1、燕山 2014 期末 1 定义：把一个半圆与抛物线的一部分合成封闭图形，我们把这个封闭图形称为“蛋圆”如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线如图，A，B，C ，D 分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点 D 的坐标为（0,8），AB 为半圆的直径，半圆的圆心 M 的坐标为（1,0），半圆半径为 3（1）请你直接写出“蛋圆”抛物线部分的解析式 ，y自变量的取值范围是 ；（2）请你求出过点 C 的“蛋圆 ”切线与 x 轴的交点坐标；（3）求经过点 D 的“蛋圆” 切线的解析式.解：（1）“蛋圆”抛物线部分的解析式为 ， 2 分 82xy自变量的取值范围是 ； 3 分 42
2、x（2）如图，连接 ，设过点 C 的“蛋圆”切线与 x 轴的交点为 ME 4 分 EC ，O在 中， ， ，Rt13 ， 2225 分 ，CME ， O2 8点 的坐标为（-8.，0） 6 分 （3）设过点 ，“蛋圆”切线的解析式为 )8,(D)0(8kxy由题意得，方程组 只有一组解， 7 分.2,8xyk即 有两个相等实根， 28xk 2k过点 “蛋圆”切线的解析式为 8 分D8xyODyxMCBAEODyxMCBA2 在平面直角坐标系 xOy 中，过C 上一点 P 作 C 的切线 l,当入射光线照射在点 P 处时，产生反射，且满足：反射光线与切线 l 的夹角和入射光线与切线 l 的夹角相
3、等，点 P 称为反射点。规定：光线不能“穿过” C，即当入射光线在C 外时，只在圆外进行反射；当入射光线在C 内时，只在圆内进行反射。特别地，圆的切线不能作为入射光线和反射光线。光线在C 外反射的示意图如图 1 所示，其中 1=2. （1）自C 内一点出发的入射光线经C 第一次反射后的示意图如图 2 所示，P 1 是第1 个反射点，请在图 2 中作出光线经C 第二次反射后的反射光线；（2）当O 的半径为 1 时，如图 3，第一象限内的一条入射光线平行于 x 轴，且自O 的外部照射在其上点 P 处，此光线经 O 反射后，反射光线与 y 轴平行，则反射光线与切线 l 的夹角为；自点 A(1,0)出
4、发的入射光线，在O 内不断地反射，若第 1 个反射点 P1 在第二象限，且第 12 个反射点 P12 与点 A 重合，则第一个反射点 P1 的坐标为；（3）如图 4，点 M 的坐标为（ 0，2），M 的半径为 1，第一象限内自点 O 出发的入射光线经M 反射后，反射光线与坐标轴无公共点，求反射点 P 的纵坐标的取值范围。3 对于半径为 r 的 P 及一个正方形给出如下定义：若 P 上存在到此正方形四条边距离都相等的点，则称P 是该正方形的“ 等距圆”如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 ABCD 的顶点 A 的坐标为（2，4 ），顶点 C、D 在 x 轴上，且点 C 在点 D 的左侧
5、.（1）当 r= 时，在 P1（0，-3），P 2（4，6），P 3（ ，2）中可以成为正方形 ABCD 的“等距圆”4的圆心的是；若点 P 在直线 y= x+2 上，且P 是正方形 ABCD 的“等距圆”，则点 P 的坐标为；（2）如图 2，在正方形 ABCD 所在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 EFGH 的顶点 F的坐标为（6，2），顶点 E、H 在 y 轴上，且点 H 在点 E 的上方.若P 同时为上述两个正方形的“等距圆” ， 且与 BC 所在直线相切，求P 在 y 轴上截得的弦长；将正方形 ABCD 绕着点 D 旋转一周，在旋转的过程中，线段 HF 上没有一个点能成为它的“等距圆
6、 ”的圆心，则 r 的取值范围是（1）P 2，P 3；P（-4，6）或 P（4，-2）；（2） ； 【解析】试题分析：（1）直接根据定义作答（2）根据定义和直线与圆的位置关系求解即可；根据定义列不等式求解即可试题解析：（1）P 2，P 3；P（-4，6）或 P（4，-2）（2）P 同时为正方形 ABCD 与正方形 EFGH 的“等距圆”，P 同时过正方形 ABCD 的对称中心 E 和正方形 EFGH 的对称中心 I点 P 在线段 EI 的中垂线上A（2，4），正方形 ABCD 的边 CD 在 x 轴上；F（6，2），正方形 EFGH 的边 HE 在 y 轴上，E（0，2），I（3，5）I EH
7、=45，设线段 EI 的中垂线与 y 轴交于点 L，与 x 轴交于点 M，LIE 为等腰直角三角形，LIy 轴，L（0，5），LOM 为等腰直角三角形，LO=OMM（5，0）P 在直线 y=-x+5 上设 P（p，-p+5）过 P 作 PQ直线 BC 于 Q，连结 PE，P 与 BC 所在直线相切，PE=PQ ，解得： ， P 过点 E，且 E 点在 y 轴上，P 在 y 轴上截得的弦长为 考点：1正方形的性质；2等腰直角三角形的判定与性质；3圆的性质 4勾股定理；5点的坐标4 对于两个已知图形 G1、G 2，在 G1 上任取一点 P，在 G2 上任取一点 Q，当线段 PQ的长度最小时，我们称
8、这个最小的长度为 G1、G 2 的“密距 ”；当线段 PQ 的长度取最大值时，我们称这个最大的长度为图形 G1、G 2 的“疏距” 。请你在学习、理解上述定义的基础上，解决下面的问题：在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为（3, 4 ） ，点 B 的坐标为（3，4） ，矩形ABCD 的对称中心为点 O。（1）线段 AD 和 BC 的“ 密距” 是 ；“疏距”是 ；（2）设直线 与 x 轴、y 轴分别交于点 E、F，若线段 EF 与矩形） 0(43bABCD 的 “密距 ”是 1，求它们的 “疏距”；（3）在平面直角坐标系 xOy 中有一个四边形 KLMN，将矩形 ABCD 绕点 O 旋
9、转一周，在旋转过程中，它与四边形 KLMN 的“ 疏距”的最大值为 7，旋转过程中，它与四边形 KLMN 的“密距” 的取值范围是 ；求四边形 KLMN 的面积的最大值。5【2014-2015 海淀第一学期期末 】在平面直角坐标系 xOy 中，设点 P(x1,y1)，Q(x 2,y2)是图形 W 上的任意两点定义图形 W 的测度面积：若 | x1-x2|的最大值为 m，| y1-y2|的最大值为 n，则 S=mn 为图形 W 的测度面积例如，若图形 W 是半径为 1 的 O当 P，Q 分别是 O 与 x 轴的交点时，如图 1，| x1-x2| 取得最大值，且最大值 m=2；当 P，Q 分别是O
10、 与 y 轴的交点时，如图 2，| y1-y2|取得最大值，且最大值 n=2则图形 W 的测度面积 S=mn=4（1）若图形 W 是等腰直角三角形 ABO，OA =OB=1.如图 3，当点 A，B 在坐标轴上时，它的测度面积 S=；如图 4，当 ABx 轴时，它的测度面积 S=；（2）若图形 W 是一个边长为 1 的正方形 ABCD，则此图形测度面积 S 的最大值为；（3）若图形 W 是一个边长分别为 3 和 4 的矩形 ABCD，求它的测度面积 S 的取值范围答案: （1） 1； 1（2） 2 ）49 S6【2014 石景山一模】在平面直角坐标系 xoy 中，对于任意三点 A，B，C 的“矩
11、面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“ 铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S=ah.例如：三点坐标分别为 A(1,2)，B(-3,1)，C (2,-2)，则“水平底”a=5，“铅垂高”h=4，“矩面积”S=ah =20（1）已知点 A(1,2)，B(-3,1)，P(0,t)若 A，B，P 三点的“矩面积”为 12，求点 P 的坐标；直接写出 A， B，P 三点的“矩面积”的最小值（2）已知点 E(4,0)，F(0,2)， M(m,4m)， ，其中 m0，n0.)16,(nN若 E,F,M 三点的 “矩面积”为 8，求 m 的取值范围；直接写出 E,F,
12、N 三点的“ 矩面积 ”的最小 值及对应 n 的 取值范围（答案：（1） ；4；（2）0m 0.5；16， ）(,) 847【2014 怀柔一模】在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(-2，0)，B(2，0) ，AC AB 于点 A，AC =2，BDAB 于点 B，BD=6，以 AB 为直径的半圆 O 上有一动点 P（不与 A、B 两点重合），连接 PD、PC，我们把由五条线段AB、 BD、DP、P C、CA 所组成的封闭图形 ABDPC叫做点 P 的关联图形，如图 1 所示.（1）如图 2，当 P 运动到半圆 O 与 y 轴的交点位置时，求点 P 的关联图形的面积. （2）如图 3，连接
13、CD、OC、OD,判断O CD的形状，并加以证明. （3）当点 P 运动到什么位置时，点 P 的关联图形的面积最大，简要说明理由，并求面积的最大值.（答案：（1）12；（2）（2）判断OCD 是直角三角形.（3）8+4 ）28【2015 平谷一模】【2015 2016 延庆期末】设 a,b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式 axb 的实数 x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为 a,b对于一个函数，如果它的自变量 x 与函数值 y 满足：当 mxn 时，有 myn,我们就称此函数是闭区间m .n上的“闭函数”如函数 y=-x+4，当 x=1 时，y=3；当 x=3 时， y=1，即当
14、1x3 时，有1y3，所以说函数 y=-x+4 是闭区间 1,3上的“ 闭函数”（1）反比例函数 y= 是闭区间1,2015上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；2015（2）若二次函数 y=x2-2x-k=是闭区间1,2上的“闭函数”，求 k 的值；（3）若一次函数 y=kx+b(k0)是闭区间 m,n上的“闭函数”，求此函数的解析式（用含m，n 的代数式表示）（答案：（ 1）是；（2）k= ； （3）y=x 或 y=-x+m+n）29【2014 顺义一模】设 p,q 都是实数，且 pq我们规定：满足不等式 pxq 的实数x 的所;有取值的全体叫做闭区间，表示为p,q 对于一个函数，如果它的自
15、变量 与函数值 y 满足：当 pxq 时，有 pyq，我们就称此函数是闭区间 p,q上的“闭函数”（1）反比例函数 是闭区间1,2014上的“闭函数” 吗？请判断并说明理由；2014（2）若一次函数 y=kx+b(k0)是闭区间 m,n上的“闭函数”，求此函数的解析式； （3）若实数 c，d 满足 cd，且 d2，当二次函数 是闭区间 c,d上的21yx“闭函数”时，求 c，d 的值 (4)【2014 通州二模 】若二次函数 是闭区间a,b上的“闭函数” ，直57412xy接写出实数 a，b 的值.答案：（1）是；（2） 或 ；xmn（3）c=-2,d=6;（4） ，12b1095a10【20
16、15 清华附中初三月考】若 y 是关于 x 的函数，H 是常数（H 0），若对于此函数图象上的任一两点（x 1，y 1），（x 2，y 2），都有|y 1-y2|H，则称该函数为有界函数，其中满足条件的所有常数 H 的最小值，称为该函数的界高。例如：下面所表示的函数的界高为 4. （1）若函数 y=kx+1（-2x1）的界高为 4，求 k 的值；（2）已知 m-2，若函数 y=x2（-2xm）的界高为 4，求实数 m 的取值范围；（3）已知 a0，函数 y=x2-2ax+3a（-2x1）的界高为 ，求 a 的值。2511【2015 丰台二模】对某一个函数给出如下定义：如果存在实数 M，对于任意
17、的函数值 y，都满足 yM，那么称这个函数是有上界函数，在所有满足条件的 M 中，其最小值称为这个函数的上确界例如，图中的函数是有上界函数，其上确界是 2 （1）分别判断函数 1x （ 0 ）和 y=2x-3（x2） 是不是有上界函数？如果是有上界函数，求其上确界；（2）如果函数 y=2x-3 （axb, ba）的上确界是 b，且这个函数的最小值不超过2a+1，求 a 的取值范围；（3）如果函数 y=x2-2ax+2（1x5）是以 3 为上确界的有上界函数，求实数 a 的值.(答案: （1） （ 0 ）不是；y=2x-3 （x 2） 是，1；（2）-1x1；（3）)5延庆 2014 期末25.
18、 四边形 ABCD 中，E 是边 AB 上一点（不与点 A，B 重合） ，连接 ED，EC ，则将四边形 ABCD 分成三个三角形若其中有两个三角形相似，则把 E 叫做四边形 ABCD的边 AB 上的相似点；若这三个三角形都相似，则把 E 叫做四边形 ABCD 的边 AB 上的黄金相似点 （1）如图，A =B=DEC=60，试判断点 E 是否为四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点？并说明理由；（2）如图，在（1）的条件下，若 E 是 AB 的中点，判断点 E 是否为四边形 ABCD 的边 AB 上的黄金相似点？并说明理由；若 ADBC=18，求 AB 的长；（3）在矩形 ABCD 中，AB
19、 =10，BC=3 ，且 A，B ，C，D 四点均在正方形网格（网格中 每个小正方形的边长为 1）的格点上，试在图中画出矩形 ABCD 的边 AB 上的一个黄金相似点 E解：. （1）点 E 是为四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点1 分理由：A= B=DEC=60ADE+AED=120，BEC+AED=120ADE= BEC 2 分ADE BEC 3 分CBEAD图DAE BC图图BAD CDAE BC图点 E 是否为四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点（2）点 E 是为四边形 ABCD 的边 AB 上的黄金相似点4 分理由：由（1）可知：ADE BEC DACBAE=BE 5 分E
20、BCB =DEC=60 DEC BECADE BEC DEC 分点 E 是为四边形 ABCD 的边 AB 上的黄金相似点ADE BEC ADBC=AEBE18ADBCAEBE AE 7 分32（3） 8 分（只要画出一个即可）西城 2014 期末 22阅读下面材料：定义：与圆的所有切线和割线都有公共点的几何图形叫做这个圆的关联图形问题：O 的半径为 1，画一个O 的关联图形在解决这 个问题时，小明以 O 为原点建立平面直角坐标系 xOy 进行探究，他发现能画出很多O 的关联图形，例如：O 本身和图 1 中的ABC（它们都是封闭的图形），以及图 2 中以 O 为圆心的 （它是非封闭的图形）， 它
21、们都是O 的 关联图形而图2 中以 P，Q 为端点的 一条曲线就不是 O 的关联图形参考小明的发现，解决问题：（1）在下列几何图形中，O 的关联图形是 （填序号）； CBEAD图BAD C（DmE O 的外切正多边形 O 的内接正多边形 O 的一个半径大于 1 的同心圆（2）若图形 G 是O 的关联图形，并且它是封闭的，则图形 G 的周长的最小值是_；（3）在图 2 中，当O 的关联图形 的弧长最小时，经过 D，E 两点的直线为 y =_；（4 ）请你在备用图中画出一个O 的关联图形，所画图形的长度 l 小于（2）中图形G 的周长的最小值，并写出 l 的值（直接画出图形，不写作法）解：（1）；
22、.2 分（2） ； .3 分（3） ； 4 分x（4）答案不唯一，所画图形是非封闭的，长度 l 满足 l 2例如：在图 1 中 l ，2在图 2 中 l .5 分阅卷说明：在（1）中，只填写一个结果得 1 分，有错误结果不得分；在（4）中画图正确且图形长度都正确得 1 分，否则得 0 分平谷 2014 期末 25如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A、B 为 x 轴上两点，C、D 为y 轴上两点，经过 A、C 、B 的抛物线的一部分 与经过点 A、D、B 的抛物线的一部分1C组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”已知点 C 的坐标为2C（0， ），点 M 是抛物线 ： 的32 )0
23、(32mxy顶点（1）求 A、B 两点的坐标（2）“蛋线 ”在第四象限上是否存在一点 P，使得 的面积最BC大？若存在，求出 面积的最大值；若不存在，请说明C理由；（3）当 为直角三角形时，直接写出 m 的值_D解：（1）在 中，xmy32令 y=0，则 ，解得 x=3 或 x= -10A、B 两点的坐标为：A （-1，0）、B（3，0）-2 分（2）设过 A、B、C 三点的抛物线解析式为 ，cbay2（DmE把 A（-1，0）、 B（3，0）、C（0， ）代入 中，得23cbxay2解得 0392cba231cba -3 分来源:学_科_网21xy设过 B（3，0）、C（0， ）两点的解析式
24、为3，bkxy代入，得 -4 分21设“蛋线”在第四象限上存在一点 P，过 P 点作 PHAB，垂足为 H，交 BC 于点G.来源:学*科*网设 H 点坐标为（x，0），则 G（x ， ），P（x， ）231231x则 PG= -( )= .-5 分231 PBGCPBSSHO1)23(2x16749432xSPBC“蛋线”在第四象限上存在使得 面积最大的点 P，PBC最大面积是 -6 分167（3） 或 -8 分m2平谷 25.定义：任何一个一次函数 ，取出它的一次项系数 p 和常数项 q，ypxq有序数组 为其特征数.例如： y=2x+5 的特征数是 ，同理， 为二次函qp， 52， ab
25、， ， c数 的特征数。2yaxbc（1）直接写出二次函数 的特征数是：_。xy52（2）若特征数是 的一次函数为正比例函数，求 的值；21m， m（3）以 轴为对称轴的二次函数抛 的图象经过 A(2， m)、 B(n，1)两点y2yaxbc（其中 m0， n0），连结 OA、 OB、 AB，得到 OA OB， ，求二次函数10OBS的特征数2yaxbc通州 24设 ， 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式 的实数 的ab axbx所有取值的全体叫做闭区间，表示为 . 对于一个函数，如果它的自变量 与函ba,数值 满足：当 m n 时，有 m n，我们就称此函数是闭区间 上的yxynm,“闭函数”.（1）反比例函数 是闭区间 上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；2014,2014（2）若一次函数 是闭区间 上的“闭函数”，求此函数的表达kbxynm,式；（3）若二次函数 是闭区间 上的“闭函数”，直接写出实数 ，57412ba, a的值.b
