1、3.3 圆周角与圆心角的关系练习三一、选择题1圆周角是 24，则它所对的弧是_ A12；B24；C 36；D482在O 中，AOB =84，则弦 AB 所对的圆周角是 _ A42；B138；C 84；D42或 1383如图，圆内接四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 把四边形的四个角分成八个角，这八个角中相等的角的对数至少有_ A1 对；B2 对；C 3 对；D4 对4如图，AC 是O 的直径，AB，CD 是O 的两条弦，且 ABCD如果BAC =32，则AOD =_ A16；B32；C 48；D64二、计算题角形外接圆半径长及各锐角的正切值6如图，AD 是ABC 外接圆的直径，AD=6cm
2、， DAC= ABC求 AC的长7已知：DBC 和等边ABC 都内接于O，BC=a，BCD=75（如图）求 BD 的长8如图，半圆的直径 AB=13cm，C 是半圆上一点， CDAB 于 D，并且CD=6cm求 AD 的长9如图，圆内接ABC 的外角MAB 的平分线交圆于 E，EC=8cm 求BE 的长10已知：如图，AD 平分BAC，DEAC，且 AB=a求 DE 的长11如图，在O 中，F，G 是直径 AB 上的两点， C，CFA= DFB ，DGA =EGB求FDG 的大小12如图，O 的内接正方形 ABCD 边长为 1，P 为圆周上与A，B，C ，D 不重合的任意点求 PA2PB 2P
3、C 2PD 2 的值13如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，BAD =135，以 A 为圆心，AB为半径作A 交 AD，BC 于 E，F 两14如图，O 的半径为 R，弦 AB=a，弦 BCOA，求 AC 的长15如图，在ABC 中，BAC，ABC，BCA 的平分线交ABC 的外接圆于 D，E 和 F，如果 ， ， 分别为 m，n，p，求ABC 的三个内角16如图，在O 中，BC，DF 为直径，A，E 为O 上的点，AB=AC，EF= DF求 ABD+CBE 的值2117如图，等腰三角形 ABC 的顶角为 50，AB=AC ，以数18如图，AB 是O 的直径， AB=2cm，点 C 在圆周上
4、，且BAC=30，ABD=120，CDBD 于 D求 BD 的长19如图，ABC 中，B=60 ，AC=3cm ，O 为ABC 的外接圆求O 的半径20以ABC 的 BC 边为直径的半圆，交 AB 于 D，交 AC 于 E，EFBC于 F， AB=8cm，AE=2cm ，BFFC=51（如图）求 CE 的长21已知等腰三角形的腰长为 13cm，底边长为 10cm，求它的外接圆半径22如图，ABC 中，AD 是BAC 的平分线，延长 AD 交ABC 的外接圆于 E，已知 AB=a，BD=b ，BE =c求 AE 的长23如图，ABC 中，AD 是BAC 的平分线，延长 AD 交ABC 的外接圆于
5、 E，已知 AB=6cm，BD=2cm，BE=24cm 求 DE 的长24如图，梯形 ABCD 内接于O，ABCD， 的度数为 60，B =105，O 的半径为 6cm求 BC 的长25已知：如图，AB 是O 的直径，AB =4cm，E 为 OB 的中点，弦CDAB 于 E求 CD 的长26如图，AB 为O 的直径， E 为 OB 的中点，CD 为过 E 点并垂直 AB的弦求ACE 的度数27已知：如图，在ABC 中，C=90，A=38，以 C 为圆心，BC为半径作圆，交 AB 于 D，求 的度数28如图，ABC 内接于圆 O，AD 为 BC 边上的高若AB=4cm，AC =3cm，AD=25
6、cm，求O 的半径29设O 的半径为 1，直径 AB直径 CD，E 是 OB 的中点，弦 CF 过 E点（如图），求 EF 的长30如图，在O 中直径 AB，CD 互相垂直，弦 CH 交 AB 于 K，且AB=10cm，CH=8cm 求 BKAK 的值31如图，O 的半径为 40cm，CD 是弦，A 为 的中点，弦 AB 交 CD于 F若 AF=20cm，BF=40cm ，求 O 点到弦 CD 的弦心距32如图，四边形 ABCD 内接于以 AD 为直径的圆 O，且AD=4cm，AB= CB=1cm，求 CD 的长三、证明题33如图，已知ABC 内接于半径为 R 的O，A 为锐角求证： =2RA
7、BCsin34已知：如图，在ABC 中，AD，BD 分别平分BAC 和ABC，延长AD 交 ABC 的外接圆于 E，连接 BE求证：BE=DE35如图，已知 D 为等边三角形 ABC 外接圆上的 上的一点，AD 交 BC边于 E求证：AB 为 AD 和 AE 的比例中项36已知：如图，在ABC 中，AB= AC，以 AB 为直径的圆交 BC 于D求证：D 为 BC 的中点37已知：如图，O 是ABC 的外接圆，ADBC 于 D，AE 平分BAC交O 于 E求证：AE 平分 OA D38已知：如图，ABC 的 AB 边是O 的直径，另两边 BC 和 AC 分别交O 于 D，E 两点，DF AB，
8、交 AB 于 F，交 BE 于 G，交 AC 的延长线于 H求证：DF 2=HFGF39已知：如图，圆内接四边形 ABCD 中，BC=CD求证：ABAD+BC2=AC240已知：如图，AB 是半圆的直径，AC 是一条弦， D 是 中点，DEAB 于 E，交 AC 于 F，DB 交 AC 于 G求证：AF=FG41如图，AB 是O 的弦， P 是 AB 所对优弧上一点，直径 CDAB，PB交 CD 于 E，延长 AP 交 CD 的延长线于 F求证：EPFEOA42已知：如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于 E，M 为 上一点，AM 的延长线交 DC 于 F求证： AMD =FMC43已知：
9、如图，AB，AC 分别为O 的直径与弦，CD AB 于 D，E 为O 外一点，且 AE=AC， BE 交O 于 F，连结 ED，CF求证：ACF =AE D44如图，O 的半径 OD，OE 分别垂直于弦 AB 和 AC，连结 DE 交AB，AC 于 F，G求证： AF2=AG2=DFGE45如图，ABC 内接于圆，D 是 AB 上一点，AD=AC，E 是 AC 延长线上一点，AE=AB ，连接 DE 交圆于 F，延长 ED 交圆于 G求证：AF=AG46已知：如图，O 的两条直径 ABCD，E 是 OD 的中点，连结 AE，并延长交O 于 M，连结 CM，交 AB 于 F求证： OB=3OF4
10、7已知：如图，ABC 是等边三角形，以 AC 为直径作圆交 BC 于 D，作 DE AC 交圆于 E（1）求证：ADE 是等边三角形；（2）求 SABCS ADE48已知：如图，半径都是 5cm 的两等圆O 1和O 2相交于点 A，B ，过A 作 O1的直径 AC 与O 2交于点 D，且 ADDC=32，E 为 DC 的中点（1）求证：ACBE；（2）求 AB 的长49如图，已知在直角三角形 ABC 中，C=90，CD AB，AD 是O的直径，且 D 点在 AB 上参考答案一、选择题1D 2D 3D 4D二、计算题DE直线 OB 于 E，DOE=30，应用勾股定理求出 BD 的长89 cm 或
11、 4 cm提示：连接 AC，B C由 AB 为直径可知ACB =90又 CDAB 于 D，所以 CD2=ADBD，即CD2=AD（AB AD ）又 AB=13，CD=6 ，所以 36=AD（13AD），AD213 AD+36=0，解出 AD=9（cm）或 AD=4（cm）1150提示：延长 DF，DG 分别交O 于 C，E ，因为CFA =DFB ，DGA =EGB，所以CFA = CFA，EGB=E GB因为AB 为O 的直径，所以根据轴对称图形的性质可知为 100，就有FDG=50 又因为DAB =ABC=90所以 AC 和 BD 为 O 的直径所以APC与BPD 为直角三角形所以 PA2
12、+ PC2= AC2， PB2+PD2=BD2，就有PA2+PB2+PC2+PD2=AC2+BD2=4知 BC/AD所以 AC=BD又 AD 为直径，所以 ABD=90在 RtABD中，AD =2R，AB =a，所以15提示：根据圆周角度量定理有：（A+B ）的度数 =m，（B+C ）的度数 =n，（C+A）的度数=p 由前面三个等式得：1675提示：由 BC，DF 分别为O 的直径，可得A= DEF=90又 AB=AC，所以ABC=45 在 RtDEF 中，由 EF=是 240，DBE =120所以ABD+CBE=12045=751750，50，80提示：连接 AD，则 AD 平分A 于 D
13、，则 AD=CD，AOD=DOC由B=60可得OAD =30所解法二 过 A 作直径 AD，连接 CD，则ACD=90，ADC= ABC=60；又知 AC=3，这就容易求出 AD=90，所以 BE2=AB2AE 2=822 2=60又因为 BFFC =51，故设BF=5x，FC=x，则 BC=6x因为 EFBC，所以 BE2=BFBC，解法二 连接 BE，则 BEAC，所以 BE2=822 2=60在直角三角形 BCE 中ABC 外接圆于 E，连接 CE，则 ADBC，BD= CD=5由垂径定理知：AE为ABC 外接圆的直径，所以ACE=90 在 RtADC 中，AD=230.8 cm提示：只
14、需证明ABE BDECE2660提示：连接 OC，BC只需证明OCB 为等边三角形，则ABC=60，而ACB =90，所以CAB =30，即可求出ACE =602776提示：延长 BC 交C 于 E，连接 DE，只需证明282.4 cm提示：连接 AO 并延长交O 于 E，则 AE 为O4.8所以O 的半径为 2.4（cm）3071提示：连接 HD只需证明CKO CDH所以3125 cm提示：连接 AO 并延长交O 于 E，则 AE 为OCD，OM 就是 CD 的弦心距只需证明AMF ABE，由此得323.5cm提示：解法一 连接 OB 交弦 AC 于 G连接 BD只需证明ABGDAB由此求出
15、 AG，进而求出 OG，而 CD=2OG解法二 设 AB 的延长线与 DC 的延长线相交于点 E，在BCE 和OAB 中，BCE=OAB，EBC= D=2ADB=BOA 所以BCEOAB ，从而 BCCE= OAAB所以 CE=三、证明题33提示：作直径 BD，连接 CD，则BCD=90 ，且A =D在34提示：只需证明BDE= DBE证明时利用三角形外角定理及圆周角定理的推论35提示：连接 BD只需证明ABE ADB36提示：连接 AD37提示：证法一 延长 AO 交O 于 M，延长 AD 交O 于 N连证法二 过 A 作直径 AM，连接 MB，则AMB=ACB，又ABM =ADC =直角，
16、所以BAM= DAC，从而 AE 平分OADGF=BFAF再根据射影定理得 DF2=AFFB，所以DF2=HFGF39提示：连接 BD 交 AC 于 E只需证明BECABCACAE=AC（ACEC）= AC2ACEC40提示：连接 AD由 AB 为直径得ADB =90再由 DEADE，AF=DF这就容易证出 AF=FG41提示：AEO =（BEO）=FEP， OAE=（AOC AEO =APBFEP ）=F42提示：连接 MB因为 AB 是O 的直径，所以AMB=从而AMD=FMC43提示：连接 BC因为 AB 为O 直径，所以ACB=90因为CDAB 于 D，所以 AC2=ADAB又因为 A
17、E=AC，所以ADE，就有 AED =ABE= ACF44提示：连接 AD，AE，应用三角形外角定理，先证明AFG=AFAG=DFGE，就有 AF2=AG2=DFGE45提示：先证明ABCAED，连接 BF，则G= ADF GAB= ACBGFB =AFG，所以 AF=AG46提示：设O 的半径长为 1连接 MD显然CAEOF47（1）提示：在ADE 中，ADE =60，DEA=DCA=60所以ADE 是一个等边三角形48（1）提示：连接 BD，BC因为O 1与O 2是等圆，又因为 E 为 DC 中点，所以 BEAC所以 AD=6，DC=4 ，所以 DE=2，AE=8 因为 AC 为O 1直径，所以ABC =90，又因为 BEAC，所以 AB2=AEAC=80，得出 AB=49（1）提示：连接 ED因为 AD 为直径，所以AED=90又ACB=90，CDAB ，所以 AC2=ADAB，BC 2=ABBD，由此（2）21提示：AECE= AD2CD 2=21
