1、第十章 机械振动和机械波一、基本知识点机械振动：物体在平衡位置附近的往复运动叫做。胡克定律: 弹簧弹性力 的大小与位移 的大小成正比，而且 的方向与位移方向相FxF反，即 k式中， 为弹簧的劲度系数。具有这种性质的力称为线性回复力。k简谐振动的运动学方程: cos()xAt式中 为振幅，表示振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值； 是决定简谐振A ()t动状态的物理量，称为在 时刻振动的相位，单位是弧度 ； 为初相位，是 时t ()rad0t刻的相位； 为角频率。km简谐振动的动力学方程:20dxt简谐振动的频率：振动物体在单位时间内完整振动的次数，单位是赫兹 。()Hz简谐振动的周期：振动物
2、体完成一次完整振动所经历的时间，单位是秒 。s关系：周期 是频率 的倒数； = = / T2T简谐振动物体的速度: sin()cos()2dxAtAtt 简谐振动物体的加速度: 222cos()cos()dxaAtxAtt振幅： 20x初相位： 0arctnx式中， 为 t=0 时刻的初始位移， 为 t=0s 时刻的初始速度。0x0旋转矢量法: 用一个旋转矢量末端在一条轴线上的投影点的运动来表示简谐振动的方法。以简谐振动的平衡位置 作为 轴的坐标原点，自 点出发作一矢量 （其长度等于OxOA简谐振动振幅 ） 。设 时刻，矢量 与 轴所成的角等于初相位 。若矢量 以角A0tA速度 （其大小等于简
3、谐振动角频率 ）匀速绕 点逆时针旋转，则在任一时刻矢量 末端在 轴上的投影点 相对原点的位移为 ，显然， 在 轴上做简谐振xPcos()xtPx动。如图 10-1 所示。 Att0tMxxPOcos()At图 10-1 简谐振动的旋转矢量法弹簧振子的弹性势能： 221cos()pEkxmAt弹簧振子的动能： 221sin()kEmAt系统的总机械能： 2pk表明总机械能总量守恒。两个同方向、同频率简谐振动的合成:设两个在同一直线上的同频率的简谐振动，以平衡位置为坐标原点，在任一时刻 的t位移分别为 11cos()xAt22合振动的位移：=12x1122cos()cos()AtAtx合振动的初相
4、位: 12sinsitacoA合振动的振幅：21121s()（1） 当两个分振动同相时，即 ，则合振动的振幅2,0,2k有最大值为 ；max12A（2） 当两个分振动反相时，即 ，则合振动的21,1,k振幅有最小值为 ；min12（3） 当两个分振动既不是同相，也不是反相时，合振动的振幅介于最大值与最小值 之间，即其取值范围为 。max12Ain12A1212AA两个同方向、不同频率简谐振动的合成：设角频率 和 非常接近，振动方程分别为1211cos()xAt和 22s()t合振动为121221cos()cos()xAtt拍：合振动振幅时强时弱，周期性缓慢变化的现象。拍频： 21T拍机械波：机
5、械振动在弹性媒质中的传播过程。横波：质点振动方向与波的传播方向垂直的波。纵波：振动方向和波的传播方向相互平行的波。波线：波沿着某一方向传播所画的射线。波面：在传播过程中任一时刻相位相同的点所组成的面。也叫波阵面或同相面。波前：波源开始振动后，离波源最远的波面。球面波：波阵面是球面的波。平面波：波阵面是平面的波。波长：波在传播过程中，沿同一波线上相位差为 2 的两个相邻质点的距离。用 表示，单位是 m。波数：在 2 的长度内含有的完整波的数目，记作 k， 。2周期：波前进一个波长距离所需要的时间，用 T 来表示，单位是 s。波动的周期等于波源振动的周期。频率：在单位时间内波动所传播的完整波的数目
6、。波的频率等于周期的倒数，用 表示，单位是 Hz。波速：振动状态在介质中的传播速度，即某一振动状态（振动相位）在单位时间内传播的距离，用 u 表示，单位是 m/s。uvT在固体中横波的波速为 G式中 G 是固体材料的剪切模量， 是固体材料的密度。纵波在固体中的传播速率为 Yu式中 Y 是固体材料的杨氏模量。在流体中只能形成和传播纵波，其传播速率可以表示为 Bu式中 B 是流体的体变模量， 是介质的密度。对于理想气体，纵波的波速表示为 PuP 是气体的压力， 是气体的密度， 是气体的比热容比。简谐波：各质点都做简谐振动的媒质中传播的波。平面简谐波：波阵面是平面的简谐波。平面简谐波的波函数： co
7、sxyAtu式中，A 为振幅， 为角频率， 为初相位，t 为波由波源传播到 x 处的时间，y 为媒质中 x 处质点做简谐振动的位移。平面简谐波的波函数的等价形式： cosyAtkx2TcosyAkutx关系：， ， 2TT2ku沿 x 轴负方向传播的波函数： cosxyAtu波函数的物理意义：(1) 当确定一个任意给定的质元，其坐标 x=x0 时，由波函数给出 x0 处质元的振动方程cosyAtu02xtcosAt式中 是 x0 处质元振动的初相位。2(2) 若是任意给定时间 t=t0，由波函数给出波线上各质元位移随他们的平衡位置坐标做余弦式变化 0cosxyAtu体现了波的空间周期性。(3)
8、 如果 x 和 t 都发生变化，则波函数表示波线上任意 x 处的质元在不同时刻 t 的位移分布情况，即 y (t, x)。质元的振动速度： sindyxvAttu质元的振动动能： 221sink xEVvtu质元的相对形变：sinyAxtxuu质元的弹性势能：Ep 221sinxSxtu质元的总机械能: 22sinkp xASxtu波的能量密度：波传播的媒质中单位体积内的能量。用 w 来表示，则介质中 x 处在 t时刻的能量密度是 2sinExwAtVu平均能量密度：在一个周期内能量密度的平均值，用 表示，有w2 2001 1sinTTxdt tdtAu表明，介质中波的平均能量密度与振幅的平方
9、、频率的平方和介质密度的乘积成正比。能流：单位时间内通过某一面积的能量，用 P 表示，单位 W（瓦特） 。若在介质中取垂直于波速 u 的面积 S，则在单位时间内通过 S 面的能量等于体积 uS 内的能量，有wu取其时间平均值，则 21PSAS能流密度：垂直于通过单位面积的平均能流，即单位时间流过垂直于波速方向的单位面积的能量。用 I 表示 21AwIuSPI 又称为波的强度，单位是 Wm-2， 。二、典型习题解题指导10-1 原长为 的弹簧，上端固定，下端挂一质量为 的物体，当物体静止时，m5.0 kg1.0弹簧长为 。现将物体上推，使弹簧缩回到原长，然后放手，以放手时开始计时，取6.竖直向下
10、为正向，写出振动式。 （g 取 9.8m/s2）解：振动方程： ，在本题中， ，所以 ；cos()xAtkxmg9.8k 。9.801km取竖直向下为 x 正向，弹簧伸长为 0.1m 时为物体的平衡位置，所以如果使弹簧的初状态为原长，那么：A=0.1m， 当 t=0 时，x=-A，那么就可以知道物体的初相位为 。所以： 0.1cos98t（ ）即： 。()10-2 一竖直悬挂的弹簧下端挂一物体，最初用手将物体在弹簧原长处托住，然后放手，此系统便上下振动起来，已知物体最低位置是初始位置下方 处，求：10.cm1）振动频率。2）物体在初始位置下方 处的速度大小。cm0.8解：1）由题知 2A=10
11、cm，所以 A=0.05m，选弹簧原长下方 0.05m 处为平衡位置； 由 ，知 ， ，0kxmg209.165kx1964k振动频率： ；7()2Hz2）物体在初始位置下方 处，对应着是 x=0.03m 的位置，所以：8.c，由 ，有： ，3cos5xA22osin14sin5而 ，那么速度的大小为： 。inv0.6/vAs10-3 一质点沿 轴作简谐振动，振幅为 ，周期为 。当 时，位移为 ，xc20tcm6且向 轴正方向运动。求：x1）振动表达式。2） 时，质点的位置、速度和加速度。s5.0t3）如果在某时刻质点位于 ，且向 轴负方向运动，求从该位置回到平衡位cm6xx置所需要的时间。解
12、：1）由题已知 A=0.12m，T=2 s ， 2T又t=0 时， ， ，由旋转矢量图 10-2，可知：06xc0v3故振动方程为： ；.12os3t（2）将 t=0.5 s 代入得：，0.1co0.c.10436x m（ ），in2sin8/vt s（ ），2 2.cs.co.3a方向指向坐标原点，即沿 x 轴负向；3）由题知，某时刻质点位于 ，6mA且向 轴负方向运动，如图示，质点从 位置回到xP平衡位置 处需要走 ，建立比例式： ， 图 10-2Q322tT有： 。56ts10-4 两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点 1 在 处，且2/Ax向左运动时，另一个质点 2 在
13、处，且向右运动。求这两个质点的位相差。2/Ax解：由旋转矢量图 10-3 可知：当质点 1 在 处，且向左运动时，/Ax相位为 ，3而质点 2 在 处，且向右运动，2/相位为 。4所以它们的相位差为 。 图 10-310-5 当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？解：由 ， ，有： ，21PEkx21kmv21cos()PEkAt，2sin()sin()kmAtAt1）当 时，由 ，xcoxt有： ， ，1cos()2t3sin()2PxAQ ， ；14PE3k2）当 时，有：2Pk22cos()sin()tt ， 。1co
14、s()t0.7xA10-6 对图 10-4 中两个同方向的简谐振动曲线，1）求合振动的振幅。2）求合振动的振动表达式。解：通过旋转矢量图做最为简单。由图可知，两个振动同频率，且初相： ， 初相： ，1A12A2表明两者处于反相状态， （反相 图 10-4， ）21()k01（ ，合成振动的振幅： ；21A合成振动的相位： ；2合成振动的方程： 。）（）（ 2cos12tTAx10-7 两个同方向，同频率的简谐振动，其合振动的振幅为 ，与第一个振动的位cm20相差为 。若第一个振动的振幅为 。则 6cm301）第二个振动的振幅为多少？2）两简谐振动的位相差为多少？解：如图 10-5，可利用余弦定
15、理：由图知 =0.01 m30cos2121AAA =0.1 m ，再利用正弦定理： ，有： 图 10-502sini， 。2sin1A说明 A 与 A 间夹角为 /2，即两振动的位相差为 /2 。10-8 沿一平面简谐波的波线上，有相距 的两质点 与 ， 点振动相位比2.0mAB点落后 ，已知振动周期为 ，求波长和波速。A62.0s解：根据题意，对于 A、B 两点， ，mx2612，而 ，m242x/sTu10-9 已知一平面波沿 轴正向传播，距坐标原点 为 处 点的振动式为xO1xP，波速为 ，求：)cos(tAy1）平面波的波动式。2）若波沿 轴负向传播，波动式又如何?x解：1）设平面波
16、的波动式为 ，则 点的振动式为：0cosxyAtu（P，与题设 点的振动式 比较，10cosPyAtu（ Pcos()PyAt有： ，平面波的波动式为： ；0x 1xt2）若波沿 轴负向传播，同理，设平面波的波动式为： ，0csxytu（则 点的振动式为：P，与题设 点的振动式 比较，10cosxyAtu（ Po()PAt有： ，平面波的波动式为： 。0 1csxyu10-10 一平面简谐波在空间传播，如图 10-6 所示，已知 点的振动规律为 ，试写出：Acos(2)yAt1）该平面简谐波的表达式。2） 点的振动表达式（ 点位于 点右方 处） 。BBd解：1）仿照上题的思路，根据题意，设以
17、点为 图 10-6O原点平面简谐波的表达式为：，则 点的振动式：0cos2xyAtu（A0cos2Alytu（题设 点的振动式 比较，有： ，cos(2)yt0该平面简谐波的表达式为： ）（ uxlt2）B 点的振动表达式可直接将坐标 ，代入波动方程：xd2coscos ）（）（ dtAuldltAy10-11 一平面简谐波沿 x 轴正方向传播，频率为 0.125 Hz，振幅为 0.001 m，波速为380 m/s，设波源位于 x=0 处，且开始振动时位移为正向最大。试求： 1) 波动方程。2) 处质点的振动方程。34x3) 时， 处质点的振动位移，以及 ， 两处质点的振动相位差。Tt 234
18、4) 时， 处质点的振动速度。2t3 4x解： 由题中所给已知数值，可得周期、角频率和波长分别为18 s0.25T.0.25(1/)s34 mu1) 由波源振动的初始条件可知初相位 ，因而波源的振动方程为cosyAt沿 X 轴正方向传播的波动方程为(1)cs0.1csm4380xxyttu或者写成(2)cos20.1cos28304txtxyAT式(1)、(2)中，时间 t 以 s 计，位移 y 以 m 计。2) 把 带入式 (2)，得到该点的振动方程为34x 340.1cos20.1cos6 m84ty t3) 把 ， 带入式 (2)，得到质点的位移为4Ttx4cos20.1 TyAAm又根
19、据 ，可得 与 两点的振动相位差为12x2341224) 将波动方程 中的 x 视为常量，并求 y 对时间 t 的导数，即得 xcosyAtu处质点的振动速度(3)sindyxvAttu或者 (4) sin2txvT将 ， 带入式(4)，得到质点的振动速度为2Tt34x413sin2Asin2 0578m/s vA10-12 一正弦形式空气波沿直径为 的圆柱形管行进，波的平均强度为c1，频率为 ，波速为 。问波中的平均能量密度和最大能39.01/()JsmHz30/s30量密度各是多少？每两个相邻同相面间的波段中含有多少能量？解：1）已知波的平均强度为： ，由 有：9.I/()JmIwu353.10/IwJu；5max26/2）由 ，WwV2214udw。53 710/(0.)4.610JmJ 10-13 一弹性波在媒质中传播的速度 ，振幅 ，频率3/ms4.10Am。若该媒质的密度为 ，求：310Hz38/kg1）该波的平均能流密度。2）1 分钟内垂直通过面积 的总能量。2410.S解：1）由： ，有：21IuA；3432082I （ ） （ ） 52.8/Wm2）1 分钟为 60 秒，通过面积 的总能量为：2410S。WIt5 3.6.7910J
