1、第十五章 机械波,151 机械波的几个概念152 平面简谐波的波函数153 波的能量154 惠更斯原理155 波的干涉156 驻波 157 声波超声波 次波158 多普勒效应,教学基本要求,一 掌握描述简谐波的各物理量及各量间的关系；,二 理解机械波产生的条件。掌握由已知质点的简谐运动方程得出平面简谐波的波函数的方法。理解波函数的物理意义。了解波的能量传播特征及能流、能流密度概念。,三 了解惠更斯原理和波的叠加原理。理解波的相干条件，能应用相位差和波程差分析、确定相干波叠加后振幅加强和减弱的条件；,四 理解驻波及其形成，了解驻波和行波的区别；,五 了解机械波的多普勒效应及其产生的原因。在波源或
2、观察者沿二者连线运动的情况下，能计算多普勒频移。,振动,波动,一 机械波的形成,产生条件：1）波源；2）弹性介质.,波是运动状态的传播，介质的质点并不随波传播.,机械波：机械振动在弹性介质中的传播.,横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波.,（媒质质点发生剪切形变，仅能在固体中传播 ）,二 横波与纵波,特征：具有交替出现的波峰和波谷.,纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波.,（可在固体、液体和气体中传播）,特征：具有交替出现的密部和疏部.,波速,常见的波：,横波：弹性绳上的波等纵波：声波、地震波等,水表面的波既非横波又非纵波,波形图：,某时刻各点振动的位移 y (广义：任一物理量)
3、与相应的平衡位置坐标 x 的关系曲线,区别波形曲线和振动曲线,三 波长 波的周期和频率 波速,波长 ：沿波的传播方向，两个相邻的、相位差为 的振动质点之间的距离，即一个完整波形的长度.,O,y,A,周期 ：波前进一个波长的距离所需要的时间.,频率 ：周期的倒数，即单位时间内波动所传播的完整波的数目.,波速 ：波动过程中，某一振动状态（即振动相位）单位时间内所传播的距离（相速）.,波速 与介质的性质有关， 为介质的密度.,四 波线 波面 波前,例1 在室温下，已知空气中的声速 为340 m/s，水中的声速 为1450 m/s ，求频率为200 Hz和2000 Hz 的声波在空气中和水中的波长各为
4、多少？,在水中的波长,解 （1）气体中纵波的速度,由理想气体状态方程,例2 假如在空气中传播时，空气的压缩与膨胀过程进行得非常迅速，以致来不及与周围交换热量，声波的传播过程可看作绝热过程. （1）视空气为理想气体，试证声速 与压强 的关系为 ，与温度 T 的关系为 .式中 为气体摩尔热容之比， 为密度，R 为摩尔气体常数，M 为摩尔质量.,解 （2）由（1）,一 平面简谐波的波函数,简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作简谐运动时，在介质中所形成的波。,平面简谐波：波面为平面的简谐波。,波函数：介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的位移（坐标为 y）随时间的变化关系，即 称为波函数。,
5、各质点相对平衡位置的位移,波线上各质点平衡位置,以速度u 沿 x 轴正向传播的平面简谐波 . 令原点O 的初相为零，其振动方程,1、时间推迟方法,t 时刻点 P 的运动,t-x/u时刻点O 的运动,点P 振动方程,波函数,2、相位落后法,点 O 振动方程,点 P 比点 O 落后的相位,点 P 振动方程,沿 轴负向,点 O 振动方程,如果原点的初相位不为零,波动方程的其它形式,质点的振动速度，加速度,二 波函数的物理意义,1 当 x 固定时， 波函数表示该点的简谐运动方程，并给出该点与点 O 振动的相位差.,（波具有时间的周期性）,波线上各点的简谐运动图,（波具有空间的周期性）,2 当 一定时，
6、波函数表示该时刻波线上各点相对其平衡位置的位移，即此刻的波形.,波程差,3 若 均变化，波函数表示波形沿传播方向的运动情况（行波）.,例1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速.,解：（比较系数法）.,把题中波动方程改写成,比较得,1）波动方程,例2 一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播， 已知振幅 ， ， . 在 时坐标原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动 . 求,解 写出波动方程的标准式,2）求 波形图.,3） 处质点的振动规律并做图 .,处质点的振动方程,例3 一平面简谐波以速度 沿直线传播,波线上点 A 的简谐运动方程 .,1）以 A 为坐标原点，写出波动方程,2）以 B
7、为坐标原点，写出波动方程,3）写出传播方向上点C、点D 的简谐运动方程,点 C 的相位比点 A 超前,点 D 的相位落后于点 A,4）分别求出 BC ，CD 两点间的相位差,1）给出下列波函数所表示的波的传播方向和 点的初相位.,2）平面简谐波的波函数为 式中 为正常数，求波长、波速、波传播方向上相距为 的两点间的相位差.,向x 轴正向传播,向x 轴负向传播,3 ） 如图简谐波以余弦函数表示，求 O、a、b、c 各点振动初相位.,当波在弹性媒质中传播时，各质元都在振动,因振动 有振动动能因形变 有形变势能,波的能量,以固体棒中传播的纵波为例分析波动能量的传播.,一 波动能量的传播,波函数,速度
8、,振动动能,杨氏模量,弹性势能,体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能均最大.,体积元的位移最大时，三者均为零.,体积元的总机械能,1）在波动传播的媒质中，任一体积元的动、 势能、总机械能均随 作周期性变化，且变化是同相位的.,2） 任一体积元都在不断地接收和放出能量，即不断地传播能量 . 任一体积元的机械能不守恒 . 波动是能量传递的一种方式 .,能量密度：单位体积介质中的波动能量.,平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值.,二 波的能流和能流密度,能流：单位时间内垂直通过某一面积的能量.,平均能流：,能流密度 ( 波的强度 ) : 通过垂直于波传播方向的单位面积的平均能流.,例 证明
9、球面波的振幅与离开其波源的距离成反比，并求球面简谐波的波函数.,证 介质无吸收，通过两个球面的平均能流相等.,即,式中 为离开波源的距离， 为 处的振幅.,介质中波动传播到的各点都可以看作是发射子波的波源，而在其后的任意时刻，这些子波的包络就是新的波前.,一 惠更斯原理,已知t时刻的波面t +t时刻的波面，从而可得出波的传播方向,应用：,不足：,(1)不能说明子波为何不能倒退。 (2)涉及波在传播过程中的强度问题，因而对某些波动现象(如干涉等)不能说明。,波在传播过程中遇到障碍物时，能绕过障碍物的边缘，在障碍物的阴影区内继续传播.,二 波的衍射,相对而言 长波衍射现象明显，方向性不好； 短波衍
10、射现象不明显，方向性好。(长波、短波是以波长与障碍物的线度相比较而言的),思考：,a(女)、b(男) 在说 话，c在墙后较容 易听到谁的声音？,三 波的反射和折射,用惠更斯原理证明.,波的折射,用惠更斯原理证明.,时刻 t,时刻 t+t,所以,一 波的叠加原理,1、波传播的独立性,几列波相遇之后， 仍然保持它们各自原有的特征（频率、波长、振幅、振动方向等）不变，并按照原来的方向继续前进，好象没有遇到过其他波一样.,红绿光束空间交叉相遇 (红是红、绿是绿，)听乐队演奏 (仍可辨出不同乐器的音色、旋律)空中无线电波很多(仍能分别接收各个电台),细雨绵绵独立传播,2、叠加原理,在相遇区域内任一点的振
11、动，为各列波单独存在时在该点所引起的振动位移的矢量和.,二 波的干涉,频率相同、振动方向平行、相位相同或相位差恒定的两列波相遇时，使某些地方振动始终加强，而使另一些地方振动始终减弱的现象，称为波的干涉现象.,波源的相干条件,干涉情况分析,和 为相干波源，所发出的波在P点相遇,点P 的两个分振动,常量,1 ) 合振动的振幅（波的强度）在空间各点的分布随位置而变，但是稳定的.,例 如图所示，A、B 两点为同一介质中两相干波源.其振幅皆为5cm，频率皆为100Hz，但当点 A 为波峰时，点B 适为波谷.设波速为10m/s，试写出由A、B发出的两列波传到点P 时干涉的结果.,解,设 A 的相位较 B
12、超前，则 .,点P 合振幅,一 驻波的产生,振幅、频率、传播速度都相同的两列相干波，在同一直线上沿相反方向传播时叠加而形成的一种特殊的干涉现象.,驻 波 的 形 成,二 驻波方程,正向,负向,驻波方程,波腹,波节,相邻波腹（节）间距,相邻波腹和波节间距,1）振幅 随 x 而异， 与时间无关.,2）相邻两波节之间质点振动同相位，任一波节两侧振动相位相反，在波节处产生 的相位跃变 .（与行波不同，无相位的传播）.,三 相位跃变（半波损失）,当波从波疏介质垂直入射到波密介质， 被反射到波疏介质时形成波节. 入射波与反射波在此处的相位时时相反, 即反射波在分界处产生 的相位跃变，相当于出现了半个波长的
13、波程差，称半波损失.,当波从波密介质垂直入射到波疏介质， 被反射到波密介质时形成波腹. 入射波与反射波在此处的相位时时相同，即反射波在分界处不产生相位跃变.,解 (1) 入射波在B点的振动方程为,反射波在B点的振动方程,任取一点P，其坐标为x，P点的振动比B点的振动相位落后,反射波的表达式,l=5,(2) 驻波的表达式为,(3) 驻波波节,波腹的坐标,四 驻波的能量,驻波的能量在相邻的波腹和波节间往复变化，在相邻的波节间发生动能和势能间的转换，动能主要集中在波腹，势能主要集中在波节，但无长距离的能量传播.,五 振动的简正模式,两端固定的弦振动的简正模式,一端固定一端自由 的弦振动的简正模式,频
14、率,波速,基频,谐频,解 ：弦两端为固定点，是波节.,如图二胡弦长 ，张力 . 密度,. 求弦所发的声音的基频和谐频.,在弹性介质中传播的机械纵波，一般统称为声波.,可闻声波 20 20000 Hz次声波低于20 Hz 超声波高于20000 Hz,声强：声波的能流密度.,贝尔（B）,声强级：人们规定声强 （即相当于频率为 1000 Hz 的声波能引起听觉的最弱的声强）为测定声强的标准. 如某声波的声强为 I ， 则比值 的对数，叫做相应于 I 的声强级 LI .,声强：声波的能流密度.,能够引起人们听觉的声强范围：,分贝（ dB ）,几种声音近似的声强、声强级和响度,人耳听到的声音的频率与声源
15、的频率相同吗？,接收频率单位时间内观测者接收到的振动次数或完整波数.,只有波源与观察者相对静止时才相等.,一 波源不动，观察者相对介质以速度 运动,观察者接收的频率,观察者向波源运动,观察者远离波源,二 观察者不动，波源相对介质以速度 运动,波源向观察者运动,观察者接收的频率,波源远离观察者,三 波源与观察者同时相对介质运动,若波源与观察者不沿二者连线运动,当 时，所有波前将聚集在一个圆锥面上，波的能量高度集中形成冲击波或激波，如核爆炸、超音速飞行等.,多普勒效应的应用,1）,解,3） 观察者听到的拍频,例2 利用多普勒效应监测车速，固定波源发出频率为 的超声波，当汽车向波源行驶时，与波源安装
16、在一起的接收器接收到从汽车反射回来的波的频率为 . 已知空气中的声速为 ， 求车速 .,解 1）车为接收器,2）车为波源,车速,例2、一人站立不动，一声源S以V1的速度向右运动，同时一反射屏以V2的速度向左运动。求人听到的“拍频” 是多少？已知声频为，声速为u,解：人听到的“拍频”是直接由声源S传到人耳的声频1和由反射屏反射回来的声频2之差。有：,为求2要分两步进行，先将反射屏作为接收器，它接收到的频率为：,再将反射屏作为波源，人听到的反射波频率为：,因而人听到的“拍频”为：,四、冲击波,演示：冲击波,例3 在5000m的高空，一喷气机以1.5马赫（即声速的1.5倍）的速率飞越地面上一观察者的头顶上空。问当飞机通过此观察者头顶上空后，需经过多少时间，飞机所引起的冲击波才能到达观察者所在处？已知空气中声速为330 ms1。,解,设地面观察者位于A处，飞机从B处通过他头顶上空,
