1、数学分析中极限的求法总结1.1 利用极限的定义求极限用定义法证明极限，必须有一先决条件，即事先得知道极限的猜测值A，这种情况一般较困难推测出，只能对一些比较简单的数列或函数推测分析出极限值，然后再去用定义法去证明，在这个过程中，放缩法和含绝对值的不等式总是密切相连的。例： 的- 定义是指： 0， =( ，)0，0|x-0limxfAx| |f(x)-A| 为了求 可先对 的邻域半径适当限制， 如然后适x当放大f(x)-A(x) (必然保证(x)为无穷小)，此时往往要用含绝对值的不等式：x+a=|(x- )+( +a)|x- |+| +a| +a+10x0x0x域|x+a|=|(x- )+( +
2、a)| +a|-|x- | +a|-10从(x)2，求出2后，取min(1，2)，当0|x- | 时，就有|f(x)-A|.0x例： .设 limnxa则 有 12.linna证 明 ： 因 为 ,对 1()N， ,当 1nN时 ， -2nxa于 是 当1nN时 ， 22. .nxxxaa0其中 ，112NAxax是 一 个 定 数 ,再 由 2An解 得 2An,故 取。1m,N2.+=xnn当 时 ，1.2 利用极限的四则运算性质求极限定理 ：若极限 和 都存在，则函数 ， 当10li()xf0lim()xg)(xfg)(xgf时也存在且0x 0 00lim()lilixxfgf 0 00
3、()()x g又若 c 0，则 在 时也存在，且有 .)(xgf000lim()()lixxffg利用该种方法求极限方法简单，但要注意条件是每项或每个因子极限存在，一般情况所给的变量都不满足这个条件， 例如出现 ， ， 等情况，都不能直接运用四则运算法则，必须对变量进行变形。变形时经常用到因式分解、有理化的运算以及三角函数的有关公式。例：求 31limxx（ ）解：由于当 时， 与 的极限都不存在，故不能利用“极限的和等31x于和的极限”这一法则，先可进行化简这样得到的新函数当233 221()()()=-11xxx时，分子分母都有极限且分母的极限不为零，可用商的极限法则，即 3 211()l
4、imli=xx（ ）1.3 利用函数的连续性求极限定理 ：一切连续函数在其定义区间内的点处都连续，即如果 是函数 的2 0x)(xf定义区间内的一点，则有 。)()lim00xffx一切初等函数在其定义域内都是连续的，如果 是初等函数， 是其定()fx0x义域内一点，则求极限 时，可把 代入 中计算出函数值，即0li()xf0x= 。0lim()xf0对于连续函数的复合函数有这样的定理：若 在 连续且 ，()ux00()ux在 处连续，则复合函数 在 处也连续，从而()yfu0 ()yfx0或 。lioxofxlimlixoxof例： 2mlnsix解：复合函数 在处是连续的，即有=2lins
5、=liln102x1.4 利用无穷小的性质求极限我们知道在某一过程中无穷大量的倒数是无穷小量，有界变量乘无穷小是无穷小，对一些特殊的函数而言用其他方法很难求得，只能用这种方法来求。例：求 214-7lim3x解：当时 ，分母的极限为零，而分子的极限不为零，可先求处所给函数倒数的极限 ，故 。21li=04-7x 214-7lim=3x1.5 利用单调有界原理求极限这种方法是利用定理:单调有界数列必有极限，先判断极限存在，进而求极限。例：求 lim.na解：令 ，则 ， ，即 ，.xa1nnxaa1nx所以数列 单调递增，由单调有界定理知， 有限，并设为 ，n lim.A，即 ，所以1limlinnxax 4,2Aa=。14li.2n1.6 利用夹逼准则求极限 3已知 为三个数列，且满足：,nnzyx（1） ；),21(（2） ， 。anlimanli则极限 一定存在，且极限值也是 ，即 。利用夹逼准则求极x axnlim限关键在于从 的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个同极限值的数列使得 。nnyz例： ，求 的极限22211.xnnx解：因为 单调递减，所以存在最大项和最小项n222211.n nxn2222.11n n则 22nx又因为 ，则 。22limli1nnlim1nx
