1、第 1 页 共 焦 点 的 双 曲 线 和 椭 圆 问 题 目 录 一、 解题知识 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 （一） 基础知识 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2、 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 （二） 共焦点的常用结论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 二、 分类解析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3、. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 （一） 用焦半径 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 （二） 面积公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4、. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 （三） 离心率关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1 求 值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5、. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 均 值 不 等 式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6、. . . . . . . 9 3 范 围 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 （四） 其他题目 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7、 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3第 2 页 一 、 解 题 知 识 （ 一 ） 基 础 知 识 一 、 已 知 椭 圆 方 程 为 ), 0 ( 1 2 2 2 2 b a b y a x 两 焦 点 分 别 为 , , 2 1 F F 设 焦 点 三 角 形 2 1 F P F 中 , 2 1 P F F 则 2 t an 2 2 1 b S P F F 。 cos 2 ) 2 ( 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 P F P F P F P F F F c ) cos 1 (
8、2 ) ( 2 1 2 2 1 P F P F P F P F cos 1 2 ) cos 1 ( 2 4 4 ) cos 1 ( 2 4 ) ( 2 2 2 2 2 2 1 2 1 b c a c P F P F P F P F 1 2 2 2 1 2 1 s i n s i n t a n 2 1 c os 2 F P F b S P F P F b 二 、 已 知 双 曲 线 方 程 为 2 2 2 2 1 , x y a b 两 焦 点 分 别 为 , , 2 1 F F 设 焦 点 三 角 形 2 1 F P F 中 , 2 1 P F F 则 1 2 2 t a n 2 F P F
9、 b S 。 三 、 已 知 椭 圆 方 程 为 ), 0 ( 1 2 2 2 2 b a b y a x 两 焦 点 分 别 为 , , 2 1 F F 设 焦 点 三 角 形 2 1 F P F 中 1 2 , , F P m P F n 则 2 0 | | S b mn b c y 。 四 、 已 知 双 曲 线 方 程 为 2 2 2 2 1 , x y a b 两 焦 点 分 别 为 , , 2 1 F F 设 焦 点 三 角 形 2 1 F P F 中 1 2 , , F P m P F n 则 2 0 | | S b mn b c y 。第 3 页 （ 二 ） 共 焦 点 的 常
10、 用 结 论 椭 圆 与 双 曲 线 共 焦 点 1 F ， 2 F ， 它 们 的 交 点 P 对 两 公 共 焦 点 1 F ， 2 F 的 张 角 为 1 2 2 F P F ， 椭 圆 与 双 曲 线 的 离 心 率 分 别 为 1 e ， 2 e ， 则 ( ) A 2 2 2 2 1 2 c o s s i n 1 e e B 2 2 2 2 1 2 s i n c o s 1 e e C 2 2 1 2 2 2 1 c os s i n e e D 2 2 1 2 2 2 1 s i n c os e e 解 ： 设 椭 圆 的 长 轴 长 为 1 2 a ， 双 曲 线 的 实
11、 轴 长 为 2 2 a ， P 到 两 焦 点 的 距 离 分 别 为 m ， ( 0 ) n m n ， 焦 距 为 2 c ， 由 椭 圆 的 定 义 可 得 1 2 m n a ， 由 双 曲 线 的 定 义 可 得 2 2 m n a ， 解 得 1 2 m a a ， 1 2 n a a ， 【 记 住 结 论 ， 焦 半 径 是 两 个 a 之 和 ， 和 两 个 a 之 差 】 由 余 弦 定 理 可 得 2 2 2 2 c os 2 4 m n m n c ， 则 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) c o s 2 4 a a a
12、a a a a a c ， 化 为 2 2 2 1 2 ( 1 c o s 2 ) ( 1 c o s 2 ) 2 a a c ， 可 得 2 2 2 2 1 2 2 2 1 a s i n a c os c c ， 由 1 1 c e a ， 2 2 c e a ， 可 得 2 2 2 2 1 2 1 s i n co s e e 故 选 ： B 记 住 结 论 椭 圆 与 双 曲 线 共 焦 点 1 F ， 2 F ， 它 们 的 交 点 P 对 两 公 共 焦 点 1 F ， 2 F 的 张 角 为 1 2 F PF ， 椭 圆 与 双 曲 线 的 离 心 率 分 别 为 1 e ， 2
13、 e ， 则 有 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _第 4 页 二 、 分 类 解 析 （ 一 ） 焦 半 径 1 . 设 椭 圆 2 2 1 6 2 x y 和 双 曲 线 2 2 1 3 x y 的 公 共 焦 点 为 1 F ， 2 F ， A 是 两 曲 线 的 一 个 公 共 点 ， 则 1 2 | | | | A F A F 的 值 等 于 ( ) 【 A 】 A 3 B 4 C 5 D 6 解 ： 设 椭 圆 的 长 轴 长 为 1 2 a ， 双 曲 线 的 实 轴 长 为 2 2 a ， P 到 两 焦 点 的 距 离 分 别 为 m ， ( 0 ) n
14、m n ， 焦 距 为 2 c ， 由 椭 圆 的 定 义 可 得 ， 由 双 曲 线 的 定 义 可 得 ， 解 得 ， ， 2 . 如 图 ， 1 F 、 2 F 是 椭 圆 1 C 与 双 曲 线 2 C 的 公 共 焦 点 ， A 、 B 分 别 是 1 C ， 2 C 在 第 二 四 象 限 的 交 点 ， 若 1 1 A F B F ， 且 1 3 A F O ， 则 1 C 与 2 C 离 心 率 之 积 为 ( ) A 2 B 2 3 C 2 5 D 2 6 【 解 答 】 解 ： 转 化 成 焦 点 三 角 形 ： 连 接 2 A F ， 2 B F ， 1 1 A F B
15、F ， 1 3 A F O ， 2 1 1 2 6 A F F B F F ， 则 1 A F c ， 2 3 A F c ， 在 椭 圆 中 ， 1 3 2 c c a ， 即 椭 圆 的 离 心 率 1 1 2 3 1 c e a 在 双 曲 线 中 ， 2 3 2 c c a ， 即 双 曲 线 的 离 心 率 2 2 2 3 1 c e a ， 则 1 C 与 2 C 离 心 率 之 积 为 2 2 4 4 2 3 1 2 3 1 3 1 ， 故 选 ： A 第 5 页 （ 二 ） 面 积 公 式 3 . 点 P 是 椭 圆 2 2 1 1 2 2 1 1 1 ( 0 ) x y a
16、b a b 和 双 曲 线 2 2 2 2 2 2 2 1 ( 0 x y a a b ， 2 0 ) b 的 一 个 交 点 ， 1 F ， 2 F 是 椭 圆 和 双 曲 线 的 公 共 焦 点 ， 1 2 3 F P F ， 则 1 2 b b 的 值 是 3 解 ： 设 1 2 F P F ， 设 椭 圆 的 短 半 轴 长 为 1 b ， 长 半 轴 长 为 1 a ， 双 曲 线 的 实 半 轴 长 为 2 a ， 虚 半 轴 长 为 2 b ， 由 焦 点 三 角 形 的 面 积 公 式 可 得 2 2 2 1 t an 2 t an 2 b b ， 则 2 2 1 2 3 b
17、b ， 可 得 1 2 3 b b 故 答 案 为 ： 3 4 . 已 知 椭 圆 2 2 2 1 1 6 x y a 与 双 曲 线 2 2 2 1 5 x y m 有 公 共 焦 点 1 F ， 2 F ， 且 两 条 曲 线 在 第 一 象 限 的 交 点 为 P 点 ， 则 1 2 P F F 的 面 积 为 ( ) A 1 1 2 B 2 1 2 C 4 5 D 8 5 解 ： 设 1 2 F P F ， 设 椭 圆 的 短 半 轴 长 为 1 b ， 长 半 轴 长 为 1 a ， 双 曲 线 的 实 半 轴 长 为 2 a ， 虚 半 轴 长 为 2 b ， 由 焦 点 三 角
18、形 的 面 积 公 式 可 得 2 2 2 1 t an 2 t an 2 b b ， 1 2 P F F 的 面 积 为 2 2 2 1 t an 2 t an 2 b b 4 5 故 选 ： C 第 6 页 5 . 设 椭 圆 2 2 1 : 1 1 2 8 x y C 与 双 曲 线 2 2 2 : 1 ( 0 ) C m x y m 有 公 共 的 焦 点 1 F ， 2 F ， 点 P 是 1 C 与 2 C 的 一 个 公 共 点 ， 则 1 2 c o s F P F 的 值 为 ( ) A 7 9 B 2 9 C 1 4 D 1 9 解 ： 设 1 2 F P F ， 设 椭
19、圆 的 短 半 轴 长 为 1 b ， 长 半 轴 长 为 1 a ， 双 曲 线 的 实 半 轴 长 为 2 a ， 虚 半 轴 长 为 2 b ， 1 2 7 c o s 9 F P F 故 选 ： A 记 住 结 论 椭 圆 与 双 曲 线 共 焦 点 1 F ， 2 F ， 它 们 的 交 点 P 对 两 公 共 焦 点 1 F ， 2 F 的 张 角 为 1 2 F PF ， 椭 圆 与 双 曲 线 的 离 心 率 分 别 为 1 e ， 2 e ， 则 有 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 证 明 ： 设 1 2 F P F ， 设 椭 圆 的 短 半 轴 长
20、 为 1 b ， 长 半 轴 长 为 1 a ， 双 曲 线 的 实 半 轴 长 为 2 a ， 虚 半 轴 长 为 2 b ， 由 焦 点 三 角 形 的 面 积 公 式 可 得 2 2 2 1 t an 2 t an 2 b b ， 2 2 2 2 1 2 s i n c o s 2 2 1 e e 第 7 页 （ 三 ） 离 心 率 关 系 1 求 值 6 . 有 公 共 焦 点 1 F ， 2 F 的 椭 圆 和 双 曲 线 的 离 心 率 分 别 为 1 e ， 2 e ， 点 A 为 两 曲 线 的 一 个 公 共 点 ， 且 满 足 1 2 9 0 F A F ， 则 2 2 1
21、 2 1 1 e e 的 值 为 2 【 解 答 】 2 2 1 2 1 1 2 e e 故 答 案 为 ： 2 7 . 已 知 圆 锥 曲 线 2 2 2 2 1 2 : 1 0 : 1 0 , 0 C m x ny n m C px qy p q 与 的 公 共 焦 点 为 1 F ， 2 F 点 M 为 1 C ， 2 C 的 一 个 公 共 点 ， 且 满 足 1 2 9 0 F M F ， 若 圆 锥 曲 线 1 C 的 离 心 率 为 3 4 ， 则 2 C 的 离 心 率 为 ( ) A 9 2 B 3 2 2 C 3 2 D 5 4 【 解 答 】 由 离 心 率 的 公 式
22、可 得 ， 2 2 1 2 1 1 2 e e ， 1 3 4 e ， 2 2 9 2 e ， 则 2 3 2 2 e 故 选 ： B 8 . 如 图 ， 1 F ， 2 F 是 椭 圆 2 2 1 2 2 : 1 ( 0 ) x y C m n m n 与 双 曲 线 2 2 2 2 2 : 1 ( 0 , 0 ) x y C a b a b 的 公 共 焦 点 ， 1 C ， 2 C 的 离 心 率 分 别 记 为 1 e ， 2 e A 是 1 C ， 2 C 在 第 一 象 限 的 公 共 点 ， 若 2 C 的 一 条 渐 近 线 是 线 段 1 A F 的 中 垂 线 ， 则 2
23、2 1 2 2 1 2 ( ( ) e e e e ) A 2 B 5 2 C 7 2 D 4 【 解 答 】 2 2 1 2 2 1 2 2 ( ) e e e e 故 选 ： A 第 8 页 9 . 已 知 椭 圆 和 双 曲 线 有 共 同 的 焦 点 1 F ， 2 F ， P 是 它 们 的 一 个 交 点 ， 且 1 2 2 3 F P F ， 记 椭 圆 和 双 曲 线 的 离 心 率 分 别 为 1 e ， 2 e 则 2 2 1 2 3 1 ( e e ) A 4 B 2 3 C 2 D 3 2 2 1 2 3 1 4 e e 故 选 ： A 1 0 . 已 知 1 F 、
24、2 F 是 双 曲 线 2 2 1 2 2 : 1 ( 0 , 0 ) x y C a b a b 与 椭 圆 2 2 2 : 1 2 5 9 x y C 的 公 共 焦 点 ， 点 P 是 曲 线 1 C 、 2 C 在 第 一 象 限 的 交 点 ， 若 1 2 P F F 的 面 积 为 3 6 ， 则 双 曲 线 1 C 的 离 心 率 为 ( ) A 2 1 0 5 B 1 0 3 C 3 5 5 D 5 2 【 解 答 】 解 ： 根 据 题 意 ， 设 ( , ) P m n ， 椭 圆 2 C 的 方 程 为 ： 2 2 1 2 5 9 x y ， 则 其 焦 点 为 ( 4
25、, 0 ) 和 ( 4 , 0 ) ， 则 双 曲 线 的 焦 点 1 F 、 2 F 分 别 为 ( 4 , 0 ) 和 ( 4 , 0 ) ， 则 有 2 1 2 | | 8 c F F ， 若 1 2 P F F 的 面 积 为 3 6 ， 则 可 以 求 根 据 离 心 率 关 系 e 则 双 曲 线 1 C 的 离 心 率 4 2 1 0 5 1 0 c e a ； 故 选 ： A 1 1 . 已 知 1 F ， 2 F 是 椭 圆 和 双 曲 线 的 公 共 焦 点 ， P 是 它 们 的 一 个 公 共 点 ， 1 e ， 2 e 分 别 为 椭 圆 和 双 曲 线 的 离 心
26、率 若 满 足 2 2 1 2 2 3 2 3 4 e e ， 则 1 2 P F F 是 3 0 第 9 页 1 2 . 若 椭 圆 2 2 1 1 2 2 1 1 1 ( 0 ) x y a b a b 与 双 曲 线 2 2 2 2 2 2 2 1 ( 0 x y a a b ， 2 0 ) b 有 公 共 的 焦 点 1 F ， 2 F ， 点 P 是 两 条 曲 线 的 交 点 ， 1 2 3 F P F ， 椭 圆 的 离 心 率 为 1 e ， 双 曲 线 的 离 心 率 为 2 e ， 且 1 2 1 e e ， 则 1 ( e ) A 1 3 B 3 3 C 1 2 D 2
27、2 【 解 答 】 2 2 1 2 1 3 4 e e ， 由 1 2 1 e e ， 即 2 1 1 e e ， 得 ： 2 1 2 1 1 3 4 e e ， 解 得 ： 2 1 1 e （ 舍 ) ， 或 2 1 1 3 e ， 即 1 3 3 e 故 选 ： B 2 均 值 不 等 式 1 3 . 已 知 椭 圆 2 2 2 2 1 ( 0 ) x y a b a b 与 双 曲 线 2 2 2 2 1 ( 0 , 0 ) x y m n m n 有 共 同 的 焦 点 1 F ， 2 F ， 且 在 第 一 象 限 内 相 交 于 点 P ， 椭 圆 与 双 曲 线 的 离 心 率
28、分 别 为 1 e ， 2 e 若 1 2 3 F P F ， 则 1 2 e e 的 最 小 值 是 ( ) A 1 2 B 2 2 C 3 2 D 3 2 【 解 答 】 即 为 2 2 1 2 1 3 4 e e ， 由 2 2 2 2 1 2 1 2 1 3 3 2 e e e e ， 可 得 1 2 3 2 e e ， 当 且 仅 当 2 1 3 e e 时 ， 取 得 最 小 值 3 2 ， 故 选 ： C 1 4 . 已 知 椭 圆 2 2 1 2 : 1 ( 1 ) x C y m m 与 双 曲 线 2 2 2 2 : 1 ( 0 ) x C y n n 的 焦 点 重 合
29、， 1 e ， 2 e 分 别 为 1 C ， 2 C 的 离 心 率 ， 则 ( ) A m n 且 1 2 1 e e B m n 且 1 2 1 e e C m n 且 1 2 1 e e D m n 且 1 2 1 e e 第 1 0 页 【 解 答 】 解 ： 由 a , b , c 关 系 , 可 得 2 2 1 1 m n ， 即 2 2 2 m n ， 又 1 m ， 0 n ， 则 m n ， 解 ： 设 1 2 F P F ， 设 椭 圆 的 短 半 轴 长 为 1 b ， 长 半 轴 长 为 1 a ， 双 曲 线 的 实 半 轴 长 为 2 a ， 虚 半 轴 长 为
30、2 b ， 由 焦 点 三 角 形 的 面 积 公 式 可 得 2 2 2 1 t an 2 t an 2 b b ， 2 2 1 2 1 1 2 e e ， 则 1 2 1 e e 故 选 ： A 1 5 . 已 知 椭 圆 和 双 曲 线 有 共 同 焦 点 1 F ， 2 F ， P 是 它 们 的 一 个 交 点 ， 1 2 6 0 F P F ， 记 椭 圆 和 双 曲 线 的 离 心 率 分 别 1 e ， 2 e ， 则 2 2 1 2 e e 的 最 小 值 是 ( ) A 3 1 2 B 3 2 C 2 3 3 D 3 【 解 答 】 2 2 1 2 1 3 4 e e ，
31、2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 3 1 1 3 1 1 3 ( ) ( ) ( 4 ) ( 4 2 3 ) 1 4 4 4 2 e e e e e e e e e e ， 当 且 仅 当 2 1 3 e e 时 ， 取 等 号 则 2 2 1 2 e e 的 最 小 值 是 ： 3 1 2 故 选 ： A 1 6 . 已 知 1 F ， 2 F 是 椭 圆 和 双 曲 线 的 公 共 焦 点 ， 点 P 是 它 们 的 一 个 公 共 点 ， 且 1 2 6 0 F P F ， 设 椭 圆 和 双 曲 线 的 离 心 率 分 别 为 1 e 、
32、2 e ， 则 1 2 1 1 e e 的 最 大 值 为 ( ) A 3 4 B 4 3 C 3 3 4 D 4 3 3第 1 1 页 【 本 题 推 导 一 下 离 心 率 关 系 : 】 解 ： 设 椭 圆 方 程 是 2 2 2 2 1 1 1 x y a b ， 双 曲 线 方 程 是 2 2 2 2 2 2 1 x y a b ， 由 定 义 可 得 1 2 1 | | | | 2 PF PF a ， 1 2 2 | | | | 2 P F P F a ， 1 1 2 | | P F a a ， 2 1 2 | | P F a a ， 在 1 2 F P F 中 由 余 弦 定 理
33、 可 得 ， 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( 2 ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) c o s 6 0 c a a a a a a a a ， 即 2 2 2 1 2 4 3 c a a ， 2 2 1 2 1 3 4 e e ， 由 柯 西 不 等 式 得 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 3 1 1 3 1 1 ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) 3 3 e e e e e e ， 即 2 1 2 1 1 4 16 ( ) 4 3 3 e e ， 即 1 2 1 1 4 3 3 e e ， 当 且 仅 当 1 3 3 e ， 2 3 e 时 取 等
34、号 故 选 ： D 第 1 2 页 3 范 围 1 7 . 已 知 点 1 F ， 2 F 分 别 是 椭 圆 1 C 和 双 曲 线 2 C 的 公 共 焦 点 ， 1 e ， 2 e 分 别 是 1 C 和 2 C 的 离 心 率 ， 点 P 为 1 C 和 2 C 的 一 个 公 共 点 ， 且 1 2 2 3 F P F ， 若 2 ( 2 , 7 ) e ， 则 1 e 的 取 值 范 围 是 ( ) A 5 2 ( , ) 5 3 B 2 2 5 ( , ) 3 5 C 5 7 ( , ) 5 3 D 7 2 5 ( , ) 3 5 【 解 答 】 由 1 1 c e a ， 2
35、2 c e a ， 得 2 2 1 2 3 1 4 e e ， 2 2 1 2 3 1 4 e e ， 2 ( 2 , 7 ) e ， 2 2 1 1 1 ( , ) 7 4 e ， 则 2 1 3 1 5 ( 4 e ， 2 7 ) 7 ， 2 1 1 5 ( 4 e ， 9 ) 7 ， 2 1 7 ( 9 e ， 4 ) 5 ， 又 1 ( 0 , 1 ) e ， 1 7 ( 3 e ， 2 5 ) 5 故 选 ： D 1 8 . 已 知 1 F ， 2 F 是 椭 圆 和 双 曲 线 的 公 共 焦 点 ， P 是 它 们 的 一 个 公 共 点 ， 且 1 2 2 3 F P F ，
36、则 椭 圆 和 双 曲 线 的 离 心 率 之 积 的 范 围 是 ( ) A ( 1 , ) B ( 0 , 1 ) C ( 0 , 2 ) D ( 2 ， ) 【 解 答 】 有 结 论 2 2 1 2 3 1 4 e e ， 则 2 2 1 2 1 2 3 1 3 1 4 2 e e e e ， 所 以 1 2 3 2 e e ， 等 号 在 2 2 2 1 2 2 1 2 3 1 3 e e e e 因 为 椭 圆 离 心 率 小 于 双 曲 线 的 离 心 率 ， 所 以 2 2 2 1 3 e e ， 所 以 它 的 最 小 值 不 能 取 到 。 又 因 为 1 2 F P F
37、是 钝 角 ， 所 以 2 2 2 1 2 1 2 ( ) ( ) 4 a a a a c ， 即 2 2 2 1 2 2 a a c ， 所 以 2 2 1 2 1 1 2 e e ， 即 1 2 1 2 2 e e ， 所 以 1 2 1 e e ，第 1 3 页 即 椭 圆 和 双 曲 线 的 离 心 率 乘 积 的 范 围 是 ( 1 , ) 故 选 ： A 当 然 本 题 我 们 也 可 以 使 用 代 入 消 元 法 ， 求 范 围 我 们 可 以 带 入 消 元 之 后 直 接 求 离 心 率 的 乘 积 不 好 ， 求 我 们 可 以 求 2 2 2 2 1 2 1 1 1 (
38、 1 1 3 4) e e e e ， 然 后 再 代 入 消 元 ， 然 后 转 化 成 二 次 函 数 。 （ 四 ） 其 他 题 目 1 9 . 已 知 中 心 在 原 点 的 椭 圆 与 双 曲 线 有 公 共 焦 点 ， 左 、 右 焦 点 分 别 为 1 F 、 2 F ， 且 两 条 曲 线 在 第 一 象 限 的 交 点 为 P ， 1 2 P F F 是 以 1 P F 为 底 边 的 等 腰 三 角 形 若 1 | | 8 P F ， 椭 圆 与 双 曲 线 的 离 心 率 分 别 为 1 e 、 2 e ， 则 1 2 1 e e 的 取 值 范 围 是 ( ) A 1
39、( 0 , ) 2 B 1 4 ( , ) 2 3 C 4 ( , 2) 3 D 1 ( , ) 2 【 解 答 】 解 ： 设 椭 圆 和 双 曲 线 的 半 焦 距 为 c ， 1 | | P F m ， 2 | | P F n ， ( ) m n ， 由 于 1 2 P F F 是 以 1 P F 为 底 边 的 等 腰 三 角 形 若 1 | | 8 P F ， 即 有 8 m ， 2 n c ， 由 椭 圆 的 定 义 可 得 1 2 m n a ， 由 双 曲 线 的 定 义 可 得 2 2 m n a ， 即 有 1 4 a c ， 2 4 a c ， ( 4 ) c ， 再 由
40、 三 角 形 的 两 边 之 和 大 于 第 三 边 ， 可 得 2 2 4 8 c c c ， 则 2 c ， 即 有 2 4 c 由 离 心 率 公 式 可 得 2 1 2 1 1 4 16 4 ( 4 ) a c c c e e a c c c c c ， 由 2 4 c 可 得 ( 4 ) c c 的 范 围 是 ( 12 , 32) ， 即 有 1 2 1 e e 的 范 围 是 1 ( 2 ， 4 ) 3 故 选 ： B 第 1 4 页 2 0 . 已 知 中 心 在 坐 标 原 点 的 椭 圆 1 C 与 双 曲 线 2 C 有 公 共 焦 点 ， 且 左 ， 右 焦 点 分 别
41、 为 1 F ， 2 F ， 1 C 与 2 C 在 第 一 象 限 的 交 点 为 P ， 1 2 P F F 是 以 1 P F 为 底 边 的 等 腰 三 角 形 ， 若 1 | | 1 0 P F ， 1 C 与 2 C 的 离 心 率 分 别 为 1 e ， 2 e ， 则 1 2 2e e 的 取 值 范 围 是 ( ) A 1 2 ( 2 ， ) B 5 ( 3 ， ) C ( 1 , ) D 5 ( 6 ， ) 【 解 答 】 解 ： 设 椭 圆 和 双 曲 线 的 半 焦 距 为 c ， 1 | | P F m ， 2 | | P F n ， ( ) m n ， 由 于 1
42、2 P F F 是 以 1 P F 为 底 边 的 等 腰 三 角 形 若 1 | | 1 0 P F ， 即 有 1 0 m ， 2 n c ， 由 椭 圆 的 定 义 可 得 1 2 m n a ， 由 双 曲 线 的 定 义 可 得 2 2 m n a ， 即 有 1 5 a c ， 2 5 a c ， ( 5 ) c ， 再 由 三 角 形 的 两 边 之 和 大 于 第 三 边 ， 可 得 2 2 1 0 c c ， 可 得 5 2 c ， 即 有 5 5 2 c 由 离 心 率 公 式 可 得 1 2 1 2 2 2 2( 5 ) 10 5 5 10 5 2 1 2 1 1 5 ( ) 5 5 5 5 5 5 5 5 c c c c c c e e a a c c c c c c c c ， 设 f （ c ） 2 1 1 5 ( ) 5 5 c c ， 可 知 函 数 在 5 ( 2 ， 5 ) 为 增 函 数 ， 且 当 5 c 时 ， f （ c ） ， 5 5 ( ) ( ) 2 3 f x f ， 故 1 2 2e e 的 取 值 范 围 是 5 ( 3 ， ) ， 故 选 ： B
