1、5.相似原理与量纲分析,5.1 流动的力学相似,5.2 相似准则,5.3 流动相似条件,5.5 量纲分析法,5.4 近似模拟试验,流体力学 问题,数学分析,实验研究,模型实验,数值计算,数学模型,数值结果,实物实验 比拟实验 模型实验,5.1 流动的力学相似,为使模型流动能表现出原型流动的主要现象和特性，并从模型流动上预测出原型流动的结果，就必须使两者在流动上相似。即两个互为相似流动的对应部位上对应物理量都有一定的比例关系。具体来说，两相似流动应满足几何相似 、运动相似、 动力相似 。,几何相似,模型和原型的全部对应线形长度的比值为一定常数。即流场几何形状相似，相应长度成比例，相应角度相等。,
2、l 长度比尺,长度比尺是几何相似的基本比尺。,几何相似还可认为包括流场相应边界性质相同，如固体壁面，自由液面等。,运动相似,满足几何相似的流场中，对应时刻、对应点流速（加速度）的方向一致，大小的比例相等，即它们的速度场（加速度场）相似。,v 速度比尺,时间比尺：,加速度比尺：,运动学物理量的比例系数都可以表示为尺度比例系数和时间比例系数的不同组合形式。,动力相似,在对应瞬时，流场中各种成分的力（时变惯性力、位变惯性力、质量力、压差力和粘性力）矢量图都相似，即相应点力的大小成比例，方向相同。,F 力的比尺,动力相似对应点上的力的封闭多边形相似,F,由牛顿定律：,力矩（功，能）比例尺:,M,l,F
3、,压强（应力）比例尺:,p,F,A,v2,功率比例尺:,动力粘度比例尺:,有了模型与原型的密度比例尺，长度比例尺和速度比例尺，就可由它们确定所有动力学量的比例尺。,初始和边界条件的相似,边界条件：有几何、运动和动力三个方面的因素。如固体边界上的法线流速为零，自由液面上的压强为大气压强等 。,初始条件：适用于非定常流。,流动相似的含义： 几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据； 动力相似是决定二个流动相似的主导因素； 运动相似是几何相似和动力相似的表现； 凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。,5.2 动力相似准则,在几何相似的条件下，两种物理现象保证相似的条件或准则 。,
4、动力相似准则：在两相似的流动中，各种力之间保持固定不变的比例关系。,流体运动状态的改变是惯性力和其他各种作用力相互作用的结果。因此，各种作用力之间的比例关系应以惯性力为一方来相互比较。,各比尺之间具有一定的关系,F,根据：,可得：,或,令,Ne称为牛顿数，是作用力与惯性力的比值。,两个相似流动的牛顿数应相等，这是流动相似的重要标志和准则，称为牛顿数相似准则，说明了完全的动力相似。完全的动力相似，要求惯性力与其他力比值都相等，但实际上不可能达到，所以常选一个对流动起决定作用的力给予满足。,重力相似准则,重力比：,v,g,l,称为弗汝德数，它是惯性力与重力的比值。,重力场中 ，则：,重力相似准则适
5、用范围：凡有自由水面并且允许水面上下自由变动的各种流动（重力起主要作用的流动），如堰坝溢流、孔口出流、明槽流动、湍流阻力平方区的有压管流与隧洞流动等。,v,g,l,粘性力相似准则,粘性力比：,l,v,F,称为雷诺数，它是惯性力与粘性力的比值。,l,v,模型与原型用同一种流体时， ，则：,v,l,粘性力相似准则适用范围：主要受水流阻力即粘滞力作用的流体流动，凡是有压流动，重力不影响流速分布，主要受粘滞力的作用，这类液流相似要求雷诺数相似。另外，处于水下较深的运动潜体，在不至于使水面产生波浪的情况下，也是以雷诺数相等保证液流动力相似。如层流状态下的管道、隧洞中的有压流动和潜体绕流问题等。,压力相似
6、准则,压力比：,l2,p,F,p,v2,称为欧拉数，它是总压力与惯性力的比值。,当压强用压差代替：,欧拉数:,欧拉相似准则:,一般，两液流的雷诺数相等，欧拉数也相等；两液流的弗劳德数相等，欧拉数也相等。只有出现负压或存在气蚀情况的液体，才需考虑欧拉数相等来保证液流相似。,表面张力相似准则,表面张力比：,l,F,v2,l,称为韦伯数，它是惯性力与表面张力的比值。,非定常性相似准则,惯性张力比：,F,l3,v,t1,l,v,t,St 称为斯特劳哈尔数，它是当地惯性力与迁移惯性力的比值。,t,弹性力相似准则,弹性力比：,l2,c2,F,v,c,称为马赫数，它是惯性力与弹性力的比值。,若流场中的流体为
7、气体，则 （ 为声速）,如果已经有了某种流动的运动微分方程，可由该方程直接导出有关的相似准则和相似准则数，方法是令方程中的有关力与惯性力相比。,作用在流体上的力除惯性力是企图维持流体原来运动状态的力外，其他力都是企图改变运动状态的力。如果把作用在流体上的各力组成一个力多边形的话，那么惯性力则是这个力多边形的合力，即牛顿定律 流动的变化就是惯性力与其他上述各种力相互作用的结果。因此各种力之间的比例关系应以惯性力为一方来相互比较。,5.3 流动相似条件,相似流动必然满足以下条件：,1任何相似的流动都是属于同一类的流动，相似流场对应点上的各种物理量，都应为相同的微分方程所描述； 2相似流场对应点上的
8、各种物理量都有唯一确定的解，即流动满足单值条件； 3由单值条件中的物理量所确定的相似准则数相等是流动相似也必须满足的条件。,相似第二定理（模化法则）,几何条件 边界条件（进口、出口的速度分布等） 物性条件（密度、粘度等） 初始条件（初瞬时速度分布等）,单值条件,单值条件能把服从于同一方程组的无数现象，单一地划分出某一具体现象。,由单值条件中的物理量所组成的相似准则称为“定性准则”，而将包含被决定量的相似准则称为“非定性准则”。,1根据物理量所组成的相似准则数相等的原则去设计模型， 选择流动介质； 2在实验过程中应测定各相似准则数中包含的一切物理量；3用数学方法找出相似准则数之间的函数关系，即准
9、则方程式。该方程式便可推广应用到原型及其他相似流动中去。,在什么条件下进行实验？,在相似的条件下进行实验,应该测量那些物理量？,应该测量准则中包含的量,实验结果应如何整理？,应该整理成相似准则数,5.4 近似模拟试验,以相似原理为基础的模型实验方法，按照流体流动相似的条件，可设计模型和安排实验。这些条件是几何相似、运动相似和动力相似。前两个相似是第三个相似的充要条件，同时满足以上条件为流动相似，模型实验的结果方可用到原型设备中去。,通常，要做到流动完全相似是很难办到（甚至是根本办不到）的。比如，对于粘性不可压缩流体定常流动，尽管只有两个定性准则，即 和,Re,Fr,同时满足两个准则：,r,F,
10、Fr,=,=,e,R,Re,不能选用同种介质,选用不同介质,在重力场下实验,用相同介质实验,在工程实际中的模型试验，大多数只能满足部分相似准则，即称之为局部相似。如粘性不可压缩定常流动的问题，不考虑自由面的作用及重力的作用，只考虑粘性的影响，则定性准则只考虑雷诺数，因而模型尺寸和介质的选择就自由了。,在设计模型和组织模型试验时，在与流动过程有关的定性准则中只考虑那些对流动过程起主导作用的定性准则，而忽略那些对过程影响较小的定性准则。,几何现状不完全相似的近似模化,正态模型,变态模型,比例变化形状变化维数变化,形状相同，维数相同，比例一致，大小不同。,长径比,长宽比,三改二,输水渠道的模拟实验,
11、实际渠道长10000m，宽2m，深1m。,模型渠道长100m，宽10mm，深5mm。,如按50m长建造模型，几何比尺：1:200,自模化实质是自身模拟的概念。比如在某系统中，有两个数与其它量比起来都很大，则可认为这两个数自模拟了。又比如，在圆管流动中，当 Re 2320 时，管内流动的速度分布都是一轴对称的旋转抛物面。当 Re4105管内流动状态为湍流状态，其速度分布基本不随 Re 变化而变化，故在这一模拟区域内，不必考虑模型的 Re 与原型的 Re 相等否，只要与原型所处同一模化区即可。,简化模型实验方法中流动相似的条件，除局部相似之外，还可采用自模化特性和稳定性。,5.5 量纲分析法,物理
12、量单位的种类叫量纲，由基本单位和导出单位组成单位系统。,量纲分析法是用于寻求一定物理过程中，相关物理量之间规律性联系的一种方法。,在量度物理量数值大小的标准（单位）确定之后，一个具体的物理量就对应于一个数值，有了比较意义上的大小，这是物理量的量的特征。,基本量纲（dim）：互不依赖，互相独立的量纲。基本量纲具有独立性，比如与温度无关的动力学问题可选取长度L、时间T和质量M为基本量纲。,量纲可分为基本量纲和导出量纲,导出量纲可由量纲公式通过基本量纲导出，例如， 称为量纲指数。,如果一个物理量的所有量纲指数为零，就称为无量纲量。无量纲量可以是相同量纲量的比值，也可以是几个有量纲量通过乘除组合而成
13、。,流体力学中常遇到的用基本量纲表示的导出量纲,量纲和谐原理,一个正确、完整的反映客观规律的物理方程式中，各项的量纲是一致的，这就是量纲一致性原理。,正确反映客观物理规律的函数关系 式或方程式，其各项的量纲指数都分别相同。任何表示客观物理规律的数学关系式，其数学形式不随单位制变换而 改变形式。客观物理规律必定可以通过无量纲量之间的关系 式来表达。,确定方程式中物理量的指数，从而找到物理量间的函数关系，从而找到物理量间的函数关系，以建立结构的物理、力学方程式。,量纲分析法正是依据物理方程量纲一致性原则，从量纲分析入手，找出流动过程的相似准则数，并借助实验找出这些相似准则数之间的函数关系。常用的量
14、纲分析法有瑞利法和 定理。,瑞利法 （Rayleigh）,瑞利法是用定性物理量x1、 x2、. 、 xn的某种幂次之积的函数来表示被决定的物理量y。,k为无量纲系数，由试验确定。,a1、 a2、. 、an为待定指数，根据量纲一致性原则求出。,定理（布金汉定理）,如果一个物理过程涉及到n个物理量和m个基本量纲，则这个物理过程可以由n个物理量组成的n-m个无量纲量（相似准则数i）的函数关系来描述。,2. 物理过程的有量纲表达形式为 ，其中 m个物理量的量纲被选为基本量纲，余下 n-m 个物理量可各自与这 m个物理量组合成无量纲量 ， 定理的结论是：物理过程的 无量纲表达形式为,物理过程涉及 n个物
15、理量，其中有 m 个物理量的量纲是互相独立 的， 选这些量纲为基本量纲，可组成 n-m个无量纲量，物理过程 则可由这 n-m个无量纲量的关系式描述。 否则就违反了量纲和谐 原理。,从无量纲表达看， 似乎物理过程涉及的因素减少了， 其实涉及的 物理量并未减少， 只是这些物理量组合成了若干无量纲量相互关联。 比起有量纲表达来， 无量纲表达更接近于相关物理量之间规律性联系的实质，也更具普遍性。,应用定理的要点在于：确定物理过程涉及的物理量时，既不能遗漏， 也不要多列。,例题 31,解：,按照瑞利法可以写,出压强降,（,b,）,如果用基本量纲表示方程中的各物理量，则有,(,),(,),(,),6,5,4,3,2,1,1,1,3,1,2,1,a,a,a,a,a,a,T,ML,ML,LT,L,L,L,T,ML,-,-,-,-,-,-,=,根据物理方程量纲一致性原则有,对,L,对,T,对,M,
