1、1 / 5 常微分方程 期末考试试卷（1）班级 学号 姓名 成绩 题号 一 二 三 总分分数.一、填空（每格 3 分，共 30 分）1、方程 有只与 有关的积分因子的充要条件是 (,)(,)0MxydNxyx。2、若 为 阶齐线性方程的 个解，则它们线性无关的充要条件是 2,ntt n。3、若 和 都是 的基解矩阵，则 和 具有的关系是()t()xAt()t_。4、函数 称为在矩形域上关于 满足利普希兹条件，如果 ),(yxf y。5、当 时，方程 称为恰当方0),(),(dyxNyxM程，或称全微分方程。6、若 是 的基解矩阵，则 满足()txtA)( tAx)(tf)(0t的解 。7、若
2、为 n 阶齐线性方程 的 个线性无关解，()1,2)ixt ()()1()nnnatxatx则这一齐线性方程的通解可表为 。8、求 =f(x,y)满足 的解等价于求积分方程 的解。dy0()yx9、如果 在 上 且关于 满足李普希兹条件，则方程 存在唯),(xfRy ),(yxfd一的解 ，定义于区间 上，连续且满足初始条件 ，其中 yhx0 0)(h， 。),(ma),(xfMRyx得分2 / 5二、计算题(每题 10 分,共 50 分) 10、求方程 的解。21dyx11、求方程 通过点 的第二次近似解。2(,0)12、求非齐线性方程 的特解。sint13、求解恰当方程 。)4()3(2d
3、yxxy14、求伯努利方程 的 通 解 。6d三、证明.（20 分）15、1)试验证初值问题 ， 的解为: 214xx12(0);321()()te2）求该微分方程组的 expAt。试卷（1）答案一、填空（每格 3 分，共 30 分）1、方程 有只与 有关的积分因子的充要条件(,)(,)0MxydNxyx是 。)(2、若 为 阶齐线性方程的 个解，则它们线性无关的充要条件12,nxtxt n是 。()()0w得分得分3 / 53、若 和 都是 的基解矩阵，则 和 具有的关系是()t()xAt()t， C 为非奇异常数矩阵。ba4、函数 称为在矩形域上关于 满足利普希兹条件，如果 存在常数0，对
4、于所有),(yxf y都有使得不等式 成立。R2,1 212,1)(),( yLyxff 5、当 时，方程 称为恰当方程，或称全微分方程。xNyM0,),(dyxNyx6、若 是 的基解矩阵，则 满足()ttA) tA)(tf)(0tx的解 。0110()txsfd7、若 为 n 阶齐线性方程 的 个线性无关解，(),2)it ()()1()nnnxatatx则这一齐线性方程的通解可表为 ，其中 是任意常数。)()(1tctiinc,2,18、求 =f(x,y)满足 的解等价于求积分方程 y=y + 的解。dxy0()yx0xdyf),(9、如果 在 上 连续 且关于 满足李普希兹条件，则方程
5、 存在唯一的),(fRy ),(yxf解 ，定义于区间 上，连续且满足初始条件 ，其中 xyhx0 0)(， 。),min(Mbah),(a),(yfRyx二、计算题(每题 10 分,共 50 分) 10、求方程 的解。21dyx解：原式可化为 2()yx分离变量得 21()yd两边积分后 1lnlnxc4 / 5即 22(1)yxc故原方程的通解为 2(1)x11、求方程 通过点 的第二次近似解。2dx,0解：令 0)(则 22100111()xxyd222532011 1()()()0640xxy xx12、求非齐线性方程 的特解。sint解：线性方程 的特征方程 ，故特征根 。0i又 ，
6、 是特征单根，所以原方程有特解 ，将()sifti (cosin)xtABt其代入原方程得 ， B=0 。故原方程的特解为 。12A1213、求解恰当方程 。0)4()3(dyxxy解： ， .1MN则 .xy所以此方程为恰当方程。凑微分， 0432ydd得 Cyx314、求伯努利方程 的 通 解 。26xd解：这是 n=2 时的伯努利不等式，令 z= ,算得1ydxyz2代入原方程得到 ，这是线性方程，求得它的通解为 z=xzd 826xc5 / 5带回原来的变量 y，得到 = 或者 ，这就是原方程的解。1826xccxy86此外方程还有解 y=0.三、证明.（20 分）15、1)试验证初值问题 ， 的解为: 214xx12(0);321)()(te2）求该微分方程组的 expAt。1）证明： 解得 此时 k=1 1()6904p,2312n2v 1132220 ()()!it itieAEe2）解：由公式 expAt= 得1ntii3331exp()01t t ttAEete
