1、第一章 绪论 i连续时间信号 离散时间信号 时间区间 ( , )TT ( , ) ( , )NN ( , ) 瞬时功率 2()ft 能 量 2()TTE f t dt2 2l i m ( ) ()TT TE f t d t f t d t 2()NnNE x n 2()nE x n 平均功率 212 ()TTTP f t dt 212lim ( )TT TTP f t dt 21 ()21 NnNP x nN 21 ()21lim NnNNP x nN 周期信号 ( ) ( )f t f t mT 0, 1, 2,m ( ) ( )x n x n mn 0, 1, 2,m 0 0 0()j T
2、 j t Tee 0 02T 线 性 1 1 2 21 2 1 2( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )f t y ta f t a y tf t y t f t y tf t f t y t y t 若齐 次 性则若 ，可 加 性则分 解 性线 性 系 统 零 状 态 线 性零 输 入 线 性0( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )xfny t y t y ty n y n y n 判断方法：先线性运算，后经系统的结果 =先经系统，后线性运算的结果 时不变性 若 ( ) ( )ff t y t ，则 00( ) ( )ff t t y
3、t t 若 ( ) ( )x n y n ，则 00( ) ( )x n n y n n 系统时不变性： 1电路分析：元件的参数值是否随时间而变化 2 方程分析：系数是否随时间而变 3 输入输出分析：输入激励信号有时移，输出响应信号也同样有时移。 慧易升教育 最专业信号与系统，电路原理辅导 联系电话：010-52899685第二、三章 .连续时间信号、离散时间信号与系统时域分析 一普通信号 普通信号 () stf t Ke ( , ) ， sj 直流信号 0, 0 ()f t K t 实指数信号 0, 0 ()tf t Ke t 时间常数： 1 虚指数信号 00, 0 0 00c o s s
4、i n() jt K t jK tf t K e 正弦信号 () jf t Ke 00 0I m I m s i n ( )j t j j t tK e K e e K 复指数信号 00, 0 00c o s s i n() ttK e t jK e tft t 功率信号： 0 PE 且 Z 时 域 分 析频 域输 入 输 出 系 统 模 型系 统 模 型 变 换 域 分 析 复 频 域域状 态 变 量 系 统 模 型能量信号： 0 EP 且 慧易升教育 最专业信号与系统，电路原理辅导 联系电话：010-52899685慧易升教育 最专业信号与系统，电路原理辅导 联系电话：010-528996
5、85二、冲激信号 冲激信号 ()At ( ) 0 0( ) 0()A t tA t tA t d t A 一 般 定 义 泛 函 定 义 : ( ) ( ) ( 0 )A t t d t A ()At 是 偶函数 筛选特性 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )f t t t f t t t 特别： 0( ) ( ) ( ) ( )f t t f t t 取样特性 00( ) ( ) ( )f t t t d t f t 特别： ( ) ( ) (0 )f t t dt f 展缩特性 1( ) ( )baaat b t 证明： 1. 0a 2. 0a 3. 1( ) ( ) ( ) ( )a
6、abg t a t b d t g t t d t 阶跃信号 ()Aut 000() AttA u t 定 义 ：0t 处可以定义为 ,110,2 (个别点数值差别不会导致能量的改变 ) 性 质 1.( ) ( )t A d Au t 2. ( )() Au tdA dt 斜坡信号 ()Art 0() 00At tAr t t 性 质 1.() ()t Au t dt Art 2. ( ) ( )AdAu t r tdt 高阶冲激信号 ()()n t ()0( ) ( ) ( 1 ) ( ) : nnn ntdf t t d t f tdt 泛 函 定 义冲激偶信号 ()t 0( ) ( )
7、( ) (0 ): tdf t t d t f t fdt 泛 函 定 义 说明： 1. ()t 量纲是 2s 2.强度 A的单位是 2Vs 3. ()t 是奇函数 慧易升教育 最专业信号与系统，电路原理辅导 联系电话：010-52899685慧易升教育 最专业信号与系统，电路原理辅导 联系电话：010-52899685筛选特性 0 0 0 0 0( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )t t t t t tf t f t f t 0t时 ( ) 0 ( ) ( )( ) ( ) ( 0 )t t tf t f f 证明：对 0 0 0( ) ( )( ) ( )t t t tf t f
8、t 两端微分 取样特性 00( ) ( ) ()f t t t d t ft 证明：关键利用筛选特性展开 展缩特性 221( ) ( ) 01( ) ( ) 0ba t b t aaaba t b t aaa 特别： 1 , 0 ( ) ( )a b t t 时 ()t 是奇函数 三 .卷积 连续时间信号 离散时间信号 卷积定义 1212 ( ) ( )( ) ( ) f f t df t f t 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )kx n x n x k x n k 交 换 率 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )f t f t f t f t 1 2 2 1( ) ( )
9、 ( ) ( )x n x n x n x n 分 配 率 1 2 3 1 2 1 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f t f t f t f t f t f t f t 1 2 3 1 2 1 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x n x n x n x n x n x n x n 结 合 率 1 2 3 1 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f t f t f t f t f t f t 1 2 3 1 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x n x n x n x n x n x n 奇异信号卷积特性
10、 单位样值信号卷积特性 单位元特性 ( ) ( ) ( )f t t f t ( ) ( ) ( )x n n x n 延时特性 00( ) ( ) ( )f t t t f t t 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )tf t t g t t f t g t t t ( ) ( 1) ( 1)x n n x n ( ) ( ) ( )x n n k x n k 慧易升教育 最专业信号与系统，电路原理辅导 联系电话：010-52899685积分特性 ()( ) ( ) t fdu t f t 1 ()( ) ( )( 1 ) ! ( ) ( )n tt nt f t d t d
11、 t f tn u t f t ( ) ( ) ( )k x k x n u n 冲激偶卷积 ( ) ( ) ( )t f t f t ( ) ( )( ) ( ) ( )nnt f t f t 四 .电路元件的运算模型 元件名称 电路符号 时 域 电路符号 频 域 电路符号 复 域 ui关系 运算模型 运算模型 运算模型 电 阻 ( ) ( )ut Ri t ()()utRit ()()RRUtRIt ()()RRUsIsR 电 容 1( ) ( )tu t i t dtC ( ) 1()uti t pC() 1()CCUtI t j C11 (0 )( ) ( ) CCC uC s sU
12、s I s ( 0 )( ) ( ) CCC uI s C sU s C 电 感 ( ) ( )du t L i tdt ()()ut pLit ()()CCUtIt jL ( 0 )( ) ( ) LLL iU s L sI s L 11 (0 )( ) ( ) LLL iL s sI s U s 慧易升教育 最专业信号与系统，电路原理辅导 联系电话：010-52899685五 .连续时间系统时域分析 系统 建立微分方程 建立算子方程： ( ) ( ) ( ) ( )D p y t N p f t 系统的特征方程： 0( ) ( ) pD D p ( ) ( ) 0( ) ( ) ( ) 0
13、() ( ) ( ) ( )()( ) ( )( ) ( )xff xfffD p y ty t f t h t tNp y t y t y tNpy t tD p D p 求 特 征 根 零 输 入 响 应 方 程求 全 响 应求 冲 激 响 应 零 状 态 响 应微 分 方 程 法传 输 算 子 法冲 激 响 应 法系 统 的 描 述 方 法六 .系统的特征方程 连续时间系统零输入响应 连续时间系统零输入响应 条 件 ()xty 的表 式 0()yn的表达式 条件 n 个各不相同的实数 1 2 n 1 2 n12( ) 0t t txny t k e k e k e t 1 1 2 20
14、() n n nkky n c c c k 个各不相同的实数 12 k r 个重根 0 ， n-1个单根 1 2 n-1 1 2 n - r n - r + 11 2 1() t t ttx n r nry t k e k e k e k e 0012 ttnnnrk te k t e 0t 11 2 10 )( ) ( qnqc n ny n c c 1 1 1 1n n nq q k kc c c q 个重根 1 ， k-q个单根 1q k i 个成对的共轭复根 1 1 1 2 2 2,jj iij 1 1 1 1 1( ) c o s ( ) s i n ( ) txy t e k t
15、k t c o s ( ) s i n ( ) it i i i ie k t k t 0t 120 ( ) ( ) ( )j n j ny n c re c re 12 c o s ( ) s in ( ) nr c n c n 系统含有共轭复根 ,jjre re 慧易升教育 最专业信号与系统，电路原理辅导 联系电话：010-52899685七 .系统的冲激响应和单位 样值 响应 连续时间系统 离散时间系统 传输算子 ()Hp 冲激响应 ()ht 传输算子 ()HE 样值响应 ()hn a ()at 1 ()n ap ()aut EE ()nun 1pa ()ateut 2()EE 1 ()
16、nn un 1()npa 1( 1)! ()n attn e u t 2 2()EE ( 1) ( )nn u n 22()bbpasin( ) ()at bte u t ()mEE 1( 1 ) ( 2 )( 1 ) ! ()nmn n n mm un 22()bpapacos( ) ()at bte u t 联系电话：010-52899685慧易升教育 最专业信号与系统，电路原理辅导 联系电话：010-52899685八 .基本离散信号 单位样值信号 ()n 0010() nnn ( ) ( ) ( )kx n x k n k 单位阶跃序列 ()un 0010() nnun 的 整 数的
17、整 数( ) ( ) ( 1)n u n u n 斜变序列 ()nun 00()10nn u n n 的 整 数的 整 数矩形序列 ()kGn 1 0 1()0k nkGn 其 它复指数序列 ( ) , ,njx n z n z r e 其 中 指数序列 0 , , ( ) nz r x n r 虚指数序列 00 0 01 , , ( ) c o s s i njnr x n e j 九 .离散信号的性质 周期性 0 0 0 0s i n s i n ( ) s i n ( )n N n N 当 0 2Nk 即02Nk 为 整 数 时， 0sin n 才是周期序列 0 为数字角频率 单位：弧度
18、 0 为模拟角频率 单位 ：弧度 /秒 0 ( , ) 最专业信号与系统，电路原理辅导 联系电话：010-52899685联系电话：010-52899685序列的累加 ( ) ( )ky n x k 序列的差分 一阶前向： ( ) ( 1) ( )x n x n x n 一阶后向： ( ) ( ) ( 1)x n x n x n 序列的移位 单位超前算子： ( ) ( )kE x n x n k 单位延迟算子： ( ) ( )kE x n x n k 十 .信号的分解 1 直流分量与交流分量 2 奇分量与偶分量 ( ) ( )DAf t f f t常 数 平 均 是 为 零( ) ( ) (
19、)eof t f t f t1( ) ( ) ( ) 21( ) ( ) ( ) 2eof t f t f tf t f t f t 第四章 .连续时间信号与系统频域分析 一 .周期信号的频谱分析 1. 简谐振荡信号是线性时不变系统的本征信号： ()( ) ( ) ( ) ( )j t j t j t jy t e h t e h d e e h d 简 谐 振 荡 信 号最专业信号与系统，电路原理辅导 联系电话：010-52899685慧易升教育 最专业信号与系统，电路原理辅导 联系电话：010-52899685傅里叶变换： ( ) ( )jH j e h d 点 测 法 ： ( ) ( )
20、jty t e H j 2.傅里叶级数和傅里叶变换 在 时域 内 周期信号 分 解 傅里叶级数 在 频域 内 非周期信号 分 解 傅里叶变换 周期信号 分 解 傅里叶变换 3.狄 里赫勒（ Dirichlet）条件（只要满足这个条件信号就可以用傅里叶级数展开） 1 ()ft绝对可积，即 00 ()tTt f t dt 2 ()ft的极大值和极小值的数目应有限 3 ()ft如有间断点，间断点的数目应有限 最专业信号与系统，电路原理辅导 联系电话：010-52899685慧易升教育 最专业信号与系统，电路原理辅导 联系电话：010-528996854.周期信号的傅里叶级数 周期信号的傅里叶级数 信
21、号集的正交性 三角形式 0 1 s in( ) ( c o s )nnnf t a a n t b n t 00000001()2( ) c o s2( ) sintTttTn ttTn ta f t d tTa f t n tdtTb f t n tdtT000000c os sin 0 ,c os c os 20sin sin 20tTttTttTtn t m tdt m nTmnn t m tdtmnTmnn t m tdtmn 所 有指数形式 () jn tnnf t F e 001 ()tT jn tntF f t e d tT 00 0tT jn t jm ttT n me e d
22、 tnm 5.波形对称性与谐波特性的关系 对称性 傅里叶级数中所含分量 余弦分量系数 na 正弦分量系数 nb 偶函数 ( ) ( )f t f t 只有余弦项，可能含直流 204 ( ) c o s ( )Tna f t n t d tT 0nb 奇函数 ( ) ( )f t f t 只有正弦项 0na 204 ( ) s i n ( )Tnb f t n t d tT 最专业信号与系统，电路原理辅导 联系电话：010-52899685慧易升教育 最专业信号与系统，电路原理辅导 联系电话：010-52899685半波像对称（奇谐函数） ( ) ( )2Tf t f t 只有偶次谐波，可能含直
23、流 200 0 , 2 , 4 ,4 ( ) c o s ( ) 1 , 3 , 5 ,Tnna f t n t d t nT 200 0 , 2 , 4 ,4 ( ) s in ( ) 1 , 3 , 5 ,Tnnb f t n t d t nT 半周期重叠（偶谐函数） ( ) ( )2Tf t f t 只有奇次谐波 200 1 , 3 , 5 ,4 ( ) c o s ( ) 0 , 2 , 4 ,Tnna f t n t d t nT 200 1 , 3 , 5 ,4 ( ) s in ( ) 0 , 2 , 4 ,Tnnb f t n t d t nT 6.周期矩形脉冲信号 ( ) (
24、 )2 jn tnEnf t S a eT 内瓣内含 2 1T 条谱线 7.线性时不变系统对周期信号的响应 一般周 期信号： () jn tnn Feft 系统的输出 ： ()() jn tnn F H jn t eyt 二 .非周期信号的傅里叶变换（备注） 慧易升教育 最专业信号与系统，电路原理辅导 联系电话：010-52899685备注序号 说明内容 1 证明： 1 1 2( ) ( )1() 2 jtj t j edF e d f e dft 2 2 2()( ) ( )( ) ( )jtjtf d e d f te d f t 关 键交 换 积 分 次 序 2 求 sgn()t 解：由
25、 1( ) ( 0 )te u t j 221 1 2( ) ( )tt je u t e u t jj 1( ) ( 0 )te u tj 2200s g n ( ) l i m ( ) ( ) l i mtt jt e u t e u t j 3 证明： () ()12 jtft F e d t 替 换， ( ) 2 ( )( ) ( )12 j j tf t f tF e d F t e d () ()12 jtft F e d 4 证明： 00 ()0( ) ( )() j t j tf t t e d t f e df t t (令 0tt) 00( ) ( )j t j tjeef
26、 e d F 5 1. ( ) ( ) ( )n nnd f t j Fdt 2.证明： ( ) ( )( ) ( )12 j t j tddf t e e j Fd t d tF d j F d 6 用法：信号可以分解成两个信号，其中之一 的频谱是冲激或冲激串使用 最专业信号与系统，电路原理辅导 联系电话：010-52899685慧易升教育 最专业信号与系统，电路原理辅导 联系电话：010-52899685 7 1. 注意：要避免出现 ( ) ( ) 及 1 ()j 等不确定的的乘积关系，如求 ( ) ( )ut ut 不能用卷积定理，可先求出( ) ( ) ( )u t u t tu t，
27、再用频域微分特性。 2. 证明： ( ) ( ) ( )t f d f t u t 而 1( ) ( )utj 则 1 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (0 ) ( )t Ff d f t u t F Fjj 备 注 三 .非周期信号的傅里叶变换 1.连续傅里叶变换性质 连续傅里叶变换性质及其对偶关系 傅氏变换 ： ( ) ( ) jtF f t e d t 傅氏反变换： ()1() 2 jtF e dft 连续傅里叶变换对 相对偶的连续傅里叶变换对 慧易升教育 最专业信号与系统，电路原理辅导 联系电话：010-52899685名称 连续时间函 ()ft 傅里叶变换 ()F 备注
28、 名称 连续时间函数 ()ft 傅里叶变换 ()F 备注 唯 一 性 12( ) ( )f t f t 12 ( ) ( ) ( )F T f t F T f t F 1 线 性 12( ) ( )f t f t 12( ) ( )FF 尺度比例变换 ( ), 0f at a 1 ()Faa 2 对 称 性 ()Fjt 2 ( )f 3 时 移 0()f t t 0()jtFe 4 频 移 0()jtf t e 0()F 时域微分性质 ()d ftdt ()jF 5 频域微分性质 ()jtf t ()d Fd 6 时域积分性质 ()t fd() (0 ) ( )F Fj 频域积分性质 () (
29、0 ) ( )ft ftjt ()Fd 7 时域卷积性质 ( )* ( )f t ht ( ) ( )FH 频域卷积性质 ( ) ( )f t pt 1 ( ) * ( )2 FP 对 称 性 ()ft *()ft *()ft ()F *()F *()F 奇偶虚实性质 ()ft是实函数 ( ) ( )of t Od f t ( ) ( )ef t Ev f t Im ( )jF Re ( )F 慧易升教育 最专业信号与系统，电路原理辅导 联系电话：010-52899685希尔伯特变换 ( ) ( ) ( )f t f t u t ( ) ( ) ( )F R jI 1( ) ( ) *RI 时
30、 域 抽 样 ( ) ( )nf t t nT 12()k FkTT 频 域 抽 样 0012()nf t n 0( ) ( )kFk 帕什瓦尔公式 22 1( ) ( )2f t d t F d 2()F ：能量谱密度、能量谱 中心纵坐标 (0 ) ( )F f t dt （条件： lim ( ) 0t ft ） 1(0 ) ( )2f F d （条件： lim ( ) 0F ） 2.常用傅里叶变换对 常用的连续傅里叶变换对及其对偶关系 ( ) ( ) jtF f t e d t 1( ) ( )2 jtf t F e d 连续傅里叶变换对 相对偶的连续傅里叶变换对 慧易升教育 最专业信号与
31、系统，电路原理辅导 联系电话：010-52899685重要 连续时间函数 ()ft 傅里叶变换 ()F 连续时间函数 ()ft 傅里叶变换 ()F 重要 ()t 1 1 2 ( ) ()d tdt jt 2 ( )dj d ()ut 1()j 11()22t jt ()u()tut 21()dj d 1, 0s g n ( ) 1, 0tt t 2j 1,0t ,0() jF j 0()tt 0jte 0jte 02 ( ) 0cos t 00 ( ) ( ) 00( ) ( )t t t t 02cos t 0sin t 00 ( ) ( ) j 00( ) ( )t t t t 02sin
32、jt 1,()0,tGtt ()2Sa ()WSaWt 1,()0,WFW 1,()0,tttt 2()2Sa 2()22W WtSa 1,()0,WWFW ( ), R e 0ate u t a 1aj 1jt 2 ( ), 0eu 慧易升教育 联系电话：010-52899685,Re 0atea 222aa 22t ,0e 0c o s ( ) , R e 0ate tu t a 220()ajaj 0s i n ( ) , R e 0ate tu t a 0 220()aj ( ), R e 0atte u t a 21()aj21 ,0()jt 2 ( )eu 1( ) , R e 0
33、( 1 ) !k atte u t ak 1()kaj ( ) ( )T lt t lT 22()k kTT 2()te 2()2e ( ) ( ) c o s 022u t u t t ( ) ( )002 2 2Sa Sa 0jk tkk Fe02 ( )kk Fk 慧易升教育 最专业信号与系统，电路原理辅导 联系电话：010-52899685四 .无失真传输 1.输入信号 ()ft与输出信号 ()fyt的关系 时域： ( ) ( )fdy t kf t t 频域 ： ( ) ( )djtfY ke F 2.无失真传输系统函数 ()H ()()() df jtYH keF 无失真传输满足的
34、两个条件： 1 幅频特性： ()Hk （ k 为非零常数） 在整个频率范围内为非零常数 2 相频特性： () dt （ 0dt ） 在整个频率范围内是过坐标原点的一条斜率为负的直线 3. 信号的滤波： 通过系统后 1 产生“预定”失真 2 改变一个信号所含频率分量大小 3 全部滤除某些频率分量 4.理想低通滤波器不存在理由： 单位冲击响应信号 ()t 是在 0t 时刻加入滤波器 的，而输出在 0t 时刻就有了，违反了因果律 5.连续时间系统实现的准则 时 域 特 性 ： ( ) ( ) ( )h t h t u t （因果条件） 频 域 特 性 ： 2()Hd 佩利 -维纳准则（必要条件） ：
35、 22()1H d 最专业信号与系统，电路原理辅导 联系电话：010-52899685慧易升教育 最专业信号与系统，电路原理辅导 联系电话：010-52899685五 .滤波 滤波器名称 理想频率响应 理想相幅特性 实际电路图 实 际频率特性 低通滤波器 2( ) ( )0ddcjt c jtceH G e 1() 1H j RC 21()1 ( )cH ( ) a rc ta nc 高通滤波器 2( ) 1 ( ) 0ddcjt c jtceH G e () 1 j RCH j RC 2 2 2() 1RCH RC 1( ) a rc ta n ( )RC 带通滤波器 1 0 0( ) (
36、) ( ) ( ) HH 2() ( ) ( ) 1j R CH L C j R C j 备 注 低通滤波器的通频带（截至频率）：2 1() 2H 的频频谱范围 最专业信号与系统，电路原理辅导 联系电话：010-52899685慧易升教育 最专业信号与系统，电路原理辅导 联系电话：010-52899685六 .抽样与抽样恢复 抽样名称 系统统模型 信号抽样时频表示 冲激串抽样 时域： ( ) ( ) ( )sTf t f t t ( ) ( )nf t t nT= ( ) ( )n f nT t nT 时域抽样定理： 为 了使抽样信号 ()sft能恢复信号 ()ft，必须满足来那两个条件： 1
37、. ()ft是带限信号，带宽为 m（或 mf ） 2.抽样频率 2sm 或者抽样间隔12smmT f 频域： 1( ) ( ) ( ) 2sTF F T f t F T t11( ) ( ) ( )2nF F nT 脉冲串抽样 时域： ( ) ( ) ( )sTf t f t P t 频域： 1( ) ( ) ( ) 2sTF F T f t F T P t 11( ) ( ) ( ) ( )22nnnF S a n F nT ( ) ( )2n nS a F nT 最专业信号与系统，电路原理辅导 联系电话：010-52899685慧易升教育 最专业信号与系统，电路原理辅导 联系电话：010-
38、52899685时域抽样定理 恢复：( ) ( ) ( ) ( ) ( )cscn Tf t h t f n T t n T S a t ( ) ( ) ( )ccnT f n T S a t n T t 恢复系统单位冲激响应： 1 2( ) ( ) ( )cc cTh t F T T G S a t 系统条件 1 () 0 ccTH 2 m c m 频域抽样定理 频域： ( ) ( ) ( ) ( ) ( )s nF F F n 时域： 11 12( ) ( ) ( ) ( ) ( )ss nnf t F T F h t F T n f t n 第五章 .离散时间信号与时域分析 一 .离散傅里叶级数（ DFT） 1.信号 0jne 基本特征 信号 0jne 周 期 性： 00() 02j n N j n mee N 时有理数时具有周期性 基波频率： 02Nm 基波周期：02()Nm 慧易升教育 最专业信号与系统，电路原理辅导 联系电话：010-528996852
