1、110.3 二项式定理基础送分 提速狂刷练一、选择题1(2018广东测试) 6的展开式中，常数项是( )(x212x)A B. C D.54 54 1516 1516答案 D解析 Tr1 C (x2)6 r r rC x123 r，令 123 r0，解得 r4.常数项为r6 (12x) ( 12) r64C .故选 D.(12) 46 15162(2018福建厦门联考)在 10的展开式中， x2的系数为( )(1 x1x2018)A10 B30 C45 D120答案 C解析 因为 10 10(1 x)10C (1 x)(1 x1x2018) 1 x 1x2018 109 C 10，所以 x2只
2、出现在(1 x)10的展开式中，所以含 x2的项为1x2018 10( 1x2018)C x2，系数为 C 45.故选 C.210 2103已知(1 ax)(1 x)5的展开式中 x2的系数为 5，则 a( )A4 B3 C2 D1答案 D解析 由二项式定理得(1 x)5的展开式的通项为 Tr1 C xr，所以当 r2 时，r5(1 ax)(1 x)5的展开式中相应 x2的系数为 C ，当 r1 时，相应 x2的系数为 C a，所以25 15C C a5， a1，故选 D.25 154(2018河南百校联盟模拟)(32 x x4)(2x1) 6的展开式中，含 x3项的系数为 ( )A600 B
3、360 C600 D360答案 C解析 由二项展开式的通项公式可知，展开式中含 x3项的系数为 3C 23(1) 32C3622(1) 4600.故选 C.265若 5的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式的常数项为( )(xax)(2x 1x)A40 B20 C20 D40答案 D2解析 令 x1，得(1 a)(21) 52， a1. 5的通项为 Tr1 C (2x)5 r r(1) r25 rC x52 r.(2x1x) r5 ( 1x) r5令 52 r1，得 r2.令 52 r1，得 r3.展开式的常数项为(1) 223C (1) 322C 804040.故选 D.25 356在 n
4、的展开式中，只有第 5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )(x2 13x)A7 B7 C28 D28答案 B解析 由题意知 n8，Tr1 C 8 r r(1) rC (1) rC r8 (x2) ( 13x) r8 x8 r28 r r8，由 8 r 0，得 r6.r3 T7C 7，即展开式中的常数项为 T77.故选 B.681227(2018石家庄模拟)若 9(aR)的展开式中 x9的系数是 ，则 sinxdx的(x21ax) 212 a0值为( )A1cos2 B2cos1 Ccos21 D1cos2答案 A解析 由题意得 Tr1 C (x2)9 r(1) r r(1) rC x
5、183 r ，令r9 (1ax) r9 1ar183 r9，得 r3，所以 C ，解得 a2.所以 sinxdx(cos x)391a3 212 a0cos2cos01cos2.故选 A.208设 aZ，且 0 a13，若 512018 a能被 13整除，则 a( )A0 B1 C11 D12答案 D解析 51 2018 a(521) 2018 a52 2018C 522017(1)1208C 52(1) 20171 a，2017852 2018能被 13整除，只需 a1 能被 13整除即可， a12.故选 D.39(2018合肥质检)若( x2 m)9 a0 a1(x1) a2(x1) 2
6、a9(x1) 9，且(a0 a2 a8)2( a1 a3 a9)23 9，则实数 m的值为( )A1 或3 B1 或 3C1 D3答案 A解析 令 x0，得到 a0 a1 a2 a9(2 m)9，令 x2，得到a0 a1 a2 a3 a9 m9，所以有(2 m)9m93 9，即 m22 m3，解得 m1 或 m3.故选 A.10(2017淮北模拟)已知在 n的展开式中，第 6项为常数项，则展开式中所(3x 123x)有的有理项共有( )A5 项 B4 项 C3 项 D2 项答案 C解析 Tr1 C x rC rx ，由第 6项为常数项 ，得当 r5rnn r3 ( 123x) rn( 12)时
7、， 0，得 n10.令 kZ，则 102 r3 k，即 r5 k，故 k应为偶n 2r3 10 2r3 32数又 0 r10，故 k可取 2,0，2，即 r可取 2,5,8.故第 3项，第 6项与第 9项为有理项，故选 C.二、填空题11(2014安徽高考)设 a0， n是大于 1的自然数， n的展开式为(1xa)a0 a1x a2x2 anxn.若点 Ai(i， ai)(i0,1,2)的位置如图所示，则 a_.答案 3解析 根据题意知 a01， a13， a24，结合二项式定理得Error!即Error!解得 a3.12若 6的展开式中 x3的系数为 20，则 a2 b2的最小值为_(ax2
8、bx)答案 24解析 因为二项式 6展开后第 k项为 C (ax2)(ax2bx) k 167 k k1 C a7 kbk1 x153 k，所以当 k4 时，可得 x3的系数为 20a3b3，即(bx) k 1620a3b320，得 ab1.故 a2 b22 ab2，当且仅当 a b1 时等号成立，此时 a2 b2取得最小值 2.13在(1 x)6(1 y)4的展开式中，记 xmyn项的系数为 f(m， n)，则 f(3,0) f(2,1) f(1,2) f(0,3)_.答案 120解析 (1 x)6展开式的通项公式为 Tr1 C xr，(1 y)4展开式的通项公式为r6Th1 C yh，(1
9、 x)6(1 y)4展开式的通项可以为 C C xryh.h4 r6h4 f(m， n)C C .m6n4 f(3,0) f(2,1) f(1,2) f(0,3)C C C C C C 2060364120.36 2614 1624 3414(2017江西赣州十四县联考)若 n的展开式中前三项的系数分别为(x13x)A， B， C，且满足 4A9( C B)，则展开式中 x2的系数为_答案 5627解析 易得 A1， B ， C ，所以有 49 ，即n3 C2n9 n n 118 (n2 n18 n3)n27 n80，解得 n8 或 n1(舍)在 8中，因为通项 Tr1 C x8 r r(x1
10、3x) r8 (13x)x82 r，令 82 r2，得 r3，所以展开式中 x2的系数为 .Cr83r 5627三、解答题15(2018三亚模拟)已知 fn(x)(1 x)n.(1)若 f2019(x) a0 a1x a2019x2019，求 a1 a3 a2017 a2019的值；(2)若 g(x) f6(x)2 f7(x)3 f8(x)，求 g(x)中含 x6项的系数解 (1)因为 fn(x)(1 x)n，所以 f2019(x)(1 x)2019，又 f2019(x) a0 a1x a2019x2019，所以 f2019(1) a0 a1 a20192 2019，f2019(1) a0 a
11、1 a2017 a20190，得 2(a1 a3 a2017 a2019)2 2019，所以 a1 a3 a2017 a20192 2018.(2)因为 g(x) f6(x)2 f7(x)3 f8(x)，所以 g(x)(1 x)62(1 x)73(1 x)8.g(x)中含 x6项的系数为 C 2C 3C 99.6 67 6816已知 n，(12 2x)(1)若展开式中第 5项，第 6项与第 7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式5系数最大项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于 79，求展开式中系数最大的项解 (1)因为 C C 2C ，所以 n221 n980，得 n7 或 n14.4n 6n 5n当 n7 时，展开式中二项式系数最大的项是 T4和 T5. T4的系数为 C 423 ，37(12) 352T5的系数为 C 32470.47(12)当 n14 时，展开式中二项式系数最大的项是 T8， T8的系数为 C 7273432.714(12)(2)C C C 79， n2 n1560，0n 1n 2n n12 或 n13(舍去)设 Tk1 项的系数最大， 12 12(14 x)12，(12 2x) (12)Error!解得 k .475 525 kN， k10，展开式中系数最大的项为 T11，T11C 2210x1016896 x10.102 (12)
