定积分在几何上的应用 3求旋转体的侧面积设旋转体是曲线 yf(x)( 0，axb) ，直线 x a，xb 绕 x 轴旋转而生成任取一微区间x，xdx，如图 1有 P(x，y) ，Q(xdx，yy)，由弧微分中的讨论知：弧长 sds o(dx) 线段 o(dx)ds o(dx) 因为 绕 x 轴旋转生成的旋转体的侧面积是侧面积量 A 的增量 A，线段 PQ绕 x 轴旋转生成的面积恰好是上、下底面半径为 y 和 yy，侧高为 的圆台的侧面积 由圆台侧面积公式可知后者等于(yyy)2ydyo(dx)ds o(dx)2ydso(dx) ，显然 Ao(dx)，故有从而旋转体的侧面积为相应地也可写出曲线在参数坐标和极坐标下的侧面积公式，这里不列出了例 18 求抛物线 y22px(0xa)绕 x 轴旋转生成的旋转体的侧面积由式得侧面积为例 19 求由圆 x2(ya) 2r 2(ra)绕 x 轴旋转而成的环体的表面积故对哪个半圆周都有代入公式即得所求表面积为解 采用参数坐标较为方便令 xacost，ybsint 0t2弧长微分故表面积为我们说过椭圆的周长不能准确计算，但椭圆的旋转面积却能准确算出来当 e习题29求抛物线 y24x，直线 x8 所围成图形绕 x 轴旋转所得旋转体的侧面积求旋转下列曲线所成曲面的面积33xa(tsint)，y a(1cost)(0t2)分别绕 x 轴和 y 轴答案
