1、1,第 六 章简单的超静定问题,2,第六章 简单的超静定问题,6-1 超静定问题及其解法,6-4 简单超静定梁,6-2 拉压超静定问题,6-3 扭转超静定问题,超静定问题,3,1.单纯依靠静力平衡方程能够确定全部未知力（支反 力、内力）的问题，称为静定问题。,6-1 超静定问题及其解法,相应的结构称为静定结构。,2.单纯依靠静力平衡方程不能确定全部未知力（支反 力、内力）的问题，称为超静定问题。,相应的结构称为超静定结构。,超静定问题,4,(1) 静力学关系列静力平衡方程,4. 超静定问题的解题方法步骤：,(2) 几何关系（变形几何相容条件）列几何方程,(3) 物理关系列物理方程,(4) 补充
2、方程：由几何方程和物理方程得到,(5) 解由平衡方程和补充方程组成的方程组。,3. 超静定次数 n ：n = 未知力数独立的平衡方程数,所有超静定结构,都是在静定结构上再加一个或几个约束,这些约束对于特定的工程要求是必要的,但对于保证结构平衡却是多余的,故称为多余约束，相应的有多余未知力。,超静定问题,5,静定基：解除超静定结构的多余约束后得到的静定结构，称为原超静定系统的静定基，同一问题静定基可以有不同的选择，主要是便于计算系统的变形和位移。,相当系统：在静定基上加上外载荷以及多余约束力，这样的系统称为原超静定系统的相当系统。,静定基、基本静定系（相当系统）,超静定问题,6,例6-2-1 如
3、图三杆用铰链连接，已知：l1=l2=l、 l3；横截面积A1=A2=A、 A3 ；弹性模量为：E1=E2=E、E3。外力沿铅垂方向，求各杆的内力。,拉压超静定问题,6-2 拉压超静定问题,对拉压超静定问题，可综合运用静力学关系、物力关系和几何关系（变形几何相容条件）三方面来求解。,一、拉压超静定问题解法,7,(2)几何方程变形协调方程：,(3)物理方程胡克定律：,(4)补充方程：由几何方程和物理方程得：,解: (1)以铰A为研究对象，列平衡方程:,(5)联解（1）、（2）、（3）式，得:,拉压超静定问题,8,例6-2-2 两端固定直杆受轴向外力 F 作用，截面尺寸如图所示，求两端反力。,解:,
4、由（1）、（2）式得,拉压超静定问题,9,例6-2-3 刚性梁AD由1、2、3杆悬挂，已知三杆材料相同，许用应力为，材料的弹性模量为 E，杆长均为l，横截面面积均为A，试求结构的许可载荷F。,拉压超静定问题,10,解：取刚性梁为研究对象，列静力平衡方程：,变形协调条件：,即：,受力图,位移图,拉压超静定问题,11,联立求解(1)和(2), 得：,3杆轴力为最大,其强度条件为:,拉压超静定问题,12,例6-2-4木制短柱的四角用四个40404的等边角钢 加固，角钢和木材的许用应力分别为1=160MPa和2=12MPa，弹性模量分别为E1=200GPa 和 E2 =10GPa；求许可载荷P。,（2
5、）列变形几何相容方程,（3）由物理方程得补充方程：,解：（1）以压头为研究对象, 设每个角钢受力为FN1，木柱受力为FN2.,拉压超静定问题,13,（4） 解平衡方程和补充方程，得:,（5）求结构的许可载荷：,角钢面积由型钢表查得: A1=3.086cm2,拉压超静定问题,14,解：(1)取铰A分析，列平衡方程:,例6-2-5如图所示3号杆的尺寸误差为，求各杆的装配内力。,二、装配应力: 杆件尺寸误差引起的应力。,1 静定问题无装配应力。,2 静不定问题存在装配应力。,FN1、 FN2 为压力， FN3为拉力。,拉压超静定问题,15,(3) 物理方程及补充方程：,(4) 解平衡方程和补充方程，
6、得:,(2) 几何方程,拉压超静定问题,16,1、静定问题无温度应力,三、温度应力,例6-2-6 如图，1、2号杆的尺寸及材料都相同，当结构温度由T1变到T2时,求各杆的温度内力。（各杆的线膨胀系数分别为i； T= T2 -T1),(2) 几何方程,2、静不定问题存在温度应力,解: (1)以铰A为研究对象，列平衡方程:,拉压超静定问题,17,(3) 物理方程：,(4) 补充方程：,杆件变形包括温度引起的变形和外力引起的变形两部分。,(5)联解（1）、（2）、（3）式，得:,拉压超静定问题,18,(2)几何方程,解：(1)解除约束，代之以约束力。列静力平衡方程:,例6-2-7 如图，阶梯钢杆的上
7、下两端在T1=5时被固定,杆的上下两段的面积分别为=cm2、=cm2，当温度升至T2 =25时,求各杆的温度应力。(线膨胀系数 ；弹性模量E=200GPa),拉压超静定问题,19,(3) 物理方程,(5)联解（1）、（2）式，得:,(4) 补充方程,(6) 温度应力,拉压超静定问题,20,例6-2-8 如图刚性梁悬挂于3根平行杆上，l2m, F40kN，a = 1.5m， b = 1m， c = 0.25m， 0.2mm。1杆由黄铜制成， A1=2cm2， E1=100GPa， 。2杆和3杆由碳钢制成， A2=1cm2， A3=3cm2， E2=E3=200GPa， 。设温度升高20，试求各杆
8、应力。,解：分析，各杆中即有由外载荷F引起的应力，也有装配应力，还有温度应力。,设三杆最终变形分别为l1、 l2、 l3 。,取刚性梁为研究对象，受力如图所示。,拉压超静定问题,21,(1) 列静力平衡方程:,(2) 几何方程:,(3) 物理方程:,拉压超静定问题,22,联解（1）（6）式得:,（4）三杆应力分别为:,拉压超静定问题,23,扭转超静定问题,6-3 扭转超静定问题,例6-3-1 两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C处受扭转力偶矩Me作用，如图a。已知杆的扭转刚度为GIp。试求杆两端的约束力偶矩以及C截面的扭转角。,扭转超静定问题，同样是综合运用静力学关系、物力关系和几何关系三方面
9、来求解。,24,解: 1. 以AB为研究对象,有二个未知约束力偶矩MA, MB，但只有一个独立的静力平衡方程,故为一次超静定问题。,扭转超静定问题,2. 变形几何方程为：,25,另一约束力偶矩MA可由平衡方程求得为,3. 根据位移相容条件利用物理关系得补充方程：,扭转超静定问题,讨论：C截面相对A的扭转角为：,26,例6-3-2由半径为 a 的铜杆和外半径为 b 的钢管经紧配合而成的组合杆，受扭转力偶矩 Me 作用，如图a。试求铜杆和钢管横截面上的扭矩Ta和Tb，并绘出它们横截面上切应力沿半径的变化情况(P82,思考题3-4)。,(a),扭转超静定问题,27,解: 1. 设铜杆和钢管的横截面上
10、内力矩分别为扭矩Ta和Tb(图b)，为一次超静定问题。,2. 位移相容条件为,扭转超静定问题,静力平衡方程： Ta+Tb= Me，,3. 利用物理关系得补充方程为,28,4. 联立求解补充方程和平衡方程得：,扭转超静定问题,5. 铜杆横截面上任意点的切应力为,钢管横截面上任意点的切应力为,29,上图示出了铜杆和钢管横截面上切应力沿半径的变化情况。需要注意的是，由于铜的切变模量Ga小于钢的切变模量Gb，故铜杆和钢管在r = a处切应力并不相等，两者之比就等于两种材料的切变模量之比。这一结果与铜杆和钢管由于紧配合而在交界处切向的切应变应该相同是一致的。,扭转超静定问题,30,简单超静定梁,一、超静
11、定梁的解法,解超静定梁的基本思路与解拉压、扭转超静定问题相同。,6-4 简单超静定梁,(1) 解除“多余”约束，并代之以“多余”约束力（未知力），得原超静定结构的基本静定系（或相当系统）。,(2) 利用“基本静定系在多余未知力作用处相应的位移应满足原超静定结构的约束条件”这一点求解未知量。,31,简单超静定梁,32,例6-4-1 试求图a所示等截面连续梁的约束力FA , FB , FC，并绘出该梁的剪力图和弯矩图。已知梁的弯曲刚度EI=5106 Nm2。,简单超静定梁,解: 1. 此梁为一次超静定梁。,33,此时基本静定系为两跨相邻的简支梁，它们除承受原超静定梁上的荷载外，在中间支座B处的梁端
12、还分别作用有等值反向的“多余”未知力矩 弯矩MB，图b中的“多余”未知力矩为一对正弯矩。位移相容条件(参见图b)为,2. 为便于求解，对于连续梁常取中间支座截面处阻止左、右两侧梁相对转动的内部角约束为“多余”约束，从而以梁的中间支座截面上的弯矩作为“多余”未知力，如图b。,简单超静定梁,34,3. 利用附录可得物理关系为,应该注意，在列出转角 的算式时每一项的正负号都必须按同一规定(例如顺时针为正，逆时针为负)确定。,简单超静定梁,35,4. 将物理关系代入位移相容条件得补充方程，,5. 利用图b可得约束力：,简单超静定梁,解得：,36,绘出剪力图和弯矩图如图c,d。,简单超静定梁,37,由上
13、3式得：,例6-4-2如图所示梁。已知:q=15N/m,l=4m,梁圆截面直径d=100mm,=100MPa。试校核该梁的强度。,解：（1）列静力平衡方程,（2）列变形协调方程,简单超静定梁,（3）得补充方程,梁满足强度条件,38,例6-4-3 试求图示梁的支反力。,解：在小变形条件下,B点轴向力较小可忽略不计,所以为一次超静定。,简单超静定梁,39,例6-4-4 结构如图示,设梁AB和CD的弯曲刚度EIz相同.拉杆BC的拉压刚度EA为已知,求拉杆BC的轴力.,解：将杆CB移除，则AB,CD均为静定结构，杆CB的未知轴力FN作用在AB,CD梁上。为1次超静定。,简单超静定梁,40,练习：两悬臂
14、梁间有一滚柱以实现弹性加固，受力情况如图。AB梁抗弯刚度为EI，DC梁抗弯刚度为2EI。试求：经过滚柱所传递的压力。,选取静定基,解：一次超静定,简单超静定梁,41,当系统的温度升高时,下列结构中的_不会产生温度应力.,简单超静定梁,42,图示等直梁承受均布荷载q作用,C处用铰链连接。在截面C上_。,A. 有弯矩，无剪力；,B. 有剪力，无弯矩；,C. 既有弯矩又有剪力；,D. 既无弯矩又无剪力；,简单超静定梁,43,(二) 梁的上、下表面温度差异的影响,图a所示两端固定的梁AB在温度为 t0 时安装就位，其后，由于梁的顶面温度升高至 t1，底面温度升高至 t2，且 t2t1，从而产生约束力如
15、图中所示。,由于未知的约束力有6个，而独立的平衡方程只有3个，故为三次超静定问题。,简单超静定梁,44,现将右边的固定端B处的3个约束作为“多余”约束，则解除“多余”约束后的基本静定系为左端固定的悬臂梁。,它在上,下表面有温差的情况下，右端产生转角qBt和挠度wBt(见图c)以及轴向位移Bt。,简单超静定梁,45,如果忽略“多余”未知力FBx对挠度和转角的影响，则由上,下表面温差和“多余”未知力共同引起的位移符合下列相容条件时，图b所示的悬臂梁就是原超静定梁的相当系统：,l,简单超静定梁,46,式中一些符号的意义见图c,d,e。,简单超静定梁,47,现在先来求qBt和wBt与梁的上,下表面温差
16、(t2- t1)之间的物理关系。,从上面所示的图a中取出的微段dx, 当其下表面和上表面的温度由t0分别升高至t2和t1时，右侧截面相对于左侧截面的转角dq 由图b可知为,上式中的负号用以表示图a所示坐标系中该转角 dq 为负。,简单超静定梁,48,将此式积分，并利用边界条件,得,根据上式可知，该悬臂梁因温度影响而弯曲的挠曲线微分方程为,简单超静定梁,49,从而有,至于温差引起轴向位移DBt则为,简单超静定梁,50,位移相容条件表达式中由“多余”未知力引起的位移所对应的物理关系显然为,简单超静定梁,51,位移相容条件,已得出的物理关系,简单超静定梁,52,将以上所有物理关系代入三个位移相容条件的表达式即可解得,l,简单超静定梁,53,结 束,
