc)21，所以答案：,3.设x,y,zR,且满足x2+y2+z2=5,则x+2y+3z的最大值是_.【解析】(x+2y+3z)2(x2+y2
2、+z2)(12+22+32)=514=70,所以答案：,1.对柯西不等式一般形式的理解一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，左边是平方和的积,右边是积的和的平方.在使用时，关键是构造出符合柯西不等式的结构形式,2.柯西不等式的两个变式(1)设aiR,bi0(i=1,2,n),当且仅当bi=ai时(1in)等号成立.(2)设ai,bi同号且不为0(i=1,2,n),则当且仅当bi=ai时，等号成立.,类型 一 三维柯西不等式的应用 【典型例题】1.(2013湖南高考)已知a,b,cR,a+2b+3c=6,则a2+4b2
3、+9c2的最小值为_.2.ABC的三边长为a,b,c，其外接圆半径为R，求证：,【解题探究】1.题1中的条件a+2b+3c与待求a2+4b2+9c2有何关系？2.题2中，待证的式子的左边 应该如何转化才能利用柯西不等式证明？探究提示：1.题1中条件a+2b+3c与a2+4b2+9c2的关系是前者各项平方和为后者，根据三维形式的柯西不等式的特点可以构造三维形式的柯西不等式进行求解.,2.分析待证式子的左右两端可以发现右端不含有正弦，而含有外接圆的半径，所以需要借助正弦定理进行转化，然后利用柯西不等式证明.【解析】1.因为(12+12+12)(a2+4b2+9c2)(a+2b+3c)2=36，当且
4、仅当a=1,2b=1,3c=1即 时取“=”，所以a2+4b2+9c212.答案：12,2.由三角形中的正弦定理得： 所以同理于是左边,【互动探究】题1中，把题目改为“a,b,cR,a2+4b2+9c2=27,求a+2b+3c的最大值”.【解析】(a+2b+3c)2(12+12+12)(a2+4b2+9c2)=327=81,当且仅当a=2b=3c,即 (负值舍去)时取等号，所以a+2b+3c9.,【拓展提升】应用柯西不等式需要掌握的方法与技巧(1)构造符合柯西不等式的形式及条件可以巧拆常数.(2)构造符合柯西不等式的形式及条件可以重新安排各项的次序.(3)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以改
5、变式子的结构,从而达到使用柯西不等式的目的.(4)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以添项.,【变式训练】设P是ABC内的一点，x,y,z是P到三边的距离，R是ABC外接圆的半径，证明：【证明】由柯西不等式得，记S为ABC的面积，则 故不等式成立.,类型 二 柯西不等式的一般形式的应用 【典型例题】1.(2013重庆高二检测)已知 则a1x1a2x2anxn的最大值为_.2.已知a1,a2,an都是正实数，且a1+a2+an=1,求证：,【解题探究】1.题1中已知的两个条件与a1x1a2x2anxn有什么关系？2.题2中应该如何入手证明不等式成立？,探究提示：1.题1中已知的两个条件和a1x1
6、a2x2anxn恰好是柯西不等式的一般形式中不等号的两端.2.分析待证的不等式两端，可见左端的形式是一个无限的形式，而右端是常数，所以需要从左端的结构特点进行入手，分析其形式对比柯西不等式的一般形式，进行合理变形，结合已知条件中a1+a2+an=1利用柯西不等式转化证明.,【解析】1.根据柯西不等式的一般形式可知：所以(a1x1a2x2anxn)21.当且仅当ai=kbi时取“=”.即a1x1a2x2anxn1.答案：1,2.左边,右边,所以原不等式成立.,【拓展提升】应用柯西不等式的注意事项(1)对于利用柯西不等式证明不等式或求值等问题时,一般不能直接应用柯西不等式，需要对数学式子的形式进行
7、变化,拼凑出与一般形式的柯西不等式相似的结构,才能应用.(2)熟练掌握柯西不等式的一般形式，并能敏感地发现待求或待证式子与柯西不等式的关系，把数或字母的顺序对比柯西不等式中的数或字母的顺序,以便能使其形式一致起来,然后应用解题.,【变式训练】设a1a2anan+1,求证：【解题指南】这道题初看似乎无法使用柯西不等式，但改变其结构，我们不妨改为证：,【证明】为了运用柯西不等式，我们将a1an+1写成a1an+1=(a1a2)+(a2a3)+(anan+1),于是(a1a2)+(a2a3)+(anan+1)即所以故,【规范解答】利用柯西不等式解方程【典例】 【条件分析】,【规范解答】由柯西不等式，
8、得 .2分因为(x2+y2+z2)(8)2+62+(24)2=392,6分,又因为(8x+6y24z)2=392，所以(x2+y2+z2)(8)2+62+(24)2=(8x+6y24z)2，8分即不等式中只有等号成立.从而由柯西不等式中等号成立的条件，得 ,10分它与8x+6y24z=39联立，可得 12分,【失分警示】,【防范措施】1.对于结构的把握柯西不等式应用的前提是对其灵活地把握，特别是其形式需要熟记，并且要善于同已知条件相结合，构造使用柯西不等式.如本例需要将方程组中的数据与柯西不等式建立关系求解.,2.对于等号成立的条件对于等号成立的条件主要会出现两个方面的问题：(1)容易忽略等号
9、成立的条件的思考，导致求解不够全面而失分.(2)不能正确地得到等号成立的条件，如本例中的等号成立的条件就比较抽象，借助向量反而好理解，即向量共线时等号成立.,【类题试解】解方程组【解析】原方程组可化为运用柯西不等式得两式相乘，得当且仅当x=y=z=w=3时取等号.故原方程组的解为x=y=z=w=3.,1已知a2b2c21，x2y2z21，taxbycz，则t的取值范围为 ( )A(0,1) B(1,1) C(-1，0) D1,1【解析】选D.设因为由 得|t|1.所以t的取值范围是1,1,2已知x23y24z22，则|x3y4z|的最大值为 ( )A.2 B.4 C.6 D.8【解析】选B.由
10、柯西不等式知(x23y24z2)(134)(x3y4z)2.又因为x23y24z22，所以28(x3y4z)2，所以|x3y4z|4.当且仅当 即 时取等号.,3.若a,b,cR+，且a+b+c=1,则 的最大值为 ( )A.3 B. C.18 D.9【解析】选B.由柯西不等式得=33(a+b+c)+3=36=18.当且仅当 即 时取等号.,4.设x，y，z R，2x + 2y + z + 8 = 0，则(x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2的最小值为_.【解析】2x + 2y + z + 8 = 02(x - 1) + 2(y + 2) + (z - 3) = - 9，考虑以下两组向量u= (2,2,1) ，v=(x-1,y+2,z-3) ，根据柯西不等式可得：,当且仅当 即x=-1,y=-4,z=2时取等号.可得：答案：9,5.若x,y,zR+,且x+y+z=1，则 的最小值是_.【解析】当且仅当 即 时等号成立.答案：36,6.求 的最大值与最小值.【解析】令向量由柯西不等式 |ab| |a|b|得：所求最大值为 最小值为,
