1、1观察最小二乘多项式的数不稳定现象实验1 实验任务1.1 在-1,1区间上取 n=20 个等距节点，计算出以相应节点上的 的值作为数据样本，以 1，x， ， ， 为基函数做出 次的最小二乘拟合多2 =3,5,7,9项式。1.2 画出 曲线，其中 A 是确定最小二乘多项式系数的矩阵。ln()1.3 计算出不同阶最小二乘多项式给出的最小偏差 。()1.4 将基函数改为 1， ， ， ， ，其中 是勒让德多项式，结1() 2() () ()果如何？2 实验原理与理论基础2.1 一般线性最小二乘拟合的法方程组为：=(0,0) (0,1) (0,)(1,0) (1,1) (1,) (,0) (,1) (
2、,)01 (0,)(1,)(,)由于以 1，x， ， ， 为基函数，所以 。2 = ， =0,1把 代入一般线性最小二乘拟合的法方程组中可得多项式拟合= ， =0,1的法方程组。2.2 最小二乘拟合多项式的存在唯一性：定理 1：设节点 互异，则多项式拟合的法方程组的解存在唯一性。0， 1， ， 定理 2：设 是多项式拟合的法方程组的解，则0， 1， ， 是最小二乘拟合多项式。()=02.3 矩阵 A 的条件数是 cond(A)= 。根据范式的不同矩阵的条件数也1有 3 中，这里选取 为 A 的 2-范式。22.4 勒让德多项式 0=1， 1= ， +1=2+1+1() +11()， 13 实验
3、内容及实验结果1.基函数为 1，x， ， ，2 3.1 在-1,1 区间上取 n=20 个等距节点，计算出以相应节点上的 ex 的值作为数据样本。=1+， =219， =0， 1， ， 19=， =0， 1， ， 193.2 计算法方程组对应得系数矩阵，及增广矩阵。系数矩阵的的第 i 行，第 j 列的元素为,=(1,1)=19=0113.3 求系数矩阵的条件数。cond(A)= 。13.4 化简增广矩阵为简化行阶梯型矩阵，得出法方程组的解。其中第一行是三阶最小二乘多项式的系数，第二行是五阶最小二乘多项式的系数等等。所以三阶最小二乘多项式为： =0.9955+0.9976+0.54042+0.1
4、7703五阶最小二乘多项式： =1+0.49922+0.16653+0.04384+0.00875七阶最小二乘多项式：=1+0.5+0.1667+0.04164+0.00835+0.00146+0.000204577九阶最小二乘多项式同样代入系数可得。3.5 cond(A)的取值如下图所示，分别是3,5,7,9,11,13,15阶行列式对应得A的条件3数：画出 的曲线：ln()分析 的曲线可看出，随着 l 增大，cond(A)迅速增大。这意味着ln()当 l 越大时，正规方程组的病态越严重。3.6 计算出不同阶最小二乘多项式给出的最小偏差 。()()=19=0()2， =3,5,7,9，(3)
5、=0.000313692373446139(5)=2.2456610755954808，(7)=4.0116037777361013(9)=2.2581973136631718可以看出随着多项式阶数的增大，其最小偏差在迅速减小。这似乎是和 3.5 中的结论“l 越大时，正规方程组的病态越严重 ”相悖。3.7 为了进一步研究这个问题，我们取 =3,5,7,9,11,13下图是 cond(A)的取值，分别是 3,5,7,9,11,13,15 阶行列式对应得 A 的条件数。 下图是 曲线，可以发现曲线走势基本与 时确定的曲ln() =3,5,7,94线走势一致。计算 ， ，(11)=7.511924
6、(13)=9.9051523(15)=3.420521对比 的值我们可以得出结论，随着拟合多项式次数的(13)， (5)， (7)， (9)增大 A 的条件数迅速增大，确定最小二乘多项式的方程组的病态程度也随之增加。这在偏差中反映出来的便是，刚开始时次数增大偏差减小，当次数达到一定程度后，次数越大，偏差反而越大。2 基函数为勒让德多项式3.8 把基函数改为勒让德多项式组成的基函数：0=1， 1= ， +1=2+1+1() +11()， 1所以定义函数function out = L(n,x)if n=0out=1;elseif n=1out=x;elseout=(2*n+1)/(n+1)*x*
7、L(n-1,x)-n/(n+1)*L(n-2,x);endend3.9 用L(n,x)取代原程序中的 求出最小二乘拟合函数的系数，其中第一行为三 阶最小二乘拟合函数的系数，第二行为五阶最小二乘拟合函数的系数，等等每一行从左到右分别为 。0， 1， ， 5把系数代入下式，即可得到各阶最小二乘拟合函数。= =0()3.10 cond(A)的取值如下图所示，分别是3,5,7,9,11,13,15阶行列式对应得A的条件数：作出画出 的曲线：ln()可以看出以勒让德多项式为基函数得到的法方程组的系数矩阵的条件数增长，相对于多项式拟合的法方程组的系数矩阵的条件数增长要缓慢得多。所以可以说随着阶数增长，以勒让德多项式为基函数得到的法方程组的病态，相对于多项式拟合的法方程组的病态，不算严重。3.11 计算出不同阶最小二函数给出的最小偏差 。()()=19=0()2， =3,5,7,9，(3)=0.493287976114723(5)=0.493844031116877，(7)=0.493805766121517(9)=0.4938054984846936分析偏差，可以看出虽然以勒让德多项式为基函数得到的法方程组的系数矩阵的条件数表现更好，但是他的偏差却要大得多。
