1、机器人技术基础中国海洋大学工程学院张 磊-机器人速度分析和雅可比矩阵01机器人的微分运动02机器人的雅可比矩阵03速度雅可比Contents目录机器人速度分析和雅可比04雅可比的求解、速度、加速度 机器人 的 运动关系机器人结构机器人的自由度机器人的工作空间坐标系的设定坐标变换末端执行器 end-effector位置机器人各关节的转角移动量机器人运动学方程、角速度、角加速度、速度、加速度稳态下机器人的运动学分析 静态机器人的位置、姿态D-H法关节角度与位姿的关系机器人的运动学方程齐次坐标变换手部姿态关节角度 机器人运动学建立的关系稳态下机器人的运动学分析 静态机器人的位置、姿态5、机器人速度分
2、析和雅可比矩阵手部位姿 M关节角度 运动学方程机器人运动中手部的瞬时速度？ 机器人关节的速度？手部速度 v关节速度 q ?5.1 机器人的微分运动如果已知两者之间的微分关系，就可以解决机器人微分运动的两类基本问题：1）是在已知机器人各个 关节变量 的微小变化时求机器人 手部位姿 的微小变化；2）是在已知机器人 手部位姿 的微小变化时求机器人各个 关节变量 相应的微小变化。手部位姿微小变化 X关节角度微小变化 雅可比矩阵 J机器人的微分运动：通过建立雅可比矩阵研究机器人关节变量的微小变化与机器人手部位姿的微小变化之间的关系5.1 机器人的微分运动5、机器人速度分析和雅可比矩阵类 似与运 动 学方
3、程 M=f()建立映射关系5.2. 机器人 的雅可比矩阵机器人 雅可比矩阵 (简称雅可比 )不仅表示操作空间与关节空间 的速度映射关系，也表示二者之间力的传递关系，为确定机器人的静态关节力矩以及不同坐标系间速度、加速度和静力的变换提供了便捷的分析方法。在机器人 速度分析 和 静力分析 中都将用到雅可比机器人 雅可比的定义雅可比矩阵的求 解方法 （ 1） ： 求解机械臂各关节单独做微小运动时 ， 分别产生的手先端的移动量 针对所有关节按照 的方法进行计算 ， 然后将产生的移动合并计算操作空间（速度、力）关节空间（速度、力）5、机器人速度分析和雅可比矩阵如右图所示，各连杆长度为 1的二自由度机械臂
4、，各关节在某时刻做的微小转动的情况下，给出手部前端发的变化情况 。),( 21 ),( ee yx 例题 雅可比的推导由右下图可得：由右上图可得：例题 由运动学可得：最后，得到雅可比矩阵表达形式 J例题 重要例题 例题：如图所示平面二自由度机械臂，手先端的位置产生的微小变化，此时求解机械臂各关节的回转度数。 ）（ 1.0,1.0),( ee yx例：如图所示二自由度平面关节型机器人 (2R机器人 )，分析端点位置 X、 Y微小变位与关节 1、 2微小变化的关系由运动学求解雅可比矩阵1212( , )( , )XXYY 求微分，得：12121212d d dd d dXXXYYY 1 2 121
5、2ddddXXXYYY 由运动学方程可得：其中，令：1212XXYYJ则上式可简写为： dX=JdJ 称为图所示 2R机器人的雅可比，它反映了关节空间微小运动 d与手部作业空间微小位移 dX的关系 。1 1 2 1 2 2 1 21 1 2 1 2 2 1 2l s l s l sl c l c l c J从 J中元素的组成可见， J矩阵的值是关于关节角度 1及 2的函数dddXY X12ddd 实际操作运算可得：由运动学求解雅可比矩阵例：当关节 角度 1=0及 2=90度的时候，雅可比为1 1 2 1 2 2 1 21 1 2 1 2 2 1 2l s l s l sl c l c l c
6、J= -1 -11 0 1、保持 1不动，转动 2，此时手部最前端只能在 x轴方向运动，速度为 -1，Y方向为 0，矩阵第二列为 -1 02、 保持 2不动 ，转动 1， 此时手部 最前端瞬时速度与第一关节轴的连线垂直，半径 2，线速度 2，分解为 x轴方向运动速度为 -1， y轴方向为 1，矩阵第二列为 -1 1可以得到 dx=Jdq的关系式，手部速度与关节速度为线性关系，与求解线性方程 Ax=b同样5.3. 雅可比矩阵由上分析扩展到 n自由度机器人，关节变量可用 广义关节变量 q表示，q=q1, q2, , qnT，1）当关节为 旋转 关节 时 qi=i ，关节在空间的微小转动；2）当关节
7、为 移动 关节 时 qi=di， dq=dq1， dq2, , dqnT， 反映了关节空间的微小运动。机器人末端在操作空间的位置和方位可用 末端手部的 位姿 X表示，它是关节变量的函数， X=X(q)，并且是一个 6维列矢量。dX=dX， dY， dZ， X ， Y ， Z T反映了机器人在操作空间的微小运动，它由机器人 末端微小线位移和微小角位移 (微小旋转 )组成，反映了机器人手部坐标系的微分运动与各关节微分运动的关系。dX=J(q)dqJ(q)是 6 n维偏导数矩阵，称为 n自由度机器人 雅可比5、机器人速度分析和雅可比矩阵5.3. 雅可比矩阵121212T121212nnnXXXnYY
8、YnZ Z ZnXXXqqqYYYqqqZZZqqqqqqqqqq q q XqJ(q)J为机器人的 雅可比矩阵 ， 它反映了机器 人手部在空间的速度与各个关节速度之间的线性变换关系，也可认为是机器人关节速度与手部速度之间的传动比速度分析 和 静力分析4、 机器人运动学线位移角位移列：关节行：自由度行列关系：如第 5行第 3列表示当第 3关节移动或转动微小量时在第 5自由度上相应的平移或转动量。那个是第 5自由度？5.4. 机器人 的速度雅可比1、机器人 速度分析dd()ttXqJq利用机器人速度雅可比可对机器人进行速度分析，对雅可比左右除以 dtv为机器人末端在操作空间中的广义速度； q 为
9、机器人关节在关节空间中的关节速度； J(q)为确定关节空间速度 q 与操作空间速度 v之间关系的雅可比矩阵以 2R机器人为例， J(q)是 2 2矩阵。令 J1， J2分别为所示雅可比的 第 1列 矢量和第 2列 矢量，则：因此，机器人 速度雅可比 的每一列表示其他关节不动而某一关节运动产生的端点速度。仅由第一个关节运动引起的端点速度仅由第二个关节运动引起的端点速度总的端点速度为这两个速度矢量的合成5、机器人速度分析和雅可比矩阵二自由度机器人手部的速度为已知的 1， 2是时间的函数，即： 1=f1 (t)， 2=f2 (t)，则可求出该机器人手部在某一时刻的速度 v=f(t)，即 手部瞬时速度
10、反之，假如给定机器人手部速度，可解出相应的关节速度为J 1称为 机器人逆速度雅可比2、机器人 速度雅可比重要例题 例：如图所示的二自由度机械手，手部沿固定坐标系 X0轴正向以 1.0 m/s的速度移动，杆长 l1=l2=0.5 m。设在某瞬时 1=30 ， 2=60 ，求相应瞬时的关节速度1 1 2 1 2 2 1 21 1 2 1 2 2 1 2s s sc c cl l ll l l J2 1 2 2 1 211 1 2 1 2 1 1 2 1 21 2 2cs1c c s sslll l l lll J2、机器人 速度雅可比有： v=1,0T， vx=1m/s vy=0, 此时应注意 1
11、 = 30,2 = 60，5.5. 雅可比矩阵的求法5、机器人速度分析和雅可比矩阵雅可比矩阵给出了由关节空间速度到手部操作空间速度的映射关系J为雅可比矩阵， m行 n列m：操作空间自由度n：关节空间自由度，关节数量以机械臂的基准坐标系（基座坐标系）为参考坐标系，描述线速度和角速度线速度角速度例：图示 4自由度机械臂为例分别求线速度 Jv和角速度 Jw部分求线 速度 Jv将红色 3*1部分对关节空间向量 1 d2 3 4求导可得求角速度 Jw以 2R为例说明为 1和 2单独旋转后的合成，单独旋转角度与 a相同则，分别对基坐标求齐次坐标变换矩阵机器人的微分运动对机器人控制、误差分析、动力分析和保证
12、工作精度具有十分重要的意义。知识点 4依次设定四足机器人的左前，左后，右后，右前腿为 leg1 ， leg2 ， le g3 ， leg4 ，并设置机体坐标系，坐标系的原点为重心 (COG ) ， x 轴为机器人运动的方向， y轴为由机体右侧指向左侧的方向， z 轴为机体由底部竖直向上的方向。假定图 2 - 1中机器人的姿态为初始姿态，各脚的位置为脚的基准位置 (1C,2C,3C,4C) ，重心在水平面的投影点落在四脚构成的长方形的对角线的交点。 足式机器人运动学实例水平面坐标系设定足式机器人运动学实例当设定足端速度向量 X，可以通过左乘雅可比逆矩阵计算出机器人腿部关节速度向量 q，对机器人进
13、行速度控制时，将速度表示为位置的增量形式q=J-1X分离速度控制 雅可比矩阵的应用X为腿部在机体坐标系下一个采样周期的位移，q为同周期下关节变量的增量。要求机器人按照给定轨迹移动时，X为设定量（将轨迹分解作为输入量），则可以求得关节角度增量，由系统实现位置控制。雅可 比求逆法存在的问题dx不能过大 。因为 雅可比 是随着关节位置变化不断在变化的，一旦关节位置变化很大，算出来的 雅可比逆解 就不再准确了 。矩阵求逆是一个非常消耗计算资源的 运算难以处理 机器人 奇异状态 或接近 奇异状态 的情况 。 很小的 dx可能求得很大的 dq，方程对数值误差也更加敏感；而当机器人处于 Singularity时，线性方程可能无解、也可能有无数多个解
