1、1山东省菏泽第一中学老校区 2018-2019 学年高二数学上学期期末模拟试题一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）设命题 p： x0， x lnx0，则 p 为（ ）A x0， x lnx0 B x0， x lnx0C x00， x0 lnx00 D x00， x0 lnx002 （5 分）对于常数 m、 n， “mn0”是“方程 mx2 ny21 的曲线是双曲线的” （ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3 （5 分）以正方体 ABCD A1B1C1D1的顶
2、点 D 为坐标原点 O，如图，建立空间直角坐标系，则与 共线的向量的坐标可以是（ ）A B C D4 （5 分）设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 2a1+a139，则 S9（ ）A27 B27 C54 D545 （5 分）过点（2，2）且与双曲线 y21 有公共渐近线的双曲线方程是（ ）A 1 B 1C 1 D 16 （5 分）下列函数中，最小值为 4 的是（ ）A ylog 3x+4logx3 B y ex+4e xC ysin x+ （0 x ） D y x+27 （5 分）直三棱柱 ABC A1B1C1中， BCA90， M， N 分别是 A1B1， A1C1的中点，BC C
3、A CC1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为（ ）A B C D8 （5 分）已知等比数列 an中， a22，则其前三项和 S3的取值范围是（ ）A （，2 B （，0）（1，+）C6，+） D （，26，+）9 （5 分）60的二面角的棱上有 A， B 两点，直线 AC， BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 AB，已知 AB4， AC6， BD8，则 CD 的长为（ ）A B C D10 （5 分）设 an为等差数列，若 ，且它的前 n 项和 Sn有最小值，那么当 Sn取得最小正值时的 n 值为（ ）A18 B19 C20 D2111 （5 分）已知 F1， F2分别是椭圆
4、 + 1 的左、右焦点， P 是以 F1F 为直径的圆与该椭圆的一个交点，且 PF1F22 PF2F1，则这个椭圆的离心率是（ ）A 1 B2 C D12 （5 分）设数列 an的前 n 项和 Sn，若 + + + 4 n4，且 an0，则 S100等于（ ）A5048 B5050 C10098 D10100二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）已知命题 p： x2+2x30，命题 q： x a，若 q 是 p 的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是 14 （5 分）如图，正四面体 ABCD 的棱长为 1，点 E 是棱 CD 的中点，则 =_315
5、（5 分）已知正项等比数列 an的公比为 2，若 ，则 的最小值等于 16 （5 分）已知 M 是抛物线 x24 y 上一点， F 为其焦点，点 A 在圆C：（ x+1） 2+（ y6） 21 上，则| MA|+|MF|的最小值是 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （10 分）已知向量 =（1，0，1） ， =（0，1，1） ，向量 k 与 垂直，k 为实数（I）求实数 k 的值；（II）记 =k ，求向量 与 的夹角18 （12 分）已知数列 an是等比数列，首项 a11，公比 q0，其前 n 项和为 Sn，且S1+a1， S3+a
6、3， S2+a2成等差数列（1）求数列 an的通项公式；（2）若数列 bn满足 ，求数列 bn的前 n 项和 Tn19 （12 分）设 p：集合 A=x|x2（3a+1）x+2a（a+1）0，q：集合 B=x| 0 （I）求集合 A；（II）当 a1 时，p 是 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围20 （12 分）如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，侧面 PAD 为正三角形，且平面PAD平面 ABCD， E 为 PD 中点， AD2（）求证：平面 AEC平面 PCD（）若二面角 A PC E 的平面角大小 满足 cos ，求四棱锥 P ABCD 的体积421 （1
7、2 分）近年来，某地雾霾污染指数达到重度污染级别经环保部门调查，该地工厂废气排放污染是形成雾霾的主要原因某科研单位进行了科技攻关，将工业废气中的某些成分转化为一中可利用的化工产品已知该项目每年投入资金 3000 万元，设每年处理工厂废气量为 x 万升，每万升工厂废气处理后得到可利用的化工产品价值为 c（x）万元，其中c（x）= 设该单位的年利润为 f（x） （万元） （I）求年利润 f（x） （万元）关于处理量 x（万升）的函数表达式；（II）该单位年处理工厂废气量为多少万升时，所获得的利润最大，并求出最大利润？22 （12 分）已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，长轴长为 ，离
8、心率为 ，经过其左焦点 F1的直线 l 交椭圆 C 于 P、 Q 两点（ I）求椭圆 C 的方程；（ II）在 x 轴上是否存在一点 M，使得 恒为常数？若存在，求出 M 点的坐标和这个常数；若不存在，说明理由5老校区高二下学期 1 月份月考数学试题参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“ x0， x lnx0”的否定是 x0， x lnx0故选： D2、解：若方程 mx2 ny21 的曲线是双曲线，则 mn0，即“ mn0”是“方程 mx2 ny21
9、的曲线是双曲线”的充要条件，故选： C3、解：由图形可知， B1点在正方体的上底面上，设正方体的棱长为：1， B1点的坐标是（1，1，1）则与 共线的向量的坐标可以是 故选： C4解：等差数列 an的前 n 项和为Sn，2 a1+a139，3 a1+12d9， a1+4d3， S9 9（ a1+4d）27故选： A5解：设所求双曲线方程为 y2 ，把（2，2）代入方程 y2 ，解得 2由此可求得所求双曲线的方程为 故选： A6、 B7解：直三棱柱 ABC A1B1C1中， BCA90， M， N 分别是 A1B1， A1C1的中点，如图： BC 的中点为 O，连结 ON， ，则 MN0B 是平
10、行四边形， BM 与 AN 所成角就是 ANO， BC CA CC1，设 BC CA CC12， CO1， AO ， AN ， MB ，在 ANO 中，由余弦定理可得： cos ANO 故选： C68解：等比数列 an中， a22，其前三项和 S3 ，当 q0 时， S3 2+2 6；当 q0 时， S3 22 24 2其前三项和 S3的取值范围是（，26，+） 故选： D9解：60的二面角的棱上有 A， B 两点，直线 AC， BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 AB， ， AB4， AC6， BD8， 2（ ） 2 +2 36+16+64+268cos12068 CD 的长为
11、| |2 故选： B10解： Sn有最小值， d0，故可得 a10 a11，又 ：S2010（ a1+a20）10（ a10+a11）0， S1919 a100， S20为最小正值，故选： C11解： P 是以 F1F2为直径的圆与该椭圆的一个交点， PF1F2为直角三角形，且 P90， PF1F22 PF2F1， PF1F260， F1F22 c， PF1 c， PF2 c，由椭圆的定义知， PF1+PF2 c+ c2 a，即 1离心率为 1故选： A712解：当 n1 时， 0，则 a10当 n2 时， + + + + 4 n4，+ + + 4 n8，由得到： 4， an0， an2 n，
12、数列 an是等差数列，公差是 2，综上所述， an ， S100 a1+a2+a3+a1000+ （1001）10098故选： C13解：由 x2+2x30 得 x1 或 x3，若 q 是 p 的充分不必要条件， q： x a， a1，即实数 a 的取值范围是1，+） ，故答案为：1，+） 14、解：正四面体 ABCD 的棱长为 1，点 E 是棱 CD 的中点， = （ + ）= + = 11 + 11 = ，15、解：正项等比数列 an的公比为 2，若 ，可得（ a12m1 ） （ a12n1 ）4（2 a1） 2，即有 m1+ n14，则 m+n6，可得 （ m+n） （ ） （2+ +
13、+ ） （ +2 ） 当且仅当 m2 n4 时取得等号，则 的最小值为 故答案为： 16解：抛物线 x24 y 的焦点 F（0，1） ，准线方程为 y1，8如图所示：利用抛物线的定义知：| MP| MF|，当 A， M， P 三点共线时，| MA|+|MF|的值最小即 CM x 轴，此时| MA|+|MF| AP| CP|1716，故答案为：617、解：（） ； ； 与 垂直； ；k=2；（）由（） ， ； ， ；记向量 与 的夹角为 ，则：；0； 18解：（1）因为 S1+a1， S3+a3， S2+a2成等差数列，所以 2（ S3+a3）（ S1+a1）+（ S2+a2） ，所以（ S3
14、S1）+（ S3 S2）+2 a3 a1+a2，所以 4a3 a1，因为数列 an是等比数列，所以 ，又 q0，所以 ，所以数列 an的通项公式 （2）由（1）知 ， ，所以 ，2 0+21+22+2n1 n2n， 故 19、解：（）由 x2（3a+1）x+2a（a+1）0 得（x2a）x（a+1）0，9若 2aa+1，即 a1 时，2axa+1，此时 A=（2a，a+1） ，若 2a=a+1，即 a=1 时，不等式无解，此时 A=，若 2aa+1，即 a1 时，a+1x2a，此时 A=（a+1，2a） 综上：略（）由（）知，当 a1 时，A=（2a，a+1） ，B=x| 0=x|1x3=（1
15、，3） ，p 是 q 的充分不必要条件，即 AB，则 ，即 ，则 a2，a1， a1，则实数 a 的取值范围是 ，1） 20 （）证明：取 AD 中点为 O， BC 中点为 F，由侧面 PAD 为正三角形，且平面 PAD平面 ABCD，得 PO平面 ABCD，故 FO PO，又 FO AD，则 FO平面 PAD， FO AE，又 CD FO，则 CD AE，又 E 是 PD 中点，则 AE PD，由线面垂直的判定定理知 AE平面 PCD，又 AE 平面 AEC，故平面 AEC平面 PCD；（）解：如图所示，建立空间直角坐标系 O xyz，令 AB a，则 P（0，0， ） ， A（1，0，0）
16、 ， C（1， a，0） 由（）知 （ ）为平面 PCE 的法向量，令 （1， y， z）为平面 PAC 的法向量，由于 （1，0， ） ， （2， a，0）均与 垂直， ，解得 ，则 ，由 cos | | ，解得 a 故四棱锥 P ABCD 的体积 V SABCDPO 2 21021、解：（I）0x50 时，f（x）=xc（x）3000=3x 2+192x2980，x50 时，f（x）=xc（x）3000= 2x+640，f（x）= ；（II）0x50 时，f（x）=xc（x）3000=3x 2+192x2980，x=32 时，f（x） max=f（32）=92；x50 时，f（x）=xc（
17、x）3000= 2x+640=640（2x+ ）400，当且仅当 2x= ，即 x=60 时，f（x） max=f（60）=400，40092，该单位年处理工厂废气量为 60 万升时，所获得的利润最大，最大利润为 400 万元22、解：（ I）设椭圆 C 的方程为 由题意，得 ，解得 ，所以 b22 （3 分）所求的椭圆方程为 （4 分）（ II）由（ I）知 F1（1，0） 假设在 x 轴上存在一点 M（ t，0） ，使得 恒为常数当直线 l 与 x 轴不垂直时，设其方程为 y k（ x+1） ， P（ x1， y1） 、 Q（ x2， y2） 由 得（2+3 k2） x2+6k2x+（3 k26）011所以 ， （6 分）（ x1 t） （ x2 t） +y1y2（ x1 t） （ x2 t）+ k2（ x1+1） （ x2+1）（ k2+1） x1x2+（ k2 t） （ x1+x2）+ k2+t2 因为 是与 k 无关的常数，从而有 ，即 （9 分）此时 （10 分）当直线 l 与 x 轴垂直时，此时点 P、 Q 的坐标分别为 ，当 时，亦有 （11 分）综上，在 x 轴上存在定点 ，使得恒为常数，且这个常数为 （12 分）
