1、基于卡尔曼分解、系统解集结构，不变子空间等理论的系统 BOBO 稳定与李雅普诺夫稳定之间关系的分析目录第一章 矩阵论基础 .- 1 -1.1 子空间与不变子空间 .- 1 -1.2 线性定常系统解的结构 - 1 -第二章 控制论的相关概念 .- 2 -2.1 稳定性理论 .- 2 -2.2 能控性与能观性 - 2 -第三章 基于不变子空间的系统分析 .- 3 -3.1 不变子空间与系统的解集结构 - 3 -3.2 不变子空间与能控能观性 .- 4 -3.2.1 不变子空间与能控性 .- 4 -3.3 不变子空间与卡尔曼分解 .- 6 -第四章 BIBO 稳定性和李雅普诺夫稳定的关系 .- 10
2、 -4.1 BIBO 稳定的充要条件 .- 10 -4.2 李雅普诺夫稳定的充要条件 - 10 -4.3 渐进稳定的充要条件 - 11 -4.4 内部稳定必定 BIBO 稳定 .- 11 -4.5 外部稳定不一定内部稳定 - 11 -4.6 临界稳定不一定 BIBO 稳定 .- 12 -4.7 特定初态的内部稳定性 - 14 -4.8 内部稳定与 BIBO 稳定 等价条件 .- 14 -4.9 初始状态，输入矩阵，输出矩阵对状态稳定的影响 - 15 -第五章 总结 .- 17 -第六章 参考文献 .- 18 -基于卡尔曼分解、系统解集结构，不变子空间等理论的系统 BOBO 稳定与李雅普诺夫稳定
3、之间关系的分析- 1 -第一章 矩阵论基础1.1 子空间与不变子空间1.1.1 子空间设 是数域 上线性空间 的非空子集，则 是 的线性子空间的充要条件是：WPVWVa) 若 ,， 则b) ,k， 则1.2.1 不变子空间设 T 是线性空间 V 的一个线性变换，又 W 是 V 的一个子空间，若对于任意都有 ，即：W，()T则称 W 是线性变换 T 的不变子空间。1.2 线性定常系统解的结构考虑线性定常系统： ，系统解的结构具有以下形式：xABuyCD从零时刻开始: 从非零时刻开始： ,其中，前一部分是零输入响应，后一部分是零状态响应，反映了线性系统的叠加原理。在之后的分析中，如果没有特别说明，
4、均在零时刻开始讨论。基于卡尔曼分解、系统解集结构，不变子空间等理论的系统 BOBO 稳定与李雅普诺夫稳定之间关系的分析- 2 -第二章 控制论的相关概念2.1 稳定性理论2.1.1 李雅普诺夫稳定性定义：一个平衡状态 称为在 是李雅普诺夫意义下稳定的，当且仅当对于每ex0t个 0，存在一个依赖于 和 的正数 ，使得若 ，则 ，有0ex0,)t(t)ex2.1.2 渐进稳定性定义：在李雅普诺夫稳定的基础上，若在充分接近 处起始的每一条运动轨迹，ex当 时是收敛于 ，则称此平衡状态在 是渐近稳定的。tex0t2.1.3 BIBO 稳定性定义：输入输出稳定，即对任意一个有界输入信号 ，系统(),(0
5、)utMt的输出响应有界。BIBO 稳定是零状态响应。2.2 能控性与能观性2.2.1 能控性能控性所考察的只是系统在控制作用 u(t)的控制下，状态矢量 x(t)的转移情况，而与输出 y(t)无关，所以只需从系统的状态方程研究出发即可。线性连续定常系统的能控性定义： xABu如果存在一个分段连续的输入 u(t)，能在有限时间区间 内，是系统的某一初始0,ft状态 ，转移到指定的任一终端状态 ，则称此状态是能控的。若系统的所有0()xt ()fxt状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的，或简称系统式能控的。2.2.2 能观性能观性所表示的是输出 反映状态矢量 的能力，与控制作用没有直接关(
6、)yt()xt系，所以分析能观性问题时，只需从齐次状态方程和输出方程出发，即 0,xAtC如果对于任意给定的输入 u，在有限的观测时间 ，使得根据 期间的0ft0,ft输出 能唯一的确定系统在初始时刻的状态 ，则称状态 是能观测的。若()yt 0()x()x基于卡尔曼分解、系统解集结构，不变子空间等理论的系统 BOBO 稳定与李雅普诺夫稳定之间关系的分析- 3 -系统的每一个状态都是能观测的，则称系统是状态完全能观测的，或简称是能观的。从定义可知，能观性表示的是 反映状态矢量 的能力。()yt()xt第三章 基于不变子空间的系统分析3.1 不变子空间与系统的解集结构3.1.1 零状态响应的解集
7、是线性空间考虑线性定常系统 ，设 u=0 时，初始状态为 ，xABuyCD (0)x，零输入响应的解集为 ，易知()=0,AtxeX()=AtxeX若 A 没有重特征值，其所有的特征值 所对应的特征向量为12,n组成 n 维线性空间 X 的一组基底，且由于：12,v 1212,()nnxkvkvAkv 即 +,都 有 +该线性空间及其子空间均为 A 的不变子空间。任意一个初始状态 均可由(0)x线性表出，即：12,nv 12(0)nxvv则状态 产生的零输入响应为：(0)x12)nAtAtAtteveev 即 是 的一组基底，也即零输入响应的解集构成的线性空间12,ntttevev X由 A
8、的特征值与特征向量决定。可知线性空间 X 与线性空间 存在同构映射：1212=spa,=spa,ntttnvevev 线性定常系统零输入响应解集具有如下特点：（1） ()xt在 时刻的解为 (0)Atex，几何上对应于状态空间中由初始状态 经(0)x线性变换 导出的一个变换点。基此推知, 零输入响应 ()xt随时间 演化的过程,几0Ae t何上表现为状态空间中由初始状态 点出发和由各个时刻变换点构成的一条轨迹。（2）零输入响应即自由运动轨迹的形态,仅由系统的矩阵指数函数 Ate惟一决定。不同的系统矩阵A, 导致不同形态的矩阵指数函数 Ate,也导致了特征值与特征向量的不同，从而导致了零输入响应
9、解集基本基底的不同，形态不同的零输入响应即自由运动轨迹。这就表明,矩阵指数函数 Ate即系统矩阵 A包含了零输入响应即自由运动形态的全部信息。3.1.2 特征值与特征向量对零输入响应的影响基于卡尔曼分解、系统解集结构，不变子空间等理论的系统 BOBO 稳定与李雅普诺夫稳定之间关系的分析- 4 -由 可知：12() ntttxtevev（1） 特征值对系统运动行为具有主导性的作用。若特征值具有负实部，则零输入响应必定随时间衰减到稳态过程；若特征值具有正实部，则零输入响应必随时间扩散至无穷大而不能达到稳态。（2） 特征向量对系统运动行为具有非主导性的作用。如果把状态响应视为各个特征值相应运动模式的
10、一个线性组合，每一个特征值所对应的运动模态即为一种运动模式，特征向量的影响体现在对不同运动模式的“权重”上，所以特征向量只能影响各个运动模式在组合中的比重。由上两节分析可知，系统的零输入响应性能和特征值、特征向量具有直接的相关性。而对于特征值互不相同的系统而言，其 n 个线性无关的特征向量组成了 A 的n 维不变子空间，此空间与系统零输入响应构成的 n 维线性空间同构。3.1.3 零状态响应解集的构成考虑线性定常系统 ， ，如果 A 有互不相同的特征xABuyCD(0),()xut值 ，则其 n 个线性无关的特征向量构成 n 维线性空间的一组基底12,n，现在把 B（设 B 是一个 n*n 矩
11、阵）以列向量的形式展开，可知 B 的每一v个列向量 均可由 线性表出：12,nb 12,nv 12iiiinbvv则零状态响应的解为： ()() ()()()121200 0()()()()()11111, i it t tAA AtAtn nnn nt ttttii iiixeBudeudebebudvvv ()1,int tievud由上式可知，零状态响应的解集与 A 的特征值，特征向量，输入矩阵具有直接的关系，零输入响应几何上表现为状态空间中由各个时刻 t 输入作用等价状态的变换点构成的一条轨迹。3.2 不变子空间与能控能观性3.2.1 不变子空间与能控性能控性反应的是系统在输入 u(t
12、)的控制下，状态变量 x(t)的转移情况。若以 B 的列向量所张成的空间不在 A 任何一个的不变子空间中，则系统完全能控；若以 B 的列向量所张成的空间在 A 的某个不变子空间中，则 A 的这个不变子空间对应的模态是能控的。其余的模态是不能控的。同样只考虑 A 无重特征值的情形，设 B 的列向量为 ， 为12,pb 12,kv基于卡尔曼分解、系统解集结构，不变子空间等理论的系统 BOBO 稳定与李雅普诺夫稳定之间关系的分析- 5 -A 的 k 个线性无关的特征向量，组成了 A 的 k 维不变子空间 。12,nVv设 nppBVT根据系统的能控性判别矩阵：1112122, ,nnnnTAvvvv
13、BA 可知： 112n krakBrakv 当 k=n 时，即 B 的列向量不落在 A 的所有特征向量为基底的线性空间中，系统完全能控。当 k0，则系统的状态不稳定。这时，输出 是否稳定跟 C 有关。 ()yt 当 等于零时，则不稳定模态 无法对输出响应有所“贡献” ，从而1c1输出收敛，BIBO 稳定。 当 不为零时，则不稳定模态 必定可以通过 或者 表现出来，1 1e1(0)x1b从而输出发散，BIBO 不稳定。第五章 总结本文先研究了不变子空间与解集的关系，不变子空间与能控性和能观性的关系，不变子空间与卡尔曼分解的关系，然后利用系统的解集结构，卡尔曼分解，不变子空间等理论分析了系统内部稳
14、定（渐进稳定），李雅普诺夫稳定，领结稳定之间的关系，在此基础上本文还分析了特定状态的能控性与能观性，状态的稳定性。由分析可知，输入输出描述是系统的不完全描述，仅反应了系统完全能控能观部分，所基于卡尔曼分解、系统解集结构，不变子空间等理论的系统 BOBO 稳定与李雅普诺夫稳定之间关系的分析- 17 -以在以后的系统分析与设计中，不能轻易对消掉相同的零极点。内部稳定的系统一定 BIBO 稳定，而 BIBO 稳定的系统仅仅在系统能控能观时才内部稳定。对于某一特定状态而言，其能控性、能观性、状态稳定性，输出稳定性本质上由系数矩阵 A 决定，如果其落入了 A 的不变子空间，则在某些情况下，输入输出矩阵的
15、某些分量容易“屏蔽”掉不能控，不能观，不稳定的模态，使得其表现为能控，能观，稳定等性质。一般而言，系统李雅普诺夫稳定要比 BIBO 稳定重要。第六章 参考文献1Chi-Tsong Chen.Linear System theory and designM.New York Oxford:Oxford University Press,19992郑大钟.线性系统理论M. 北京：清华大学出版社，2002.103 刘豹，唐万生.现代控制理论M. 北京：机械工业出版社， 2006.7基于卡尔曼分解、系统解集结构，不变子空间等理论的系统 BOBO 稳定与李雅普诺夫稳定之间关系的分析- 18 -4 胥布工.自动控制原理M. 北京：电子工业出版社，2011.15陈后金，胡健等.信号与系统M. 北京：清华大学出版社， 2005.7
