1、1高等数学教案、2第一章 函数、极限与与连续本章将在分别研究数列的极限与函数的极限的基础上，讨论极限的一些重要性质以及运算法则，函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。具体的要求如下：1 理解极限的概念（理解极限的描述性定义,对极限的 、 定义可在学习过程中N逐步加深理解，对于给出 求 N 或 不作过高要求） 。2 掌握极限四则运算法则。3 了解极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则） ，会用两个重要极限求极限。4 了解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念。能够正确运用等价无穷小求极限。5. 理解函数在一点连续的概念，理解区间内（上）连续函数的概念。6. 了解间断点的概念，会求函数的间断点并判别间断点
2、的类型。7. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最大、最小值定理、零点定理、介值定理） 。第一章共 12 学时，课时安排如下绪论 1.1、函数 1.2 初等函数 2 课时1.4 数列极限及其运算法则 2 课时1.4 函数极限及其运算法则 2 课时1.4 两个重要极限 无穷小与无穷大 2 课时1.4 函数的连续性 2 课时第一章 习题课 2 课时绪论数学：数学是研究空间形式和数量关系的一门学科，数学是研究抽象结构及其规律、特性的学科。数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性。关于数学应用和关于微积分的评价：恩格斯：在一切理论成就中，未必再有像 17 世纪下叶微积分的微积分的发
3、现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是这里。华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之迷，日用之繁，无处不用数学。张顺燕：微积分是人类的伟大结晶，它给出了一整套科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强和加深了数学的作用。有了微积分，人类才有能力把握运动和过程；有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代的社会。航天飞机，宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接后果。数学一下子到了前台。数学在人类社会的第二次浪潮中的作用比第一次浪潮要明显多了（数学通报数学与文化 2001.1.封二）初等数学与高等数学的根本
4、区别：用初等数学解决实际问题常常只能在有限的范围内孤立的静止的观念来研究，有很多问题不能得到最终答案，甚至无法解决。高等数学用运动的辨正观点研究变量及其依赖关系，极限的方法是研究变量的一种基本方法，贯穿高等数学的始终。用高等数学解决实际问题，计算往往比较简单，且能获得最终的结果。3本学期教学内容：第一章 函数、极限与连续第二章 导数与微分第三章 导数学的应用第四章 不定积分参考书：高等数学（同济大学应用数学系 主编第五版） 数学分析武汉大学数学系编电子阅览室（网络）高等数学 精品课程学习高等数学应注意的方法：上课认真听讲（最好能预习） ，积极参与课堂讨论、研究，课后及时复习；透彻理解概念，熟练
5、掌握重要定理、公式、运算法则，做适量练习；应用所学知识解决实际问题；归纳总结，不断提高，建构起高等数学适应体系。第一节 函数、第二节 初等函数1.掌握区间、邻域的概念。2.了解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题的函数关系式。3.了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。4.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数的概念。5.掌握基本初等函数的性质及其图形。一邻域 ，以 a 为中心的 邻域(,)(,)Ua，以 a 为中心的去心 邻域, 二函数：定义 1 设 和 是两个变量， 是一个数集。如果对于 中的每一个 ，按照某个对应xyDDx法则 ， 都有确定的值和它对应，那么称 为定义
6、在数集 上的 的函数，记作f y。 叫做自变量， 叫做因变量， ，数集 叫做函数的定义域。()y为因变量的函数也可表示为 ， ， ，)(xy()F)(xy函数的两个要素：对应法则、定义域。 三分段函数1 称为“分界点” 。3,0()45.xyfx2符号函数 0,1,sgnxy3取整函数：不超过 的最大整数，记做： ，如： ， 。xxy3.1.4四反函数的定义：设有函数 其定义域 ，值域为 ，如果对于 中的每一个),(xfyDW4值，都可以从关系式 确定唯一的 值（ ）与之对应，这样所确定y),(xfyxD的以 为自变量的函数 叫做函数 的反函数，它对定)(1yf或)(xfy义域为 ，值域为 。
7、WD习惯上，函数的自变量都用 表示，所以反函数通常表示为x ).(1f五函数的几种特性1有界性：设 ，定义域为 D， D， ，恒有 。则称函数)(fy0Mxf)(在 D 上有界。否则称函数在 D 上无界。例如：函数 ，在 内有界；在 内无界。xf1)(,)(,1)2单调性：设 ，定义域为 D， D，当 时 ，y21,x2x)(21xff单调递增；当 时 ，单调递减。单调递增与单调递减的函数统称21x)(1ff为单调函数。3 奇偶性：偶函数 ， )(xff奇函数 。 4周期性：周期函数 D， D，xT)(xff例 1狄里克莱函数 。狄里克莱函数是周期函数，但它没有最为 无 理 数为 有 理 数y
8、,01)(小正周期。2符号函数 0,1,sgnxy六复合函数定义 如果 是 的函数 ，而 是 的函数 ，且 的值全部或部yu)(ufyx)(xu()分地落在 的定义域内，那么 通过 的联系也是 发函数。称这个函数是由()f及 复合而成的，称为复合函数，记作 ，其中 叫做中间变yfx )(xfyu量。注：设 、 ，如果 的值部分地落在 的定义域内，()fu()()ux()f5则复合函数 的定义域是 的定义域的子集；如果 的值全部落)(xfy()ux()ux在 的定义域内，则复合函数 的定义域与 的定义域相同。如()fufy果 的值全部落在 的定义域外，则不能构成复合函数。x()f例 3将下列函数
9、“分解”成“简单”的函数：， ，2sinyxy2sixeyarctn七基本初等函数与初等函数：1、 常数函数 )(为 常 数C2、 幂函数 为 实 常 数xy3、 指数函数 ),10(为 常 数aa4、 对数函数 log为 常 数xy5、 三角函数 xyxycs,se,cot,tan,cs,sin 6、 反三角函数： aryxy otrnrsari初等函数：由基本初等函数经过有限次的四则运算及有限复合步骤所构成，并且可以用 一个式子表示的函数叫做初等函数。八双曲函数与反双曲函数， ， 。sh2xeych2xeyxeyth作业 P2021 习题 2（ 3） 、 （4） 、 （6） ；5；7。第四
10、节 数列的极限6数列极限的定义数列的定义：数列实质上是整标函数 ， 正整数集)(nfxN（i） ：1， ， ， ， ， 0nx231（ii） ：2， ， ，1+ ， 1nn1)(4n1)(确定 ：要使 100；xn11nx要使 10000；n要使 。1nxn1（iii ） ：1，-1，1， ， 不存在)(nn 1)(n数列极限描述性定义（P27）：如果当 无限增大时，数列 无限接近于一个确定nx的常数 ，那么 就叫做数列 的极限，或称数列 收敛于 ，记作anxna或 当xnlim.,an时数列极限的定义：如果存在常数 ，使得对于任意给定的正数 （无论它多么小） ，总存在a正整数 ，只要 ，绝对
11、值不等式 ，取 N= 。n1证明 ， ，当 nN 时，恒有 ，故01N1)(n=1。nn1)(lim例 2 若 ，证明： 。21)(ni sxn 0limnx证：分析 = = N 时， 恒成立，故 。,0N01)(n si2 01)(n silm2例 3 设 ，证明数列：1， ， ， ，的极限是 0。qq21nq证：分析 令 ，记 a=0，由于 = = ，要使 ，只1nx01n1n axn要 ，只要 ，只要 ，只要 ，取 N=1nql)(qql-1lq8。1lnq证明 ， ，当 nN 时，恒有 ，故0 1lnqN 01nq=0（当 时） 。1limnq例 4 数列 有界，又 ，证明 =0。nx
12、0limnynyxli证： ，对一切 n 均有 ，又 ，对于 ，0MMxn001M，当 nN 时，恒有 ， ，所以N0yynn=0。nyxlim收敛数列的性质性质 1（有界性）收敛数列一定有界。注：有界数列不不一定收敛。性质 2（唯一性）如果数列收敛，那么它的极限是唯一的。数列极限的运算法则如果 ， ，那么axnlimbynli（1） +)(xbanlim（2） nnyxlinliy（3） nlim)0(libn特别地，如果 C 为常数，那么由（ 2）得nxliliaxn无穷递缩等比数列的和（P30） qqaqSn11211 化循环小数为分数例（P29 例 3）作业 P32 第 2 题（1）
13、、 （3） 、 （6） 、 （8） ；第 3 题（3） 、 （4） ；第 4 题（2）9第五节 函数的极限一、当 时函数 极限x()yfx函数极限的描述性定义：设函数 当| | 时有定义（ 为某个常数） ，如果当自)(fxa变量 的绝对值无限增大（记作 ）时，其函数值 无限接近于某确定的常数 ，xx)(xf A则称 为函数 当 时的极限，记作A)(f或 当 时，xfn)(limxAxf)(函数在当 时（ ）定义： ， ，当 时，X0X|x恒成立，则称 为函数 当 时的极限，记作axf)(A)(xfAfx)(lim注意： 或x)(lim)(li.32)(li.1)(limxfxffaxfxx存
14、在存 在二、当 时函数 极限0x()yf引例： ，当 时， ， 时，1)(2xf1)(xf 2)(xf10即 2)(lim1xf研究： 在点 的某个去心邻域内有定义，当 时，)(f0 0xaf)(定义：如果存在常数 a，使得对于任意给定的正数 （不论它多么小） ，总存在正数 ，当 时， xf)(恒成立，记作 。0x fx)(lim0， ，当 时， 恒成立。0af)(例 1 证明下列极限：（1） ；（2） ；（3） 。Cx0li 00lixx0sinlm0x证：（1）分析这里 ， 恒成立)(af 证明 ，任取一个正数 ，当 时， 恒成立，证00x0C之。（2）分析 由于 ，只要 ，取0)(xax
15、f 0x证明 ， ，当 时， 恒成立，故000 00limxx（3）分析 由于 ，要使 ，只要xaxf sinsi)(0x，只要 ，即 ，取xsinrcrcnarcsinarc证明 ， ，当 ， 恒成立，故0arcsix00six0sinlm0x例 2 证明 。214li2x11证：分析 ， ，21x012x由于 = = =af)(4x)(2x1要使 ，只要 ，即 ，只要 ，取xf)( 12)2(21x2证明 ， ，当 时， 恒成立，证之。02)21(0x214x例 3 证明 。1lim0xe证：分析 由于 ，要使 ，只要 ，只要)(xaf 1xe1xe，即 ，取1ln)1ln(x )ln(0
16、)l)(,)(mi证明 ， )1ln(,)l(mi，当 时， 0 0x1xe恒成立，证之。左极限 )0()li)(li00xffxfxx右极限 )()lim)(li 000fffxx极限存在 右 极 限左 极 限右 极 限 存 在左 极 限 存 在.32.112例 4 当 时，讨论 的极限2x2,)(xef三、极限的性质具有四个性质，下面证其中一种极限性质，余可类似证明之。)(limli0xfn性质 1 （唯一性）如果 存在，则极限唯一。)(lim0xf证：反证法。设 ， ，且 。axf)(li0 bxf)(li0 a， ，当 时，有 ；2b110x2)(abxf， ，当 时，有 。0a2 2
17、0x()fxb取 ，上面两式均成立，由,min21()()()()2babafxfxbfxaf ba矛盾！性质 2 （局部有界性）：如果 存在，则在点 的某个去心邻域内，函数)(lim0xf0x有界。证：令 =a，由定义， ， （对于 =1） ， ，当)(xf )(li0xf， ， 。0,Uf()()ffxafxa13推论：收敛数列必有界；无界数列必发散。性质 3 （局部保号性）如果 且 （或 ） ，则在点 的某个去axf)(lim00a0x心邻域内，函数 （或 ） 。)(xf证：不妨令 ，取 ， ，当 时， ，0a2a00(,)xUaxf)(， 。xfa)(2)(axf性质 4 （函数极限与
18、数列极限的关系）设 存在，设 是函数 的定义)(lim0xfnx)(xf域内任一收敛于 的数列，且满足： （ ） ，那么相应的函数值数列 必0xxnNn收敛，且 。)(lim)(li0ffxn证：设 ， ， ，当 ，恒有 ，即0li()xfA00(,)xU()fxA。(),fU由于 ，故知数列 只有有限多项在 之外，从而数列 只0limxnnx0(,)x ()nfx有有限多项在 之外，根据数列极限的定义得(,)A0li(lim()nxff例 1 数列 是发散的。为什么？)(1n例 2 证明当 时， 没有极限。0xxsi证：取两个收敛于 0 的数列：10,limsn0i12nnnxt t14，所
19、以 不存在。lim()01nfxt0limsnx例 3 对于数列 ，若 ， ，证明n )(12kak )(2kaxk )(nax证： ， ，当 时，01N1Nk12， ，当 时，22kaxk， ，当 Nn时，恒有 ，即0,1max2N axnxnli作业：P38 T1（1） 、92） （3） 、 （7） 、 （8） 。T5。第六节 函数极限的运算法则 、两个重要极限一、函数极限的四则运算法则定理 1：设 ， 。则Axf)(limBxg)(li（1） ；)(lim)(li)(li xgff （2） ；)(li)(li)(li xfBAxgf （3）当 时， 。0b)(lim)(lixgfxf推论
20、 1、常数因子可以提到极限符号外面去，即 ).(li)(limxfCxf15推论 2 如果 存在，则)(limxfkkff)(li)(li)为 自 然 数注：上述法则对于 时的情形也是成立的。x例 1求下列极限：（1） ； （2）64lim2x453lim21xx例 2求下列极限：（1） ；（2） ；（3）1374li23xx 17243li2xx。lim2x例 3设 ，求 。0a3liax解： )()()( 323233233 axaxxax 0)(3232x二、极限存在准则准则 如果数列 、 、 满足下列条件：nynz（1） ，nyxz(1,2)（2） ，limalin那么数列 的极限存在
21、，且 。nx.limaxn准则 单调有界数列必有极限。16第一个重要极限： .1sinlm0x例 1 求下列极限：（1） ；（2） ；（3）xtali0 2020sinlmcos1lixx。lxmxsinl0例 2 求 。arcsi0第二个重要极限： exx1li例 3 求下列极限（1） ；（2） ；（3） 。10lim()xx 2li(1)xx3lim(1)xx例 4 求极限 .1lixx作业：P43 T1（1） 、 （3） 、 （5） 、 （7） 。T2（2） （4） 、 （6） 。T（1） 、 （2） 。第七节、 无穷小与无穷大一、无穷小1、无穷小的定义定义：以 0 为极限的函数（变量）
22、 ，称为无穷小量。定理：在自变量同一变化过程中，函数 f(x)有极限 的充分必要条件是 ，A)()(xAf其中 是无穷小量。()x2、无穷小的性质性质 1、有限个无穷小量之和是无穷小量；17证：（1）设 ，0lim()x0)(li0x， 1，当 时，10()2， ，当 时，02 20x)(x120min, ()2取 当 时 ，性质 2、有限个无穷小的乘积仍为无穷小。性质 3、有界函数与无穷小量之积是无穷小量。推论：常数与无穷小量之积是无穷小量。例 1求 。xx1sinlm0二、无穷大1、无穷大的定义定义 2、如果当 时，函数 的绝对值无限增大，那么称 为当)(0x)(xf )(xf时的无穷大量
23、，简称无穷大，记为)(0x)(lim)(li0 xffx定义 2 （不论它多么大） ， ，当 时，恒有 ，M00xMxf)(记作 )(li0xf2、无穷大与无穷小的关系定理：在自变量的同一变化过程中，若 是无穷大量，则 是无穷小量；反之，)(xf )(1xf18若 是无穷小量，且 ，则 是无穷大量。)(xf 0)(xf)(1xf三、无穷小的比较引入 ， ， ，02limx23lix32lim0x1sinl0x定义：在自变量同一变化过程中，如果 ， 均为无穷小量，若1 ，称 是比 高阶的无穷小量，记为 o ；0li )(2 ，称 是比 低阶的无穷小量；lim3 （ ） ，称 与 是同阶无穷小量；
24、Cli04特别地当 C=1 时，即 ，称 与 是等价无穷小量，记为 1li例 1 21)costan(lim)cos(tanlimstanli 03030 xxxxxx，称 是 x 的二阶无穷小。21colim0xs四、等价无穷小量的性质性质 1、 是等价无穷小的充分必要条件为与 ).(性质 2、设 ， ， ， 是无穷小量，且 ， ，如果 ，则alimalim19证： 。lim1lilimli 例 2求下列极限（1） ；（2） ；（3） ；（4）)3tan(5sil0xxxxarcsin)1(li0xx)1ln(i0；exlim0（5） ；（6） 。xx50sinlxx/sinarclm0常见
25、的等价无穷小有：当 时， （1） （2）;i;tanx（3） （4） ；（5） 。;arctx2cosxn1作业：P51 T2（1） 、 （2） 、 （5） 、 （8） 。T3第八节 函数的连续性一、函数的连续性1、函数的改变量定义 1、如果变量 从初值 变到终值 ，那么终值与初值的差 叫做变量 的改u12u12u变量（或增量） ，记作 ，即= 。12改变量 可以是正的，也可以是负的。u给自变量 以改变量 ，函数 有相应的改变量 。xx()f ()(yfxf2、 函数的连续性20定义 2：设函数 在点 的某一邻域内有定义，若 存在，且其极限)(xfy0 )(lim0xf值等于 ，即 ，称函数
26、在点 处连续，点 是 的连续)(0xflim0x)(xf )(f点。即： ， ，当 时，恒有 。0x)(0xf记 ，xx00)( )(00ffy定义 3：若 ，则称函数 在点 处连续。lim0yx )(xf0)(li00xffx3,)(li2,.100函 数 值极 限 值 存 在 有 意 义处 有 定 义在 xf （若 ，则称 在 处左连续；若 ，则称)(lim00xffx()fx0 )(lim00xffx在 处右连续。()f函数 在 处连续 且 。()fx0)(lim00xffx)(li0xff如果函数在开区间 内的每一点处连续，则称为开区间 内的连续函数，,ab,ab称为函数的连续区间。如
27、果函数在区间 内的每一点处连续，且在点 处右连续，,ab,aba在点 处右连续，则称为闭区间 上的连续函数,重要结论：基本初等函数在其定义区间内连续。3、函数的间断点如果函数 在点 处不连续，则称 是 的不连续点或间断点。)(xf00x)(f21如果函数 有下列三种情形之一：)(xf（1）在点 处无定义，即 不存在；0)(0xf（2） 不存在；)(lim0xf（3） 及 都存在，但 。)(li0fx0f )(lim0xf0f则 就是 的间断点。0)(f例 1研究下列函数在指定点的连续性：（1） ，点 x=0；xysin（2） ；点 x=1；1,2)(xf当当（3） ，点 x=0。0,1,)(x
28、f例 2 ，点 。ytan2例 3 ，点 x=0。x1si例 4、证明函数 = 在 内是连续的。)(fsin),(证明： ，当 有增量 时，对应的函数的增量为x),(x，)2cos(in2si)sin( xy 22注意到 | | 。)2(cosx1得 |sin|i)in(| xy因为对于任意的角度 ，当 时有， ，所以有0|i|2sin|i)sin(|0 xxxy 因此，当 时，由夹逼准则得 这就证明了 = 对于0.0|y)(xfsinx是连续的。),(间断点的分类： 振 荡 间 断 点无 穷 间 断 点第 二 类 间 断 点 右左跳 跃 间 断 点 右左可 去 间 断 点左 右 极 限 均
29、存 在一 类 间 断 点第间 断 点 （xf（)( 0二、初等函数的连续性定理 1、如果函数 与 在点 处连续，那么它们的和、差、积、商（分母不)(xfg0x为零）也都在点 处连续。0定理 2、如果函数 在点 处连续，且 ，函数 在点)(xu0)(0xu)(ufy处连续，那么复合函数 在点 处连续。0u)(xfy定理 3、一切初等函数在其定义区间都是连续的。三、闭区间上连续函数的性质定理 4：（有界性及最大值最小值定理）闭区间上的连续函数在该区间上有界，且一定有最大值和最小值。23，使得 ，,babaCf)(max,ffb )(min,fxfbax定理 2 （零点定理）若函数 在闭区间a,b上
30、连续，且 f(a), f (b)异号，则 f (x)在)(f开区间(a,b)内至少有一个零点。在 上连续，且 ，使得 。)(xf,ab ),(0)(baxbfa 0)(xf定理 3 （介值定理）设函数 在闭区间a,b上连续，且 ，则对介于)(xf )(bff与 之间的任何实数 ，在区间(a,b)内至少存在一点 ，使得 。)(afbf0x0x证明：作辅助函数 ，满足定理 2 的条件：在a,b上连续，且)(xfF，即 ，0)(0)()( xFbafbaF0)(0xf。0xf推论 1：闭区间上的连续函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值。推论 2：闭区间上不为常数的连续函数把该区间映为闭区间。切记
31、：若不是闭区间，或不是连续函数，上述性质均不一定成立。例 1证明方程 在区间(-1,1)内有唯一的根。0xe证：讨论函数 ，闭区间-1,1。xf)(先证明存在性；再证明唯一性指出 为单调函数xef)(例 2证明方程 有分别包含于（1，2） ， （2，3） ，内的两个实0321xx根。证：由方程可知 ， ， ，故原方程之同解方程为240)2(1)3(1)3(2xxx引入辅助函数 )()()()(F易知 F(x)在 上连续，故可分别在闭区间1，2，2，3上讨论之。),(作业：P60 T1；T2；T3（1） 、 （3） ；T4（2） 。第一章 习题课一、内容小结1、函数的定义，反函数、复合函数的定义
32、，函数的几种特性，基本初等函数，基本初等函数。2、数列极限的定义、性质。3、函数极限的定义： ,)(lim0Axfs,)(li0xfs ,)(lim0Axfs。,x,xx函数极限的性质：（1）如果函数 则 在点 的去心邻域内是有界的。)(li0fs )(f0（2）如果 存在，那么这极限是唯一的。0xs4、无穷小、无穷大：无穷小： ；无穷大： ；无穷小的运算性质，无穷小与无穷大的)(limxf )(limf关系；无穷小阶的比较。等价无穷小的性质与其在极限计算中的应用。5、极限存在准则、两个重要极限： 1sinl0xexxliexx10lim6、函数的连续性与性质设函数 在点 的某邻域内有定义，如
33、果)(xf0lim0x |)(|,|, 00xfx有时当如果 ，那么就称函数 在点 处连续。)(lili00 ffyxx )(xf0左连续 ；右连续 。) ()00fxf25区间上连续函数：在区间上每一点都连续的函数称为该区间上的连续函数。间断点：有下列三种情形之一（1）在 处 无定义；（2）在 有定义，但0x)(f 0x不存在；（3）在 有定义， 存在，但 。则函数)(lim0xf0xlim0x)(li0ffx在点 处间断。0间断点分类： 在 间断， 与 分别存在，则称 为 的第一类间断)(xf0)(0xf)(0f 0x)(f点，否则称为第二类间断点。 重要结论：基本初等函数在其定义域内是连
34、续的。一切初等函数在其定义区间都是连续的。闭区间上连续函数的性质（1） 最大值、最小值及有界性定理。（2） 零点定理（3） 介值定理7、 运算法则（1） 无穷小的运算性质有限个无穷小的和仍为无穷小；有限个无穷小的积仍为无穷小；有界函数与无穷小的积为无穷小。（2） 极限的四则运算法则。（3） 复合函数的极限运算法则：设函数 是由函数 与 复)(xgfy)(ufy)(xg合而成的， 在点 的某去心邻域内有定义，若 ，)(xgf0 0lim0x。且存在 当 时，有 ，则Au)(lim0 ),(0xU)(。ufxfx )(li00（4） 连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍是连续函数。（5） 若
35、在点 处连续， 在点 连续， ，且)(fy0)(xg0gfDx)(0，则复合函数 在点 连续，且0uxgfy。)()(lim)(li 0000 xfufxfux 关于极限计算的几点说明1 极限的计算，首先区分谁是变量，谁是常量，同时搞清变量的变化过程；2 区分极限是定型的还是未定型的。定型的极限直接进行计算；未定型的极限，则要研究如何将其转化为定型的极限；3 未定型的极限转化为定型的极限方法，最基本的有四种：26（a） 利用初等变形的方法：消去零因子，根式有理化，分离为无穷小，变量代换，恒等变换等进行转化。（b） 利用两个重要极限进行转化。（c） 利用等价无穷小量代换利用洛必达法则（第三章介绍
36、） 。例 1、 )13(limxx例 2、若 ，求 a,b 的值。)sin(l21bax解：当 时， ，且1i22x0)(lim21baxx10, =()aba221(1)()xxxa21lim324, 5xab例 3、函数 内是否有界？这个函数的是否为 时的无穷大？),(cos在y x为什么？解：函数 内无界，但不是 时的无穷大。理由如下：),(在xx取数列 ，当 时， ，321nnnn这时 ，所以这个函数无界。)(cos)( xf 取数列 ，当 时， ，),(2tn nt这时 ，)(02cs)( nf所以这个函数不是无穷大.例 4、求极限 .sitanlim30xx27解： 3030sin
37、colimsntali xxxx 2030 sic1silcs)1(il xxx .2inlmoslinli22000 xx例 5、设要使函数 在内连续，应当怎样选择.0;,1sin)(2xaxf )(xf ?a解：因为函数 在 与 内均为初等函数，所以函数 在 与蒙古)(f,),()(xf0,内均为连续函数。,0 afxfaxf xx )0(,1sinlm)0(,)(lim)( 020要函数在 处连续，则 .),(fff故当 时，函数 在 处连续；1a)(x从而当 时，函数 在 内连续。f),补充作业：1、 证明：函数 在区间 上无界，但不是 是时的无1()sinfx1,0(0x穷大。2、 。)1sin)(1(tailim320 xxx
