1、1,第一章 线性空间和线性变换,主要掌握以下内容：1、能给出常见线性空间的基；会求一个向量在给定基下的坐标；会求两组基的过渡矩阵,2,例 1 实数域 上的线性空间 的一组基,例 2 实数域 上的线性空间 中的一组基,例 3 实数域 上的线性空间 中的一组基,3,习题1-5,4,5,6,和子空间,2、会求两个子空间的交空间、和空间的基与维数,定理：设,则：,7,习题1-7,8,9,3、能给出线性映射（线性变换）在给定基下的矩阵表示;会求线性映射的值域空间及核空间的基与维数,10,11,12,13,14,15,16,17,18,4、会计算线性变换的特征值与特征向量,是 的特征值 是 的特征值,19
2、,第二章 矩阵与矩阵的Jordan标准形,主要掌握以下内容：1、会求 矩阵的Smith标准形： （1）初等变换法 （2）行列式因子法 （3）初等因子法 2、会求 矩阵的行列式因子、不变因子、初等因子 3、会求数字矩阵A的Jordan标准形J及其变换矩阵P： （1）初等变换法 （2）矩阵秩的方法 4、掌握证明两个矩阵相似的方法： （1）有相同的行列式因子（2）有相同的不变因子（3）有相同的初等因子 5、会用Jordan标准形求矩阵的幂,20,2-2 设 ，证明： 阶矩阵与相似。,21,证明 ： 计算A的行列式因子。显然下面看 阶行列式因子。有一个 阶子式要注意，即,22,容易计算出 从而,同理可
3、计算出B的行列式因子及不变因子也是,所以A与B相似。,23,2-3 设 证明 阶矩阵与不相似。,24,25,正整数 使得 ，证明： 与对角矩阵相似且主对角线上的元素均为 次单位根。证明：设 的Jordan标准形为,2-5 设 为数域 上的 阶方阵且存在,26,即有可逆矩阵 使得由于 ，所以有从而有,27,因此，只有当 为一阶矩阵时上面的矩阵等式 才成立，这样有 ，这表明 为对角矩 阵，所以 与对角矩阵相似。,28,28,2-6 设 为数域 上的 阶方阵且满足，证明： 与对角矩阵相似。,29,即有可逆矩阵 使得由于 ，所以有,证明：设 的Jordan标准形为,30,从而 即,31,因此，只有当
4、为一阶矩阵时上面的矩阵等式才成立且 ，所以有这说明 为一个对角矩阵且主对角线上的元素只能为1 或0，适当地调换主对角线上的元素次序可以得到方阵,此矩阵仍然与 相似。,32,作业2-9 试写出Jordan标准形均为的两个矩阵。,33,解答：,这里 为任意的非零数。,34,第三章 内积空间，正规矩阵与Hermite矩阵,主要掌握以下内容：1、会用欧氏空间、酉空间的定义去证明； 2、掌握内积、长度、夹角、正交的定义及性质； 3、掌握标准正交基的定义及Schmidt正交化方法； 4、掌握以下矩阵的定义、性质、结构定理：酉矩阵、实正交矩阵、Hermite与反Hermite矩阵、实对称与反对称矩阵正规矩阵
5、、正定与半正定矩阵 5、掌握以下线性变换的定义、性质及与相应矩阵 的关系：酉变换、正交变换、Hermite变换、对称与反对 称变换、正规变换、正定二次齐次,35,3-17 设 是一个正定的H-阵, 是一个反H-阵, 证明: 与 的特征值实部为零.证明: 设 为矩阵的任意一个特征值, 那么有 . 由于 是一个正定H-阵, 所以存在可逆矩阵 使得将其代入上面的特征多项式有,36,这说明 也是矩阵 的特征值. 另一方面注意矩阵 为H-反阵, 从而 实部为零. 同样可以证明另一问.,37,习题3-19 设 是一个半正定的H-阵且 证明: 证明: 设 为 的全部特征值,由于 是半正定的, 所以所有的 .
6、而且由于 ，一定存在某个特征值大于0，于是有,38,习题3-20 设 是一个半正定的H-阵且是一个正定的H-阵, 证明: 证明: 由于 是一个正定的H-阵, 所以存在可逆矩阵 使得这样有,39,注意矩阵仍然是一个半正定的H-阵, 有上面的例题可知从而,40,3-21 设 是一个正定的H-阵, 且又是酉矩阵, 则证明: 由于 是一个正定H-阵, 所以必存在,酉矩阵 使得,41,由于 又是酉矩阵, 所以,这样必有 , 从而,42,3-22 证明：（1） 半正定H-矩阵之和仍然是半正定的;（2） 半正定H-矩阵与正定H-阵之和是正定的; 证明：设 都是半正定H-阵，那么二者之和 仍然是一个H-阵，其对应的Hermite二次型为其中,43,由于 都是半正定H-矩阵，所以对于任意一组不全为零的复数我们有这说明 为一个半正定H-阵。类似地，可以证明另外一问。,44,习题3-23 设 是一个正定的H-阵, 是一个反H-阵, 证明: 是可逆矩阵.证明: 由于 是一个正定H-阵, 所以存在可逆矩阵 使得这表明 是可逆的. 于是另一方面注意矩阵 仍然为正定H-阵, 而矩阵 为H-反阵, 由上面的例题结论可知,45,矩阵 的特征值实部为零, 那么矩阵的特征值中不可能有零, 从而即所以 可逆,46,
