1、（2017 浙江衢州第 19 题）如图，AB 为半圆 O 的直径，C 为 BA 延长线上一点，CD 切半圆 O 于点 D。连结 OD，作BECD 于点 E，交半圆 O 于点 F。已知 CE=12，BE=9来源:学#科#网 Z#X#X#K（1）求证：CODCBE；（2）求半圆 O 的半径 的长来源:学#科#网 Z#X#X#Kr：试题解析： （1）CD 切半圆 O 于点 D，CDOD，CDO=90，BECD，E=90=CDO，又C=C，CODCBE（2）在 RtBEC 中，CE=12，BE=9，BC= =15，2CEBCODCBE ，即 ，OD159rr解得：r= 458考点：1. 切线的性质；2
2、.相似三角形的判定与性质.2.（2017 山东德州第 20 题）如图，已知 RtABC,C=90，D 为 BC 的中点.以 AC 为直径的圆 O 交 AB 于点 E.来源:Zxxk.Com（1）求证：DE 是圆 O 的切线.(2)若 AE:EB=1:2,BC=6，求 AE 的长.(1)如图所示，连接 OE，CEAC 是圆 O 的直径AEC=BEC=90D 是 BC 的中点ED BCDC121=2OE=OC3=41+3=2+4,即OED=ACDACD=90OED=90,即 OEDE又E 是圆 O 上的一点DE 是圆 O 的切线.考点：圆切线判定定理及相似三角形3.（2017 甘肃庆阳第 27 题
3、）如图，AN 是M 的直径，NBx 轴，AB 交M 于点 C（1）若点 A（0，6） ，N（0，2） ，ABN=30，求点 B 的坐标；（2）若 D 为线段 NB 的中点，求证：直线 CD 是M 的切线（1）A 的坐标为（0，6） ，N（0，2） ，AN=4，ABN=30，ANB=90，AB=2AN=8，由勾股定理可知：NB= ，243ABNB（ ，2） 43（2）连接 MC，NC AN 是M 的直径，ACN=90，NCB=90，在 RtNCB 中，D 为 NB 的中点，CD= NB=ND，12CND=NCD，MC=MN，MCN=MNC，MNC+CND=90，MCN+NCD=90，即 MCCD
4、直线 CD 是M 的切线考点：切线的判定；坐标与图形性质4.（2017 广西贵港第 24 题）如图，在菱形 中，点 在对角线 上，且 ， 是 的外ABCDPACPDOAP接圆. （1）求证： 是 的切线；ABO（2）若 求 的半径.28,tan,CA【答案】(1)证明见解析；（2） 364（1）连结 OP、OA，OP 交 AD 于 E，如图，PA=PD，弧 AP=弧 DP，OPAD，AE=DE，1+OPA=90，OP=OA，OAP=OPA，1+OAP=90，四边形 ABCD 为菱形，1=2，2+OAP=90，OAAB，直线 AB 与O 相切；（2）连结 BD，交 AC 于点 F，如图，四边形
5、ABCD 为菱形，DB 与 AC 互相垂直平分，AC=8，tanBAC= ，2AF=4，tanDAC= = ，DFADF=2 ，2AD= =2 ，2F6AE= ，6在 RtPAE 中，tan1= = ，PEA2PE= ，3设O 的半径为 R，则 OE=R ，OA=R，3在 RtOAE 中，OA 2=OE2+AE2，R 2=（R ） 2+（ ） 2，6R= ，34即O 的半径为 6考点：切线的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形5.（2017 贵州安顺第 25 题）如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，ODBC 于点 D，过点 C 作O 的切线，交OD 的延长线于点 E，连接 BE（1）求
6、证：BE 与O 相切；（2）设 OE 交O 于点 F，若 DF=1，BC=2 ，求阴影部分的面积3【答案】(1)证明见解析；（2）4 34（1）证明：连接 OC，如图，CE 为切线，OCCE，OCE=90，ODBC，CD=BD，即 OD 垂中平分 BC，EC=EB，在OCE 和OBE 中，OCBEOCEOBE，OBE=OCE=90，OBBE，BE 与O 相切；（2）解：设O 的半径为 r，则 OD=r1，在 RtOBD 中，BD=CD= BC= ，123（r1） 2+（ ） 2=r2，解得 r=2，tanBOD= = ，BDO3BOD=60，BOC=2BOD=120，在 RtOBE 中，BE=
7、 OB=2 ，3阴影部分的面积=S 四边形 OBECS 扇形 BOC=2SOBE S 扇形 BOC=2 22 123206=4 34考点：切线的判定与性质；扇形面积的计算6.（2017 湖北武汉第 21 题）如图， 内接于 ， 的延长线交 于点 ABCO,ABCABD（1）求证 平分 ；AOBC（2）若 ，求 和 的长 36,sin5ACD【答案】 （1）证明见解析；（2） ； .109（2）过点 C 作 CEAB 于 EsinBAC= ,设 AC=5m，则 CE=3m35AE=4m，BE=m在 RtCBE 中，m 2+(3m)2=36m= ，3105AC=延长 AO 交 BC 于点 H，则
8、AHBC，且 BH=CH=3，过点 O 作 OFAH 交 AB 于点 F，HOC=BACOH=4，OC=5AH=9tanBAH= 13OF= AO=5OFBC ，即 OFDBCC-53=6DC= .901考点：1.全等三角形的判定与性质；2.解直角三角形；3.平行线分线段成比例.7.（2017 湖南怀化第 23 题）如图，已知 是 的直径，点 为 延长线上的一点，点 为圆上一点，且BCODBCA， .ABD=C(1)求证： ；BAD (2)求证： 是 的切线.O试题解析：（1）AB=AD，来源:学科网B=D，AC=CD，CAD= D，CAD=B，D=D，ACDBAD；（2）连接 OA，OA=O
9、B，B=OAB，OAB=CAD，BC 是O 的直径，BAC=90，OAAD，AD 是O 的切线考点：相似三角形的判定与性质；切线的判定11.（2017 江苏盐城第 25 题）如图，在平面直角坐标系中，RtABC 的斜边 AB 在 y 轴上，边 AC 与 x 轴交于点D，AE 平分BAC 交边 BC 于点 E，经过点 A、D、E 的圆的圆心 F 恰好在 y 轴上，F 与 y 轴相交于另一点 G（1）求证：BC 是F 的切线；（2）若点 A、D 的坐标分别为 A（0，-1），D（2，0），求F 的半径；（3）试探究线段 AG、AD、CD 三者之间满足的等量关系，并证明你的结论【答案】（1）证明见解
10、析；（2）F 的半径为 ；（3）AG=AD+2CD证明见解析.52试题解析：（1）连接 EF，AE 平分BAC，FAE=CAE，FA=FE，FAE=FEA，FEA=EAC，FEA C，FEB=C=90，即 BC 是F 的切线；（2）连接 FD，设F 的半径为 r，则 r2=（r-1） 2+22，解得，r= ，即 F 的半径为 ；55（3）AG=AD+2CD证明：作 FRAD 于 R，则FRC=90，又FEC=C=90，四边形 RCEF 是矩形，EF=RC=RD+CD，FRAD，AR=RD，EF=RD+CD= AD+CD，12AG=2FE=AD+2CD.考点：圆的综合题13.（2017 甘肃兰州
11、第 27 题）如图， 内接于 ， 是 的直径，弦 交 于点 ，延长 到点ABC OBCAFBCEBC，连接 ， ，使得 ， .DOAFD= AF= (1)求证： 是 的切线；ADO(2)若 的半径为 5， ，求 的长.2CE=F（1）由 BC 是O 的直径，得到BAF+FAC=90，等量代换得到D+AOD=90，于是得到结论；（2）连接 BF，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论（2）连接 BF，FAC=AOD，ACEDCA， ，ACEO ，25AC=AE= ，10CAE=CBF，ACEBFE， ，AEBCF ，1082EF= 5考点：切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质14.（2017
12、 贵州黔东南州第 21 题）如图，已知直线 PT 与O 相切于点 T，直线 PO 与O 相交于 A，B 两点（1）求证：PT 2=PAPB；（2）若 PT=TB= ，求图中阴影部分的面积3（ 1）证明：连接 OTPT 是O 的切线，PTOT，PTO=90，PTA+OTA=90，AB 是直径，ATB=90，TAB+B=90，OT=OA，OAT=OTA，PTA=B，P=P，PTAPBT， ，PTABPT 2=PAPB（2）TP=TB= ，3P=B=PTA，TAB=P+PTA，TAB=2B，TAB+B=90，TAB=60，B=30，tanB=3ATBAT=1，OA=OT，TAO=60，AOT 是等边
13、三角形，S 阴 =S 扇形 OATS AOT = .2260133464考点：相似三角形的判定与性质；切线的性质；扇形面积的计算16.（2017 四川泸州第 24 题）如图，O 与 RtABC 的直角边 AC 和斜边 AB 分别相切于点 C、D，与边 BC 相交于点F，OA 与 CD 相交于点 E，连接 FE 并延长交 AC 边于点 G（1）求证：DFAO；（2）若 AC=6，AB=10，求 CG 的长【答案】 （1）证明见解析；（2）2.（1）证明：连接 ODAB 与O 相切与点 D，又 AC 与O 相切与点， AC=AD，OC=OD，OACD，CDOA，CF 是直径，CDF=90，DFCD
14、，DFAO（2）过点作 EMOC 于 M，AC=6，AB=10，BC= =8，2ABCAD=AC=6，BD=AB-AD=4，BD 2=BFBC，BF=2，CF=BC-BF=6OC= CF=3，12OA= =3 ，ACO5OC 2=OEOA，OE= ，35EMAC， ，15EMOACOM= ，EM= ，FM=OF+OM= ，3568 ，.35EFCGCG= EM=253考点：切线的性质17.（2017 四川宜宾第 23 题）如图，AB 是O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上，AD 平分CAE 交O 于点 D，且AECD，垂足为点 E（1）求证：直线 CE 是O 的切线（2）若 BC=3，CD
15、=3 ，求弦 AD 的长2（1）证明：连结 OC，如图，AD 平分EAC，1=3，OA=OD，1=2，3=2，ODAE，AEDC，ODCE，CE 是O 的切线；（2） CDO=ADB=90，2=CDB=1，C=C，CDBCAD， ，CDBACD 2=CBCA，（3 ） 2=3CA，CA=6，AB=CABC=3， ,设 BD= K，AD=2K，326BDA2在 RtADB 中，2k 2+4k2=5，k= ，306AD= 考点：切线的判定与性质18.（2017 新疆建设兵团第 22 题）如图，AC 为O 的直径，B 为O 上一点，ACB=30，延长 CB 至点 D，使得CB=BD，过点 D 作 D
16、EAC，垂足 E 在 CA 的延长线上，连接 BE（1）求证：BE 是O 的切线；（2）当 BE=3 时，求图中阴影部分的面积【答案】 （1）证明见解析；（2） 3-2（1）如图所示，连接 BO，ACB=30，OBC=OCB=30，DEAC，CB=BD，RtDCE 中，BE= CD=BC，12BEC=BCE=30，BCE 中，EBC=180BECBCE=120，EBO=EBCOBC=12030=90，BE 是O 的切线；（2）当 BE=3 时，BC=3，AC 为O 的直径，ABC=90，又ACB=30，AB=tan30BC= ，3AC=2AB=2 ，AO= ，阴影部分的面积=半圆的面积RtAB
17、C 的面积= AO 2 ABBC= 3 3= 11233-2考点：切线的判定与性质；扇形面积的计算1. (2017 北京第 24 题)如图， 是 的一条弦， 是 的中点，过点 作 于点 ，过点 作ABOEABECOAB的切线交 的延长线于点 .OACED（1）求证： ； DBE（2）若 ，求 的半径.12,5AOA（1）证明：DCOA, 1+3=90, BD 为切线，OBBD, 2+5=90, OA=OB, 1=2，3=4，4=5，在DEB 中, 4=5，DE=DB.(2)作 DFAB 于 F,连接 OE,DB=DE, EF= BE=3，在 RTDEF 中，EF=3，DE=BD=5，EF=3
18、, 12DF= sinDEF= = , AOE=DEF, 在 RTAOE 中，sinAOE= , 2534DFE45 45AEOAE=6, AO= .1考点：圆的性质，切线定理，三角形相似，三角函数 2. (2017 天津第 21 题)已知 是 的直径， 是 的切线， ， 交 于点 ， 是ABOATO05ABTCE上一点，延长 交 于点 .ABCEOD（1）如图，求 和 的大小；TB（2）如图，当 时，求 的大小.：(1)如图，连接 AC,21 世纪教育网 是 的直径， 是 的切线，ABOATOATAB,即TAB=90. ，05TT=90-ABT=40由 是 的直径，得 ACB=90，ABOC
19、AB=90-ABC=40CDB=CAB=40;（2）如图，连接 AD,在BCE 中，BE=BC，EBC=50，BCE=BEC=65,BAD=BCD=65OA=ODODA=OAD=65ADC=ABC=50CDO=ODA-ADC=15.3. (2017 福建第 21 题)如图，四边形 内接于 ， 是 的直径，点 在 的延长线上，ABCDOeABPCA45CADo（）若 ，求弧 的长；4ABCD（）若弧 弧 ， ，求证： 是 的切线APDOe（）连接 OC，OD，COD=2CAD，CAD=45，COD=90，AB=4，OC= AB=2， CD的长=12=；来源:Zxxk.Com90218（） BC=
20、AD，BOC=AOD，COD=90，AOD= =45，1802CDOA=OD，ODA=OAD，AOD+ODA+OAD=180，ODA= =67.5，AOAD=AP，ADP=APD，CAD=ADP+APD，CAD=45，ADP= CAD=22.5，ODP=ODA+ADP=90，又OD 是半径，PD 是O 的切线.4. (2017 河南第 18 题)如图，在 中， ，以 为直径的 交 边于点 ，过点 作ABCABOACDC，与过点 的切线交于点 ，连接 ./CFABFD（1）求证： ；BDF（2）若 ， ，求 的长.10A4CB(1) ABC=ACB 来源:学科网 ZXXK/CFABABC=FCB
21、ACB=FCB，即 CB 平分DCF 为 直径OADB=90，即 BDACBF 为 的切线 F /C BBD=BF考点：圆的综合题.6. （2017 湖南长沙第 23 题）如图， 与 相切于 ， 分别交 于点 ， ABOCBA,OED,AC（1）求证： ；OBA（2）已知 ， ，求阴影部分的面积34【答案】 （1）证明见解析（2） 2=3S阴 影试题解析：（1）连接 OC，则 OCABACDEAOC=BOC在AOC 和BOC 中，90AOBCAOCBOC（ASA）AO=BO（2）由（1）可得 AC=BC= AB=123在 RtAOC 中，OC=2AOC=BOC=60 1=23=2BOCS603
22、扇 形 2=3BOCSS阴 影 扇 形考点：1、切线的性质，2、三角形的面积，3、扇形的面积7. （2017 山东临沂第 23 题）如图， 的平分线交 的外接圆于点 ， 的平分线交 于点BACABCVDABCAD.E（1）求证： ；DB（2）若 ， ，求 外接圆的半径.90AC4ABCV【试题解析：（1） 平分 ， 平分 ， ，又ADBCEABC,DCABE， ， , . .BEDEDB（2）解：连接 ， ， 是圆的直径. ， .90 9090， ， ， 是等腰直角三角形. ， .ACABCB4B2C的外接圆的半径为 .B2考点：1、三角形 的外接圆的性质，2、圆周角定理，3、三角形的外角性质
23、，4、勾股定理8. (2017 四川泸州第 24 题)如图，O 与 ABCRt的直角边 和斜边 AB分别相切于点 ;,DC与边 B相交于点 F,OA与 CD相交于点 E，连接 F并延长交 边于点 G.（1）求证： /（2）若 ,10,6B求 G的长.（1）证明： 与O 相切与点ABD（弦切角定理）FCD又 与O 相切与点由切线长定理得： ;,AOCAO,;BDFC即：DF/AO（2）：过点 作 与EOCM8,62ABC4,DD由切割线定理得： ,解得：BCF2 ;2F21 世纪教育网;31,6OBCF52AO由射影定理得： 53,2 OEAE解 之 得 ：235;536. ;518,;51EM
24、CGFMFOCAE9. (2017 山东滨州第 23 题)（本小题满分 10 分）如图，点 E 是ABC 的内心，AE 的延长线交 BC 于点 F，交ABC 的外接圆O 于点 D；连接 BD，过点 D 作直线DM，使BDMDAC（1）求证：直线 DM 是O 的切线；（2）求证：DE 2DFDA【答案】详见解析.试题解析：证明：（1）如图 1，连接 DO，并延长交O 于点 G，连接 BG；点 E 是ABC 的内心，AD 平分BAC，BADDAC21 世纪教育网GBAD，MDBG，21 世纪教育网DG 为O 的直径，GBD90，GBDG90MDBBDG90直线 DM 是O 的切线；（2）如图 2，
25、连接 BE点 E 是ABC 的内心，ABECBE，BADCADEBDCBECBD，BEDABEBAD，CBDCADEBDBED，DBDECBDBAD，ADBADB，DBFDAB，BD 2DFDADE 2DFDA10. (2017 辽宁沈阳第 22 题)如图，在 中，以 为直径的 交 于点 ，过点 做 于点 ，ABCOACEFAB延长 交 的延长线于点 ，且 .EFCBG2（1）求证： 是 的切线；EFOA（2）若 ， 的半径是 3，求 的长.3sin5GCAF【答案】 （1）详见解析；（2） .24试题解析：(1)连接 OE，则 ,2EOGC AB /E FAB 09 0GEO又OE 是 的半
26、径A 是 的切线；EF（2） ，2ABGCABGCBA=BC又 的半径为 3，OAOE=OB=OCBA=BC=23=6在 RtOEG 中，sinEGC= ，即 OEG35OG=5在 RtFGB 中，sinEGC= ，即 BF2BF= 65AF=AB-BF=6- = .24考点：圆的综合题.13. (2017 山东菏泽第 22 题)如图， AB是 O的直径， PB与 O相切于点 B，连接 PA交 O于点 C.连接BC.（1）求证： CBPA；（2）求证： 2；（3）当 3,6时，求 Asin的值.【答案】(1)详见解析；（2）详见解析；（3） 3.【解析】试题分析：（1）根据直径所对的圆周角为直
27、角、切线的性质定理、同角的余角相等，即可证得 CBPA；（2）先证PBCABP，根据相似三角形的性质即可得结论； （3）利用 PACB2，得 3B，从而求 PABsin=试题解析：【解】（1） 是 O的直径ACB=90A+ABC=90 PB与 相切于点 BCBP+ABC=90 CA(2) P，P=PPBCABP BAP C2（3） 3,6AP=9 PACB2 3 sin= 3914. (2017 浙江金华第 22 题)如图，已知： 是 的直径，点 在 上， 是 的切线， 于ABOCOADADC点 是 延长线上的一点， 交 于点 ，连接 ,DEABCEF,(1)求证： 平分 ACDO(2)若 ，
28、 1053E求 的度数若 的半径为 ，求线段 的长A2F【答案】(1)详见解析；（2）OCE=45；2 -2.3（1）解：直线与O 相切，OCCD；又ADCD,AD/OC,DAC=OCA;又OC=OA,OAC=OCA,DAC=OAC;AC 平分DAO.（2）解：AD/OC，DAO=105,EOC=DAO=105;E=30,OCE=45.作 OGCE 于点 G,可得 FG=CG,OC=2 ,OCE=45.2CG=OG=2,FG=2;在 RTOGE 中，E=30，GE=2 ,3EF=GE-FG=2 -2.15. （2017 浙江湖州第 21 题） （本小题 8 分）如图， 为 RtCA的直角边 上
29、一点，以 C为半径的 A与斜边 相切于点 D，交 A于点 已知3， （1）求 D的长；（2）求图中阴影部分的面积【答案】 （1） （2）36（1）在 RtABC 中，AB= = =2 2ACB223()3BCOCBC 是O 的切线AB 是O 的切线BD=BC= 3AD=AB-BD=（2）在 RtABC 中，sinA= 312BCAA=30AB 切O 于点 DODABAOD=90-A=60 tan=30OA 3DOD=1 2601=3S阴 影考点：1、切线的性质，2、勾股定理，3、解直角三角形，4、扇形的面积16. （2017 浙江台州第 22 题） 如图，已知等腰直角三角形 ABC，点 P是斜边 BC上一点（不与 ,BC重合） ，PE是 AB的外接圆 O的直径 .
