1、1 /41,第4单元 非线性结构(一）,第二章 2.12.4 节 树的基本概念和逻辑结构 二叉树的逻辑结构,存储结构 二叉树的遍历操作及有关算法 特殊二叉树的表示及性质 树、森林、二叉树的转换,2 /41,2.1 树的逻辑结构及其运算,一. 树的定义1. 逻辑定义 数据结构：Tree=（D，R）其中：D 具有相同数据类型的元素的集合；关系R满足： 1) 存在唯一的元素没有前趋,称为根； 2) 其余元素都有且只有一个前趋； 3) 所有元素，或有若干个互不相同的后继，或无后继； 则称Tree为树。,3 /41,2. 树的递归定义 树是一个或多个结点组成的有限集合T，有一个特定结点称为根，其余结点分
2、为m（m0）个互不相交的集合T1，T2，,Tm。每个集合又是一棵树，被称为这个根的子树。,4 /41,3. 树结构举例,书目录 目录树 树结构C1（章） BOOK S1.1(节) S1.2 C1 C2 C3 C2 S2.1 S1.1 S1.2 S2.1 S2.2 S2.3 S2.11 S2.12 S2.2 S2.1.1 S2.1.2 S2.3C3,5 /41,4.树的一般表示形式,A,B,C,D,E,F,K,L,G,H,I,J,M,A,(a),(b),(a)只有根结点的树,(b)一般的树,6 /41,二. 基本术语（一）,结点的度 结点拥有的子树数；A的度为3。根结点 无前趋的结点；例如，A结
3、点。支结点 度不为0的结点；如B，C，D等。叶结点 无后继的结点；如K，L，M。子结点和父结点兄弟结点 拥有同一父结点的结点之间互为兄弟结点结点的层次 根结点层次为1,其它结点递增,7 /41,二.基本术语（二）,树的度 树中结点的最大度数；上述树的度为3。有序树 结点的各子树看成从左至右有顺序且不能互换，则该树为有序树。否则为无序树。路径 由结点序列组成.长度 长度等于路径中结点数-1.高度 从一结点到叶结点的最长路径为该结点的高度；例如，结点A到M的高度为4。深度 从根结点到某结点的路径为该结点的深度；M的深度为4。森林 0棵或多棵互不相交的树的集合。,8 /41,三. 树的操作,1.se
4、tnull(T) 将T置为空树2.ROOT(x) 求x所在树的根结点3.PARENT(T,x） 树T中x结点的双亲；4.CHILD(T,x,i）求T中结点x的第i个子结点。5.ins_child(T,y,i,x) x作为T中y结点的第i个孩子6.del_child(T,x,i) 删除结点x的第i个子树。7.TRAVERSE(T） 遍历树T。按次序依次访问树中各个结点，且使每个结点只被访问一次。,9 /41,2.2 二叉树,一. 二叉树定义及运算1. 定义 n个结点的集合（n0） T = 所有子树都有左、右之分,10 /41,2.二叉树的五种基本形态,（a）（b）（c）,（d）（e）,O 空结点
5、,O 单个结点,O,O,右子树为空的二叉树,O,O,左子树为空的二叉树,O,O,O,左、右子树非空的二叉树,11 /41,3. 二叉树与树的区别,表达形式（对3个结点）树二叉树 （a） （b） （c） （d） （e）,O,O,O,O,O,O,O,O,O,O,O,O,O,O,O,有五种不同形式,12 /41,二叉树与树的区别（二）,二叉树是一种特定的树结构，但不是普通树的特殊情况；二叉树可以为空；而树不能为空；非空二叉树是有序树,而树可以是有序或无序树。,13 /41,4.二叉树的性质,性质一 二叉树的第i层上至多有2i-1个结点(i1)性质二深度为k的二叉树上最多含有2k-1个结点（k 1）。
6、,14 /41,1,2,3,8,6,5,7,4,10,9,11,12,13,14,15,第3层有23-1 个结点.深度为4,则最多有24 -1 个结点.,15 /41,5. 二叉树的基本运算,1.setnull(BT) 将二叉树BT置空2.root(x) x所在二叉树的根3.parent(BT,x） x结点的双亲4.lchild(BT,x） 求x左孩子结点 rchild(BT,x) 求x右孩子结点5.ins_lchild(BT,x,y) y置为x的左孩子 ins_rchild(BT,x,y) y置为x的右孩子6.del_lchild(BT,x) 删除 x的左子树 del_rchild(BT,x
7、) 删除 x的右子树7.TRAVERSE(BT） 遍历树T,16 /41,二. 二叉树的链式结构,data,leftp,rightp,左指针 数据 右指针,A,B,C,D,E,F,G,A,B,D,C,E,F,G,NULL,特点: 找子易, 找父难.,1. 二叉链表,NULL,NULL,17 /41,二. 二叉树的链式结构(续),parent,data,rightp,左指针 数据 父结点 右指针,A,B,C,D,E,F,G,C,特点: 找子、找父都易,leftp,A,B,D,E,G,F,2. 三叉链表,18 /41,三.特殊二叉树-满二叉树,1. 满二叉树若深度为k的二叉树T中共有2k-1个结点
8、(k1),则称T为满二叉树。 （a）满二叉树 （b）非满二叉树,O,O,O,O,O,O,O,O,O,O,O,O,O,19 /41,三.特殊二叉树-满二叉树,满二叉树的性质对满二叉树从第1层开始,自上而下、从左至右对每个结点由1开始编号，则深度为k的满二叉树结点编号i(1i2k-1-1),满足以下关系：1) i的左子树根编号为2*i，右子树根编号为 2*i+12) i的父结点编号为int(i/2)应用: 用一维数组存储满二叉数的结点,由一个结点的编号，计算出左、右子树的根及父结点的编号,20 /41,满二叉树存储举例,1,4,3,2,5,7,6,1 2 3 4 5 6 7,1 2 3 4 5 6
9、 7,第i个结点存放在第i个位置；第i个结点的父结点在第 i/2个位置;第i个结点的左子结点就存放在 第2*i的个位置;右子存放在第2*i+1位置.,21 /41,三.特殊二叉树-完全二叉树,深度为k的二叉树T,每层结点数目若满足:第i层(1ik-1)的结点个数均为2i-1第k层从右边连续缺若干个结点 这样的树称为完全二叉树。特点: 叶结点只能出现在层次最大的两层上. （a）完全二叉树 （b） 非完全二叉树,O,O,O,O,O,O,O,O,O,O,O,22 /41,完全二叉树的性质,设完全二叉树的结点总数为n，深度为k，某结点编号为i(1ik-1),则有：1) 若i1,则i的双亲结点编号为in
10、t(i/2)2) 若2*in,则i的左子结点的编号为2*i,否则 i为叶结点;3) 若2*i+1n,则i 的右子结点的编号为2*i+1,否则,i为叶结点.完全二叉树也可以采用一维树组作为存储结构,且方法完全同满二叉树.,23 /41,三.特殊二叉树-平衡二叉树,1.平衡因子: 二叉树上任一结点的左子树深度减去右子树深度的差值。2.平衡二叉树: 二叉树中,每个结点的平衡因子的绝对值都不大于1。（a）平衡二叉树 （b）非平衡二叉树,O,O,O,O,O,O,O,O,O,O,O,O,O,O,O,O,24 /41,三.特殊二叉树-二叉排序树,定义:或者是空二叉树；或者是：左子树上所有结点的值均小于根结点
11、的值；右子树上所有结点的值均大于等于根结点的值；左、右子树本身又是一棵二叉排序树。,25 /41,二叉排序树例题,例(P65) 有7个元素的序列: 10,18,3,3,9,13,25试根据算法的基本思想构造一棵二叉排序树a）二叉排序树 b）非二叉排序树,10,5,7,12,14,18,15,15,14,18,5,10,12,13,7,26 /41,四.二叉树的遍历,1. 遍历: 按一定次序访问树结构中的所有结点，且每个结点只被访问一次。2. 遍历方法先序遍历中序遍历后序遍历,27 /41,先序遍历,方法：根-左-右1) 访问根结点2) 先序遍历左子树3) 先序遍历右子树,根,左子树,右子树,a
12、,b,c,28 /41,中序遍历,方法：左-根-右1) 中序遍历左子树2) 访问根结点3) 中序遍历右子树,根,左子树,右子树,a,b,c,29 /41,后序遍历,方法：左-右-根1) 后序遍历左子树2) 后序遍历右子树3) 访问根结点,根,左子树,右子树,a,b,c,30 /41,二叉树的遍历举例,先序遍历序列： ABDEGCFHI 填空法: A( B(DE(G) ) C(F(HI) 中序遍历序列：DBGEACHFI投影法后序遍历序列：DGEBHIFCA填空法: (DGEB)(HIFC)A,31 /41,遍历序列的特性:由同一棵树先序和中序遍历可构造唯一的二叉树由同一棵树后序和中序遍历可构造
13、唯一的二叉树例: P69,已知一棵二叉树的先序遍历和中序遍历序列,构造此二叉树,32 /41,二叉树遍历算法,二叉树遍历方法：递归算法非递归算法递归算法和非递归算法中又分：先序法中序法后序法,33 /41,二叉树遍历算法（递归算法）,二叉链表的C语言描述： struct tnode intdata； struct tnode *lc,*rc ; ； typedef struct tnode TNODE;,34 /41,二叉树遍历算法（前序法递归程序）,void preorder_t(TNODE *root) if ( root != NULL ) printf(“%d n”,root-data
14、); if (root-lc!=NULL) preorder_t(root-lc); if (root-rc!=NULL) preorder_t(root-rc); 前序遍历序列为： A B C D E F,A,B,C,D,E,F,35 /41,2.3 树类的存储结构,双亲表示: 数组实现孩子表示: 链表实现孩子兄弟表示: 二叉链表实现,36 /41,一. 双亲表示法,1,2,3,4,5,6,7,8,9,序号结点双亲,1 2 3 4 5 6 7 8 9,1 2 3 4 5 6 7 8 9,0 1 1 2 2 3 5 5 5,特点：找双亲容易，找子结点难,存储数据元素结点同时存储双亲结点的位置,
15、37 /41,二. 孩子表示法,1,2,3,4,5,6,7,8,9,123456789,2,3,NULL,4,5,NULL,6,NULL,NULL,7,8,9,NULL,特点: 便于实现对孩子的操作,不便于对父亲的操作.,NULL,NULL,NULL,NULL,为每个结点的孩子建立一个链表,38 /41,三.孩子兄弟表示法,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,NULL,3,7,4,5,6,8,9,左子女右兄弟表示,39 /41,2.4 树、森林转换成二叉树,一. 树转换成二叉树加线: 连接兄弟结点；抹线:保留一个结点的最左子结点,抹掉其余兄弟结点与上级结点连线；以根为轴，顺时针旋转,40 /41,二. 森林转换成二叉树,将森林中每棵树的树根连接起来；将每棵树转换成对应的二叉树；以第一棵树的根为轴顺时针旋转,o,o,o,o,o,o,o,o,o,o,连线,o,o,o,o,o,o,o,o,o,o,o,抹线,o,o,o,o,o,o,o,o,o,o,旋转,o,o,o,o,o,o,o,o,o,o,41 /41,作业,本单元作业： 课本88页 5、6、7、9、11 题,
