1、第 1 页 共 30 页南昌大学 20092010 学年第二学期期末考试试卷 试卷编号：6032 ( A )卷课程编号： Z5502B011 课程名称： 数学物理方法 考试形式： 闭卷 适用班级：物理系 08 各专业 姓名： 学号： 班级： 学院： 专业： 考试日期： 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分题分 48 40 12 100累分人 签名得分考生注意事项：1、本试卷共 5 页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有举手报告以便更换。2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。一、填空题 (每小题 4 分，共 48 分) 得分 评阅人1.设 为虚数单位，复数 _ ;
2、 i)2/(1i )31ln(i。2. 设 为虚数单位，且 和 为实数，复变函数 _ (填“是”ixyiyxzf)(或“不是”)可导的，理由是 3. 是否有可能为某解析函数 的实部？答： _ (填“有可能”或2yx)(zf“不可能”)，理由是 4. 。120 )3()tan(si)( dxxx5.根据柯西公式，积分 zzez3|208| 209第 2 页 共 30 页6.函数 有_个极点，为_阶极点；在极点处的留43)(2zzf数 为_。第 3 页 共 30 页7.当 试以原点为中心将 做级数展开为 ,2|1z 231z8. 的傅里叶变换为 。)1|(00)(tttf9. 的拉普拉斯变换为 。
3、te2110. 数学物理方程如果没给定解条件，一般会有_个解；数学物理方程定解问题的适定性是指解的_，_，_ 。11.一根两端(左端为坐标原点而右端 ）固定的弦，用手在离弦左端长为 处把弦lx6/l朝横向拨开距离 ，然后放手任其振动。横向位移 的初始条件为 h ),(txu。12.偏微分方程 的类型为 (备选答0937542xyuuxyx案：A.双曲型 B.抛物型 C. 椭圆型 D. 混合型)；为了得到标准形，可以采用的自变量函数变换为 。二、求解题(每小题 10 分，共 40 分)得分 评阅人说明：要求给出必要的文字说明和演算过程。1. 用留数定理计算复积分 。3|2| )4(zzdI第 4
4、 页 共 30 页2. 用留数定理计算实积分 。 29cosdxI3. 可使用拉普拉斯变换或其它任何方法求解下列常微分方程初值问题 .2)0(,1)(,232 yeydttyt已知拉普拉斯变换 ， 。1!nstnpL1!nptL第 5 页 共 30 页4. 设 满足方程 和边界条件 ，其中 可为任意)(xX0X0)2/()0 X实数，试根据 的可能取值求解方程，并根据边界条件确定本征值 和本征函数。第 6 页 共 30 页三、数学物理定解问题 (共 12 分)1.考查无限长弦定解问题： ，且初始条件为tuxtcos4)0(， 。先寻找泛定方程的一个特解 再作变换 使xutsin00tu ,v,
5、wvu得的泛定方程为齐次，然后利用达朗贝尔公式求解该问题。w第 7 页 共 30 页南昌大学 20102011 学年第二学期期末考试试卷试卷编号： 6032 ( A )卷课程编号： Z5502B011 课程名称： 数学物理方法 考试形式： 闭卷 适用班级：物理系 09 级 姓名： 学号： 班级： 学院： 专业： 考试日期： 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分题分 22 12 36 30 100累分人 签名得分考生注意事项：1、本试卷共 6 页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。一、填空题 (每题 2
6、分，共 22 分)得分 评阅人1. 已知 ，辐角 。2. 若函数 可导，必满足 条件，这个条件的数学表达式为 。3. 解析函数的实部和虚部被称为共轭调和函数，满足 方程，且对应的两组曲线族相互间 。4. 幂级数 的收敛圆为 。5. 。6. 根据柯西公式，积分 。7. 设 为 的傅立叶变换像函数，则 的傅立叶变换像函数为 _ _ 。第 8 页 共 30 页8. 适定的数学物理定解问题的解存在而且是_和_。9. 双边幂级数的收敛区域为_形区域，其主要部分为_。10. 为 的单极点，则 为_。11. 泛定方程 分离变数后三个变量满足的方程分别为 。二、选择判断题 (每题 2 分，共 12 分)得分
7、评阅人说明：以下均为单选题。请选择正确或最合适的选项。1. 解析函数 的实部 ，那么 的导数在 的取值_。 A) B) C) D) 2. 下列二阶线形微分方程中， 的形式为标准形式。A) B) C) D) 3. 为 的 。A) 单极点 B) 二阶极点C) 三阶极点 D) 四阶极点4. 叠加原理适用于_数学物理问题。A) 线性的 B) 齐次的C) 线性齐次的 D) 所有的5. 若洛朗展开级数中存在 的负幂项，则展开中心 是被展开函数的奇点。这个结第 9 页 共 30 页论 。A) 正确 B) 错误6. 复连通区域内的回路积分是否等于零肯定不能用单连通区域上的柯西定理直接判断。以上说法 。A) 正
8、确 B) 错误三、复变函数 (每题 12 分，共 36 分)得分 评阅人1. 已知函数 ，试判断 是 的几阶极点，然后计算 、 和在 的留数，再利用所得结果给出 在 的邻域上洛朗展开级数的前三项。(注意：此题亦可用 的泰勒展开直接求出 的洛朗展开的前几项，然后利用所得结果求出留数。)第 10 页 共 30 页2. 求函数 的奇点所在的位置，然后计算积分 。3. 已知 ，首先将 看作常数，求 的拉普拉斯变换函数 ，然后利用所得结果和留数定理计算积分 的拉普拉斯变换函数 ，最后对 反演计算 。注意此题中 满足 。 （注意：若未计算 及其反演，而直接用留数定理计算 可算做部分完成） 。第 11 页
9、共 30 页四、数学物理方程 (每题 15 分，共 30 分)得分 评阅人1. 考查下面的无限长弦的振动问题：其中 。(1) 试用分离变数或其它方法找到方程 的一个特解；(2) 利用该特解将问题中的方程化为齐次方程，并给出相应的初始条件；(3) 利用达朗贝尔公式求解，之后确定 。说明：本题中的问题若未按题目要求用其它方法求解，将根据所用方法和完成情况给分。第 12 页 共 30 页2. 已知复变量函数 为解析函数，其实部 满足下面的条件，(1) 试给出 所满足的数学物理定解问题；(2) 试用分离变数或其它方法找到泛定方程的一个特解，并利用它将 或 方向上的边界条件齐次化，然后求解 ；(3) 根
10、据 求出虚部 。第 13 页 共 30 页南 昌 大 学 考 试 试 卷【适用时间：2011 2012 学年第 二 学期 试卷类型：A卷】课程编号： Z5502B011 试卷编号： 6031课程名称： 数学物理方法开课学院： 理学院 考试形式： 闭卷适用班级： 物理系 10 级各专业 考试时间： 120 分钟教师填写栏试卷说明：1、本试卷共 6 页。2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分题分 45 55 100累分人签 名得分考生姓名： 考生学号：所属学院： 所属班级：所属专业： 考试日期：考 生须 知1、请考生务必查看试卷中
11、是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。2、严禁代考，违者双方均开除学籍；严禁舞弊，违者取消学位授予资格；严禁带手机等有储存或传递信息功能的电子设备等入场（包括开卷考试） ，违者按舞弊处理；不得自备草稿纸。考生填写栏 考 生承 诺本人知道考试违纪、作弊的严重性，将严格遵守考场纪律，如若违反则愿意接受学校按有关规定处分！考生签名： 第 14 页 共 30 页得 分 评阅人一、填空题：（每空 3 分，共 45 分）1、复数 的指数形式为 。zi2、 。 0213cosx(1)dx3、复数 可简化为 。()/zi4、三维拉普拉斯方程 在直角坐标系中的表达式为_ 。0u5、复变函数 可导的充分必要
12、条件为 ),(),()yxivzf。6、在 的区域上，复变函数 的幂级数展开为_ 1z2()1/)fzz_ 。7、复积分 。1/()|2zzedA8、在 这个周期上， 且 。该函数可展成的傅里叶(,)()/|(0)fxx(0,)fx级数为 。fx9、拉普拉斯变换 。sin2tL10、数学物理方程定解问题的适定性是指_ 。11、一根两端(左端为坐标原点而右端 )固定的弦，用手在离弦左端六分之一处把弦朝横向lx拨开距离 h，然后放手任其振动。横向位移 的初始条件为 ,(tu。12、偏微分方程 的类型为 。2326sin()10xxyxyux13、若解析函数 的实部为 ，则其虚部为 ，其中 为常数。
13、)(zf CA) CyB) CC) x2D) yx214、 复变函数 有 。53()4zifA) 两个单极点和一个三阶极点 B) 一个单极点，一个可去极点和一个三阶极点C) 两个单极点和一个二阶极点 D)一个单极点和一个三阶极点第 15 页 共 30 页15、下面说法正确的是 。A）若函数 在 点解析，则函数 在 点可导，反之亦然。)(zf )(zfB） 是二阶齐线性偏微分方程。 26xyxyxuuC）若洛朗级数中含 的负幂项，则展开中心 一定是被展开函数的奇点。 0z0zD）函数 在 处是非孤立奇点。()1/sin()fzE）数学物理方程的定解条件可以没有边界条件但一定要有初始条件。F）达朗
14、贝尔公式仅仅适合求解不含边界条件的齐次波动方程 的初值问题。20txua得 分 评阅人二、求解题：（1-5 题中每小题 9 分，6 小题 10 分，共 55 分）1、求幂级数 的收敛域及其和函数 。01()nnz()Sz2、用留数定理计算实积分 。2098cosdxI第 16 页 共 30 页3、求 的傅里叶变换。2()1/6)fx第 17 页 共 30 页4、用拉普拉斯变换解常微分方程初值问题【可能用到拉普拉斯变换 】1!()nst nepsL32 2006,()3,|1,|.t ttdydydyyettt5、解偏微分方程 。316sin2;0:xtx tuetu第 18 页 共 30 页6
15、、已知 有一般解0,|xyxxuu1(,)()sinnyynAeBx其中 和 是与 和 无关的系数。利用该一般解求解下列泊松方程矩形边界问题nABx00si2,|,|2,|,|2sinxyxxyyuuux 第 19 页 共 30 页南昌大学 20092010 学年第二学期期末考试试卷 参考答案与评分标准 试卷编号：6032 ( A )卷课程编号： Z5502B011 课程名称： 数学物理方法 考试形式： 闭卷 适用班级：物理系 08 各专业 姓名： 学号： 班级： 学院： 专业： 考试日期： 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分题分 48 40 12 100累分人 签名得分考生注
16、意事项：1、本试卷共 5 页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有举手报告以便更换。2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。一、填空题 (每小题 4 分，共 48 分) 得分 评阅人1.设 为虚数单位，复数 (-4+3i)/5; i)2/(1i )31ln(i。(2+2=4 分),0()32(lnkik2. 设 为虚数单位，且 和 为实数，复变函数 _不是 (填“是”或ixyiyxzf)(“不是”)可导的，理由是 不满足柯西-黎曼条件 (2+2=4 分)3. 是否有可能为某解析函数 的实部？答： _有可能 (填“有可能”或2yx)(zf“不可能”)，理由是 它为调和函数 (2+2
17、=4 分)4. 0 。120 )3()tansi) dxxx第 20 页 共 30 页5.根据柯西公式，积分 dzzez3|208| 2091ei/第 21 页 共 30 页6.函数 有_1_个极点，为_1_阶极点；在极点处的留数为_-43)(2zzf4_(1+1+2=4 分)。7.当 试以原点为中心将 做级数展开为 (2+2=4 分),2|1z 231z )21()0kkkz8. 的傅里叶变换为 。)1|(00)(tttf )/(cos1(9. 的拉普拉斯变换为 。(1+1+1+1=4 分)te21 )(Re)1(223pp10. 数学物理方程如果没给定解条件，一般会有_无数_个解；数学物理
18、方程定解问题的适定性是指解的_存在_， _唯一 ， _稳定_ 。(1+1+1+1=4 分)11.一根两端(左端为坐标原点而右端 ）固定的弦，用手在离弦左端长为 处lx6/l把弦朝横向拨开距离 ，然后放手任其振动。横向位移 的初始条件为h ),(txu。(3+1=4 分)0),(;6)(50),( xullxlhxut12.偏微分方程 的类型为 C (备选答937542xyxyx案：A.双曲型 B.抛物型 C. 椭圆型 D. 混合型)；为了得到标准形，可以采用的自变量函数变换为 (2+2=4 分),二、求解题(每小题 10 分，共 40 分)得分 评阅人说明：要求给出必要的文字说明和演算过程。1
19、. 用留数定理计算复积分 。3|2| )4(zzdI解：回路内有两个单极点 0 和 4(2 分)，其留数分别为81)(2)0(Relim0zsfz第 22 页 共 30 页.(4 分) 由留数定理得21)()4(Relim4zsfz(4 分).61)2481(Re02 iisfsfiI 2. 用留数定理计算实积分 。 29cosdxI解： (2 分)。 有两个单极点 ，其中 在上半平面 09cos2dxI 2)(zeSii3i(2 分)，它的留数为(4 分)，由留数定理得ieizizisSiii 613)(3)3(Re2lml(2 分).23eiI 3. 可使用拉普拉斯变换或其它任何方法求解下
20、列常微分方程初值问题 .2)0(,1)(,32 yydttyt已知拉普拉斯变换 ， 。1!nstnpeL1!nptL解：设 的拉普拉斯变换为 ，则微分方程初值问题有拉普拉斯变换yy分 ）（ 分 ） 反 演 之 ， 得。 （ 分 ） 则 有（24)5( 411)2(4)( )(3)12(52() 4,1)(3)(22tteypppppyp4. 设 满足方程 和边界条件 ，其中 可为任意)(xX0X0)2/()0 X实数，试根据 的可能取值求解方程，并根据边界条件确定本征值 和本征函数。解：（1）如果 ，则方程有通解 ，结合边界条件只能0 xxeC21)(有，不予考虑。(2 分)（2）如果 ，则方
21、程有通解 ，结)xX0xCX21)(合边界条件只能有 ，不予考虑。(2 分)0xX（3）如果 ，则方程有通解 ，(2 分) sincos(21 xCxx结合边界条件有 ，0)2cos(1C第 23 页 共 30 页当 时， 则01C),210()21(n(2 分),0)2(n本征函数是(2 分),1()1cos()(1 xxX三、数学物理定解问题 (共 12 分)1.考查无限长弦定解问题： ，且初始条件为tuxtcos4)0(， 。 先寻找泛定方程的一个特解 再作变换 xutsin00tu ,v,wvu使得 的泛定方程为齐次，然后利用达朗贝尔公式求解该问题。w解：显然， 是泛定方程的一个特解(
22、3 分)。作变换 得 的定tvcos ,解问题为：(3 分)0),(,sin1)0,(4xwxwtxt根据达朗贝尔公式，有(4 分).2cosin1 2sin(1)i(),(tx ttt于是，(2 分).cosi),( tttu第 24 页 共 30 页南 昌 大 学 考 试 试 卷【适用时间：2011 2012 学年第 二 学期 试卷类型：A卷】答案课程编号： Z5502B011 试卷编号： 6031课程名称： 数学物理方法开课学院： 理学院 考试形式： 闭卷适用班级： 物理系 10 级各专业 考试时间： 120 分钟教师填写栏试卷说明：1、本试卷共 6 页。2、考试结束后，考生不得将试卷、
23、答题纸和草稿纸带出考场。题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分题分 45 55 100累分人签 名得分考生姓名： 考生学号：所属学院： 所属班级：所属专业： 考试日期：考 生须 知1、请考生务必查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。2、严禁代考，违者双方均开除学籍；严禁舞弊，违者取消学位授予资格；严禁带手机等有储存或传递信息功能的电子设备等入场（包括开卷考试） ，违者按舞弊处理；不得自备草稿纸。考生填写栏 考 生承 诺本人知道考试违纪、作弊的严重性，将严格遵守考场纪律，如若违反则愿意接受学校按有关规定处分！考生签名： 第 25 页 共 30 页得 分 评阅人一、填空
24、题：（每空 3 分，共 45 分）1、复数 的指数形式为 。zi742ize2、 。 0213cosx (1) dxcos13、复数 可简化为 。()/zi (3)/5zi4、三维拉普拉斯方程 在直角坐标系中的表达式为 。0u220uxyz5、复变函数 可导的充分必要条件为 ),(),()yxivzf。 （存在连续 1 分，条, ,xy xyxuv uv四 个 偏 导 数 存 在 且 连 续 ； 满 足 柯 西 黎 曼 条 件件 2 分）6、在 的区域上，复变函数 的幂级数展开为： 。1z2()1/)fzz2()/kkzz7、复积分 。/(1)|2zzediA8、在 这个周期上， 且 。该函数
25、可展成的傅里叶(,)()/|(0)fxx(0,)fx级数为 。14sin2fx9、拉普拉斯变换 。 （结果 2 分，条件 1 分）24si,(0)()ptReL10、数学物理方程定解问题的适定性是指_解的存在、唯一和稳定性 。 （各 1 分）11、一根两端(左端为坐标原点而右端 )固定的弦，用手在离弦左端六分之一处把弦朝横lx向拨开距离 h，然后放手任其振动。横向位移 的初始条件为：),(tu(,0);tux（各 1 分）(,0)6/(/6);()/56.uxlxlhxlxl12、偏微分方程 的类型为 椭圆型 。232sin()0xxyxyu13、若解析函数 的实部为 ，则其虚部为 B ，其中
26、 为常数。)(zf CA) CyB) CC) x2D) yx2第 26 页 共 30 页14、 复变函数 有 D 。532()4zifA) 两个单极点和一个三阶极点 B) 一个单极点，一个可去极点和一个三阶极点C) 两个单极点和一个二阶极点 D)一个单极点和一个三阶极点15、下面说法正确的是 D 。A）若函数 在 点解析，则函数 在 点可导，反之亦然。)(zf )(zfB） 是二阶齐线性偏微分方程。 26xyxyxuuC）若洛朗级数中含 的负幂项，则展开中心 一定是被展开函数的奇点。 0z0zD）函数 在 处是非孤立奇点。()1/sin()fzE）数学物理方程的定解条件可以没有边界条件但一定要
27、有初始条件。F）达朗贝尔公式仅仅适合求解不含边界条件的齐次波动方程 的初值问题。20txua得 分 评阅人二、求解题：（1-5 题中每小题 9 分，6 小题 10 分，共 55 分）1、求幂级数 的收敛域及其和函数 。01()nnz()Sz解：收敛域 （3 分） 。设 ，则|01()()nnSz， （1 分）1()()nnzSz微分之，有 （2 分）11()()nnz积分之，得 （2 分）lzSzC因为 ，所以取(1)0故 （1 分）ln2zz第 27 页 共 30 页2、用留数定理计算实积分 。2098cosdxI解：设 则 于是，,ixze1cos()/,/().zzi（4 分）12|1|
28、1/)98(9z zddIiAA回路内有单极点 而 不是回路内的奇点（2 分） 。回路内单极点的7)/8,(17)/8留数为（2 分）1Re()lim()li4()()7zzsffz于是， （1 分）122()7IifA3、求 的傅里叶变换。2()1/6)fx解： 是偶函数，故存在傅里叶余弦变换，即（4 分）2002cos()()cos16xAfxdd在上半平面有单极点 （2 分） ，其留数为2()16izeFi（2 分）4244R()lim()li168izizzees i于是， （1 分）/AisFi注：用复数形式求解可相应给分，但求解过程如果直接采用类型二方法的留数定理解法应该酌情扣分，
29、因为不满足类型二方法的条件；如将实、虚部分别采用类型二方法的留数定理解法，此解法是正确的，但最后结果与实数形式解法结果有系数差异，也应该正确。4、用拉普拉斯变换解常微分方程初值问题【可能用到拉普拉斯变换 】1!()nst nepsL32 2006,()3,|1,|.t ttdydydyyettt解：将方程拉普拉斯变换：第 28 页 共 30 页（5 分）322 6()3()3(2).1pypypyp即 32 266(1)104()4()7,1亦即 （2 分）24233,()()(1)yppp反演，得 （2 分）3232774(4.tttt teete5、解偏微分方程 。316sin2;0:xt
30、x tuetu解：方程有特解形如 ，易得 （4 分）vA1/8.A令 ，则有3sin2148xwet（2 分）360;:0,.74xtx ttwe由达朗贝尔公式，得（2 分）433(4)3(4)118776xts xtxttwede所以， （1 分）3(4)3(4)3sin1618xtxtxu t6、已知 有一般解0,|xyxxu1(,)()sinnyynAeBx其中 和 是与 和 无关的系数。利用该一般解求解下列泊松方程矩形边界问题nABx00si2,|,|2,|,|2sinxyxxyyuuux 解：容易看出满足方程和 上一组边界有特解 （3 分）1sin4vx设 ，则有uvw第 29 页 共 30 页（1 分）0,|01|sin2,|sini244xyxyywx由已知可有 （1 分）1(,)()iynnwxAeB其中 ， （1 分）03,4)nAB当 时，则 得 （1 分）111e1eB当 时，则 得 （1 分）2n2241ABe22224()eABe于是， （1 分）212(,)sin()sinyyyywxABxAx因此，有（1 分）221(,)2()si()si4yyyyuyeeB第 30 页 共 30 页
