1、第十二章 机械振动和机械波知识网络：第 1 单元 机械振动一、基本概念1、机械振动物体（或物体一部分）在某一中心位置附近所做的往复运动2回复力：振动物体所受的总是指向平衡位置的合外力，使物体返回平衡位置的力注意：恢复力不一定是物体所受的合力，例单摆回复力的意义是指向平衡位置方向上的合力恢复力是根据效果命名的3平衡位置：恢复力为零的位置，并非合外力为零的位置。例如单摆。4位移：是离开平衡位置的位移5简谐运动物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫简谐运动。表达式为： F= -kx F=-kx 是 判 断 一 个 振 动 是 不 是 简 谐 运 动 的 充
2、 分 必 要 条 件 。 凡 是 简 谐 运 动 沿 振 动 方 向 的 合力 必 须 满 足 该 条 件 ； 反 之 ， 只 要 沿 振 动 方 向 的 合 力 满 足 该 条 件 ， 那 么 该 振 动 一 定 是 简 谐 运 动 。6振幅：振动物体离开平衡位置的最大距离，是标量，表示振动的强弱，无正负之分。7周期和频率：表示振动快慢的物理量。完成一次全振动所用的时间叫周期，单位时间内完成全振动次数叫频率，大小由系统本身的性质决定，所以叫固有周期和频率。任何简谐运动都有共同的周期公式： （其中 m 是振动物体的质量， k 是回复力系数，即简kT2谐运动的判定式 F= -kx 中的比例系数，
3、对于弹簧振子 k 就是弹簧的劲度，对其它简谐运动它就不再是弹簧的劲度了） 。二、典型的简谐运动1弹簧振子（1） 说明回复力、加速度、速度、动能和势能的变化规律（周期性和对称性）回复力指向平衡位置。位移从平衡位置开始。（2）周期 ，与振幅无关，只由振子质量和弹簧的劲度决定。kmT2（3）可以证明，竖直放置的弹簧振子的振动也是简谐运动，周期公式也是 。这个结论可以直接使用。（4）在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧的弹力；在周期： gLT2机械振动简谐运动物理量：振幅、周期、频率运动规律 简谐运动图象阻尼振动 无阻尼振动受力特点 回复力：F= - kx弹簧振子：F= - kx单摆： xmF受迫
4、振动 共振在介质中 的传播机械波形成和传播特点类型 横波 纵波描述方法 波的图象波的公式： x=vtvT特性 声波，超声波及其应用波的叠加 干涉 衍射多普勒效应实例x竖直方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力。证明：如图所示，设振子的平衡位置为 O，向下方向为正方向，此时弹簧的形变为 0x，根据胡克定律及平衡条件有 0mgkx当振子向下偏离平衡位置为 时，回复力（即合外力）为 0()Fgkx回将代人得： ，可见，重物振动时受力符合简谐运动的条回 件【例 1】 如图所示，质量为 m 的小球放在劲度为 k 的轻弹簧上，使小 球上下振动而又始终未脱离弹簧。 （1）最大振幅 A 是多大？（
5、2）在这个振幅 下弹簧对小球的最大弹力 Fm是多大？解析：该振动的回复力是弹簧弹力和重力的合力。在平衡位置弹力和重力等大反向，合力为零；在平衡位置以下，弹力大于重力， F- mg=ma，越往下弹力越大；在平衡位置以上，弹力小于重力， mg-F=ma，越往上弹力越小。平衡位置和振动的振幅大小无关。因此振幅越大，在最高点处小球所受的弹力越小。极端情况是在最高点处小球刚好未离开弹簧，弹力为零，合力就是重力。这时弹簧恰好为原长。（1）最大振幅应满足 kA=mg， A= kg（2）小球在最高点和最低点所受回复力大小相同，所以有： Fm-mg=mg， Fm=2mg【例 2】弹簧振子以 O 点为平衡位置在
6、B、 C 两点之间做简谐运动 B、 C 相距 20 cm某时刻振子处于 B 点经过 0.5 s，振子首次到达 C 点求：（1）振动的周期和频率； （ f1Hz）（2）振子在 5 s 内通过的路程及位移大小；（10cm ）（3）振子在 B 点的加速度大小跟它距 O 点 4 cm 处 P 点的加速度大小的比值（5：2）【例 3】一弹簧振子做简谐运动周期为 T（ D ）A若 t 时刻和（ t+t ）时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则 t 一定等于T/2 的整数倍D若 t 时刻和（ t+t ）时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则 t 一定等于T 的整数倍C若 t T2，则在 t 时刻和（ t
7、 t ）时刻弹簧的长度一定相等D若 t T，则在 t 时刻和（ t t ）时刻振子运动的加速度一定相同2单摆。在一不可伸长、忽略质量的细线下端拴一质点，上端固定，构成的装置叫单摆。单摆的特点： 单摆是实际摆的理想化，是一个理想模型; 单摆振动可看作简谐运动的 1 2条件：10。 单摆的等时性（伽利略） ，在振幅很小的情况下，单摆的振动周期与振 3幅、摆球的质量等无关; 单摆的回复力由重力沿圆弧方向的分力提供 周期公式： （惠更斯）glT2半径方向： rvm2cos向心力改变速度方向 切线方向：回复力m g sin改变速度大小若 角很小，则有 sin tan x / L,而且回复力指向平衡位置，
8、与位移方向相反，所以对于回复力 F，有 k 是常数xLgx单摆周期公式的应用1、 测量当地的重力加速度测定重力加速度 g,g= （l 为等效摆长，是悬点24TL到球心的距离。 ）2、 摆钟（振动周期是 2 秒的单摆叫秒摆）3、惠更斯在 1656 年利用等时性发明了带摆的计时器（4）摆钟问题。单摆的一个重要应用就是利用单摆振动的等时性制成摆钟。在计算摆钟类的问题时，利用以下方法比较简单：在一定时间内，摆钟走过的格子数 n 与频率 f 成正比（ n 可以是分钟数，也可以是秒数、小时数） ，再由频率公式可以得到：lgf12(5)另：意大利的伽利略首先发现等时性，即在角度很小时，单摆的周期与振幅无关。
9、荷兰的惠更斯确立了单摆的周期公式，周期跟摆长的二次方根成正比，跟重力加速度的二次方根成反比，跟振幅和摆球的质量无关例 4：三根长度相等都为 L 的细线一端系于 C 点，另两端固定于天花板上相距为 L 的 A、B 两点，剩下的一端系一小球。当小球垂直于纸面振动时，其周期为 ；当小球左右摆动时，其周期为 ；答案： gg2)31(2回例 5：如图，长为 l 的轻绳一端系于固定点 O，另一端系质量为 m 的小球，将小球从 O 点正下方 l/4 处以一定的初速度水平向右抛出，经一定的时间，绳被拉直。以后小球将以 O 为圆心在竖直平面内摆动，已知绳刚被拉直时，绳与竖直线成 600角。求：小球水平抛出的初速
10、度 V0小球摆到最低点时，拉力 T （答案： ；2mg） 23gl【例 6】 将一个力电传感器接到计算机上，可以测量快速变化的力。用这种方法测得的某单摆摆动过程中悬线上拉力大小随时间变化的曲线如右图所示。由此图线提供的信息做出下列判断： t02 s 时刻摆球正经过最低点； t11 s 时摆球正处于最高点；摆球摆动过程中机械能时而增大时而减小；摆球摆动的周期约是 T06 s。上述判断中正确的是 A B C D解析：注意这是悬线上的拉力图象，而不是振动图象。当摆球到达最高点时，悬线上的拉力最小；当摆球到达最低点时，悬线上的拉力最大。因此正确。从图象中看出摆球到达最低点时的拉力一次比一次小，说明速率
11、一次比一次小，反映出振动过程摆球一定受到阻力作用，因此机械能应该一直减小。在一个周期内，摆球应该经过两次最高点，两次最低点，因此周期应该约是 T12s。因此答案错误。本题应选 C。三、简谐运动的图象图象的描绘1、 描点2 实验模拟法振动图象的研究方法把实际振动和图象对应起来可以从图像中得到以下信息：直接读出振幅（注意单位）直接读出周期2.12.01.91.81.71.61.51.4 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4F/Nt/sBACxt确定某一时刻物体的位移判定任一时刻运动物体的速度方向（最大位移处无方向）和加速度方向判定某一段时间内运动物体的速度、加速度、动能及势能大小的变
12、化情况计算一段时间内的路程： ATtS4振动图象的应用任何复杂的振动都可以看成是若干个简谐振动的合成【例 7】 劲度系数为 20Ncm 的弹簧振子，它的振动图象如图所示，在图中 A 点对应的时刻（B ）A 振子所受的弹力大小为 05N，方向指向x 轴的负方向B振子的速度方向指向 x 轴的正方向C 在 04s 内振子作了 175 次全振动D。在 04s 内振子通过的路程为 035cm，位移为 0【例 8】 摆长为 L 的单摆做简谐振动，若从某时刻开始计时， （取作 t=0） ，当振动至 时，摆球具有负向最大速度，则单摆的振gLt23动图象是图中的（ D ） 例 9如图所示，一块质量为 2 kg、
13、涂有碳黑的玻璃板，在拉力 F的作用下竖直向上做匀变速直线运动一个频率为 5 Hz 的振动方向为水平且固定的振针，在玻璃板上画出了如图所示的图线，量得 OA=1 cm， OB=4 cm， OC=9 cm求拉力 F 的大小 （不计一切摩擦阻力，取g=10 m/s2） 解： OA=1 cm AB=3 cm BC=5 cm因为： TOA=TAB=TBC=T/2=0.1 s 根据: s=aT2a= =2 m/s2 F-mg=ma 得： F=mg+ma=24 N22ABCs四、受迫振动与共振（1）振动能量 = 动能 + 势能 = 最大位移的势能 = 平衡位置的动能由振幅决定，与周期和频率无关（2）阻尼振动
14、和无阻尼振动1、阻尼振动 存在阻力做负功，能量减小，振幅减小（减幅振动）2. 无阻尼振动(等幅振动)在振动中,为保持振幅不变(能量不变)，应及时地补充能量,使 A 不变（3）受迫振动1. 得到持续的,等幅振动的最简单的办法是用周期性的外力(驱动力)作用于物体,物体在驱动力作用下的振动,叫受迫振动.2. 物体做受迫振动的频率由驱动力决定,等于驱动力频率,而与固有频率无关(奴隶,奴隶主)如：钟摆 , 秋千（4） 共振在受迫振动中,驱动力的频率和物体的固有频率相等时,振幅最大（5） 、共振的防止和应用（1）利用共振的有：共振筛、转速计、微波炉、打夯机、跳板跳水、打秋千（2）防止共振的有：机床底座、航
15、海、军队过桥、高层建筑、火车车厢偏心轮共振筛【例 10】 把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛。不开电动机让这个筛子自由振动时，完成 20 次全振动用 15s；在某电压下，电动偏心轮的转速是 88r/min。已知增大电动偏心轮的电压可以使其转速提高，而增加筛子的总质量可以增大筛子的固有周期。为使共振筛的振幅增大，以下做法正确的是A降低输入电压 B提高输入电压C增加筛子质量 D减小筛子质量解析：筛子的固有频率为 f 固 =4/3Hz，而当时的驱动力频率为 f 驱 =88/60Hz，即 f 固 f 驱 。为了达到振幅增大，应该减小这
16、两个频率差，所以应该增大固有频率或减小驱动力频率。本题应选 AD。【例 11】 一物体做受迫振动，驱动力的频率小于该物体的固有频率。当驱动力的频率逐渐增大时，该物体的振幅将：（ D）A逐渐增大 B先逐渐减小后逐渐增大C逐渐减小 D先逐渐增大后逐渐减小【例 12】如图所示，在一根张紧的水平绳上，悬挂有 a、 b、 c、 d、 e 五个单摆，让 a 摆略偏离平衡位置后无初速释放，在垂直纸面的平面内振动；接着其余各摆也开始振动。下列说法中正确的有：（A、B ）A各摆的振动周期与 a 摆相同B各摆的振幅大小不同， c 摆的振幅最大C各摆的振动周期不同， c 摆的周期最长D各摆均做自由振动第二单元 机械
17、波（一）机械波的产生和传播 波的概念一、机械波机械振动在弹性介质中的传播二、形成条件1、 振动的物体振源波源、波的发源地，最先振动的质点，不是自由振动，而应是受迫振动，有机械振动，不一定有机械波，有机械波必有机械振动。2、 传播振动的媒介物介质应具有弹性的媒质，这里的弹性与前述弹性不同，能形成波的媒质叫弹性媒质。三、波的特点和传播1、 把介质看成是由大量的质点构成的，规定离振源近的称为前一质点，离振源远的称为后一个质点。相邻的质点间存在着相互作用力，振动时，前一质点带动后一质点振动2、 各个质点在平衡位置附近往复振动，不随波的传播而迁移（水中的树叶）B 举例：足球人浪，体操表演3、 质点做受迫
18、振动，各 质 点 开 始 振 动 时 的 振 动方 向 、 频 率 、 振 幅 ， 对 简 谐 波 而 言 都 和 振 源相 同 。4、 各个质点启动同向不同时【例】 在均匀介质中有一个振源 S，它以 50HZ的频率上下振动，该振动以 40m/s 的速度沿弹性绳向左、右两边传播。开始时刻 S 的速度方向向下，试画出在 t=0.03s 时刻的波形。解析：从开始计时到 t=0.03s 经历了 1.5 个周期，波分别向左、右传播 1.5 个波长，该时刻波源 S 的速度方向向上，所以波形如右图所示。5、 振动速度和波速的区别。在均匀媒质中波是匀速、直线前进的，波由一种媒质进入另一种媒质，f 不变，而
19、v 变，而质点的振动是变加速运动，二者没有必然联系，不能混淆。四、波的意义1、 传播振动的能量启动 受迫（机械波传播机械能，电磁波传播电磁能。 ）2、 传播振动的形式振幅 周期 频率（振源如何振动，质点就如何振动）3、传播信息 （声波、光波、电磁波）五、波的分类1 横波质点的振动方向与波的传播方向垂直（水波、绳波）2、纵波质点的振动方向与波的传播方向共线 （声波）练习：都在水平面的振动也可以形成横波地震波有横波也有纵波（二）机 械 波 的 图 象一、波的图象用 x 表示波的传播方向的各个质点的平衡位置，用 y 表示某一时刻各个质点偏离平衡位置的位移，并规定在横波中位移的方向向上为正。取得方法：
20、1、描点法找到某一时刻介质的各个质点偏离平衡位置的位移2、拍照 二、波的意义 横轴：介质各个质点的平衡位置纵轴：某一时刻介质的各个质点偏离平衡位置的位移三、对比振动图象和波的图象x（m） y（m ） 1 2 3 4 t（s） 1 2 3 4 x（m ）振动图象和波动图象的联系与区别联系：波动是振动在介质中的传播，两者都是按正弦或余弦规律变化的曲线；振动图象和波的图象中的纵坐标均表示质点的振动位移，它们中的最大值均表示质点的振幅。区别：振动图象描述的是某一质点在不同时刻的振动情况，图象上任意两点表示同一质点在不同时刻偏离平衡位置的位移；波的图象描述的是波在传播方向上无数质点在某一时刻的振动情况，
21、图象上任意两点表示不同的两个质点在同一时刻偏离平衡位置的位移。振动图象中的横坐标表示时间，箭头方向表示时间向后推移；波的图象中的横坐标表示离开振源的质点的位置，箭头的方向可以表示振动在介质中的传播方向，即波的传播Sv v1.2 0.8 0.4 0 0.4 0.8 1.2yx0yx0方向，也可以表示波的传播方向的反方向。振动图象随时间的延续将向着横坐标箭头方向延伸，原图象形状不变；波的图象随着时间的延续，原图象的形状将沿横坐标方向整个儿地平移，而不是原图象的延伸。在不同时刻波的图象是不同的；对于不同的质点振动图象是不同的。 4四、振动方向和波的传播方向的联系前一质点带动后一质点运动1、 由传波方
22、向确定振动方向 2、由振动方向确定传播方向3、画出一定时间的机械波的图象（三） 描绘机械波的物理量一、周期和频率在波动中，各个质点的振动周期是相同的，它们都等于波源的振动周期，这个周期也叫做波的周期。同样，各个质点的振动频率也是波的频率。二、波长（）和波的推进在波动中，相对于平衡位置的位移总相等的两个相邻质点间的距离，叫做波长1、在横波中，两个相邻的波峰或波谷间的距离等于波长，在纵波中两个相邻的密部或疏部间的距离等于波长。2、波动在一个周期中向前推进一个波长3、在一个周期内波峰或波谷向前推进一个波长4、波的传播方向就是波峰或波谷的推进方向三、波速1、波的传播速度（公式）2、波峰或波谷的推进速度
23、3、与波源无关，所以波从一种媒质进入另一种媒质时 f 不变、v 变化，波速也是波的能量传播速度。 svtTf注意：1、频率或周期取决于振源（受迫振动）2、 速取决于介质，波由一种介质进入到另外一种介质时，波速改变，但是频率不变。类比：频率相同， “步长”不同四 波的多解问题时间的周期性 距离的周期性 方向的双向性例 1： 如 图 为 t=0 时 刻 波 形 ， 波 向 左 传 。 已 知 在 t1=0.7s 时 P 点 第 二 次 出 现 波 峰 ， 则质点 A 和 B 的位移在 t=0 时刻相等在 t=0 时刻 C 向上运动在 t2=0.9s 末 Q 点第一次出现波峰在 t3=1.26s 末
24、 Q 点第二次出现波峰例 2：以正弦波沿 x 轴负方向传播，某时刻波形如图。v=10m/s，试画出 t1=1.3s;t2=1.5s的波形图例 3：一列横波在 x 轴上传播，在 t1=0 和 t2=0.005s时的波形图如图，求：设 T(t 2-t1)，如果波向左传播波速是多大？如果波向右传播波速是多大？设 T(t 2-t1)，且 v=6000m/s 求波的传播方向。若无条件限制，波速是多大？例 4：A 和 B 为一列横波上相距 6m 的两个质点，如图分别为其的振动图像，如果波长大于 14m，则这列波的波速为多少？例 5：一列横波沿直线 A、B 传播，已知 AB 两点间距离为 3m,某一时刻 A
25、B 两点相对平衡位置的位移均为零，且 AB 之间只有一个波峰，求波长 （四 ） 波的特性波的衍射实验一：机械波遇到小孔结论：当小孔的尺寸小于波长或与波长相差不多时，衍射明显实验二：机械波遇到障碍物结论：当障碍物的尺寸小于波长或与波长相差不多时衍射明显练习1、 闻其声不见其人衍射2、 空山不见人，但闻人语响衍射3、 余音绕梁，三日不绝反射4、 雷声轰鸣不断反射5、 让 A 点动起来的方法有多少？波的干涉一 波的叠加原理1、 相遇时，位移和速度都是矢量和2、 相遇后，保持原状，继续传播3、 峰峰叠加加强，谷谷叠加加强，峰谷叠加减弱二 波的干涉1、波的传播就是波峰或波谷的推进2、干涉条件：振动相同的
26、两列波（相干波源）叠加3、干涉图样的特点（定性分析） 形成加强区和减弱区SA 加强区和减弱区相互间隔 强总强，弱总弱 加强区振幅增加，但是位移有时可以为零4、 定量分析加强区和减弱区的计算 (21)sn()2sn5干涉和衍射现象是波的特有的现象，一切波（包括电磁波）都能发生干涉知衍射，反之，能发生干涉和衍射的一定是波。6声波：空气中的声波是纵波人耳能感觉的声波的频率范围是 20Hz20000Hz，波长范围是 17mm17m。人耳能区分回声和原声的最小时间是 0.1s声波有干涉、衍射、反射现象，声音的共振叫共鸣例 1：如图所示，a、b 两质点是两列相向传播的简谐横波的振源，它们的间距为 6m，若
27、 a、b 振动频率均为 5Hz，位移大小和方向始终相同，两列波的波速均为 10m/s，则（答案：A.B.D）A.ab 连线中点是振幅最大点B.ab 连线上离 a 为 1.5m 处无振动C.ab 连线上振动最弱的位置共三处D. ab 连线上振动最强的位置共五处例 2：如图，湖面上有一个半径为 45m 的圆周，AB 是它的直径，在圆心 O 和圆周上的 A 点分别装有同样的振动源，其波在湖面上传播的波长是 10m。若一只小船在 B 处恰好感觉不到振动，它沿圆周慢慢向 A 划行，在到达 A 之前的过程中还有几次感觉不到振动？(答案：8 次)【例 2】 如图所示表示两列相干水波的叠加情况，图中的实线表示
28、波峰，虚线表示波谷。设两列波的振幅均为 5 cm，且图示的范围内振幅不变，波速和波长分别为 1m/s 和 0.5m。C 点是 BE 连线的中点，下列说法中正确是 BCDAC、E 两点都保持静止不动B图示时刻 A、B 两点的竖直高度差为 20cmC图示时刻 C 点正处于平衡位置且向水面上运动D从图示的时刻起经 0.25s，B 点通过的路程为 20cm补充：波的反射和折射，遵循两个定律（五） 多 普 勒 效 应一 波源发出的频率 f波源单位时间内发出波的个数观察者接收到的频率 f 观察者单位时间内接收到的波的个数二 相对运动时对频率的影响步调一致步调相反S A1、 波源和观察者都不动 f = f2
29、、 波源不动 观察者接近波源 f f观察者远离波源 f f3、观察者不动波源远离观察者 f f波源靠近观察者 f f三 结论当波源与观察者有相对运动时，如果二者相互接近，观察者接收到的频率增大；如果二者远离，观察者接收到的频率减小。四 应用有经验的铁路工人可以从火车的汽笛声判断火车的运动方向和快慢.有经验的战士可以从炮弹飞行时的尖叫声判断飞行的炮弹是接近还是远去.交通警察向行进中的汽车发射一个已知频率的电磁波，波被运动的汽车反射回来时，接收到的频率发生变化，由此可指示汽车的速度.由地球上接收到遥远天体发出的光波的频率可以判断遥远天体相对于地球的运动速度.五 多普勒效应是波动过程共有的特征.(vff (vff例：一列火车鸣笛通过某测速站，当火车驶来时，测速仪接受到汽笛的频率为 f1=440Hz；当火车离去时，测得汽笛声频率 f2=390Hz，若空气中的声速为 v=340m/s，试求列车的速度是多少？解析：设列车速度为 v smvfvfvf /201)( 1)( 111 六、次声波和超声波人耳能听到的声音的频率范围为 20Hz20000Hz 1、次声波：频率低于 20HZ 的声波。2、超声波：频率高于 20000HZ 的声波波长不变波速不变波长改变波速不变BAS
