1、2.2 二次函数的图像与性质（2）y=ax2+c(或y=ax2+k),第二章 二次函数,北师大版数学九年级下册,1.经历探索二次函数yax2k(a0) 图象作法和性质的过程. 2.能够理解函数yax2k(a0) 与yax2的图象的关系，理解a, k对二次函数图象的影响. 3.能正确说出函数yax2k的图象的开口方向，顶点坐标和对称轴.,二次函数y=ax2的性质,.顶点坐标与对称轴,.位置与开口方向,.增减性与最值,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=ax2 (a0),y= ax2 (a0),（0，0）,y轴,y轴,在x轴的上方(除顶点外),在x轴的下方( 除顶点外),向
2、上,向下,当x=0时,最小值为0.,当x=0时,最大值为0.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.,根据图形填表：,（0，0）,1、函数y=8x2的图象的开口 ，对称 轴是 ，顶点是 ；在 对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在 对称轴的右侧，y随x的增大而 ；,2、函数y=-3x2的图象的开口 ，对称轴 是 ，顶点是 ；在对 称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称 轴的右侧，y随x的增大而 ；,9,4,1,0,1,4,9,y=x2,O,例1 在同一平面直角坐标系中，画出二次
3、函数y=x2 ,y=x2+1,y=x2-1的图象.,解：列表：,10 5 2 1 2 5 10,8 3 0 -1 0 3 8,y=x2+1,10,8,6,4,2,-2,-5,5,x,y,y=x2-1,y=x2,O,（1）抛物线y=x2+1、y=x2-1的开口方向、对称轴、顶点 各是什么？ （2）抛物线y=x2+1、y=x2-1与抛物线y=x2有什么关系？ （3）它们的位置由什么决定的？,答：(1)它们开口方向向上，对称轴是y轴，顶点分别是（0，1）、（0，-1）.,（4)把抛物线y=x2向上平移1个单位，就得到抛物线y=x2+1；把抛物线y=x2向下平移1个单位，就得到抛物线y=x2-1. （
4、5）它们的位置是由+1、-1决定的.,把抛物线y=2x2向上平移5个单位，会得到哪条抛物线？ 向下平移3.4个单位呢？,y=2x2+5 y=2x2 -3.4,(1) 抛物线y=x2+1,y=x21的开口方向、对称轴、顶点各是什么?,探究,抛物线y=x2+1:,开口向上,顶点为(0,1).,对称轴是y轴,抛物线y=x21:,开口向上,顶点为(0,1).,对称轴是y轴,y=x2+1,y=x21,(2)抛物线y=x2+1,y=x21与抛物线y=x2的异同点:,y=x2+1,抛物线y=x2,抛物线 y=x21,向上平移 1个单位,抛物线y=x2,向下平移 1个单位,y=x21,y=x2,抛物线 y=x
5、2+1,相同点：,形状大小相同,开口方向相同,对称轴相同,不同点：,顶点的位置不同， 抛物线的位置也不同,总结,抛物线y=ax2与y=ax2c之间的关系是：,形状大小相同，开口方向相同，对称轴相同， 而顶点位置和抛物线的位置不同,抛物线之间的平移规律：,抛物线y=ax2,抛物线 y=ax2c,向上平移 |C|个单位,抛物线y=ax2,向下平移 |C|个单位,抛物线 y=ax2+c,归纳,一般地,抛物线y=ax2+c有如下特点:,(1)当a0时, 开口向上;,当a0时,开口向下;,(2)对称轴是y轴;,(3)顶点是(0,c).,抛物线y=ax2+c可以由抛物线y=ax2向上或向下平移|C|得到.
6、,(c0,向上平移;c0向下平移.),及时小结,向上,向下,(0 ,c),(0 ,c),y轴,y轴,当x0时， y随着x的增大而增大。,当x0时， y随着x的增大而减小。,x=0时,y最小=c,x=0时,y最大=c,抛物线y=ax2 +c (a0)的图象可由y=ax2的图象通过上下平移|c|个单位得到.,1.把抛物线y=3x2向上平移6个单位，会得到哪条抛物线？向下平移7个单位呢？,2.在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象:观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方 向、对称轴及顶点.你能说出抛物线 的开口方 向、对称轴及顶点吗？它与抛物线 有什么关系？,1.说出下列二次函数的
7、开口方向、对称轴及顶点坐标 (1)y=5x2 (2)y=-3x2+2 (3)y=8x2+6 (4)y=-x2-4,向上，y轴，（0,0),向下，y轴，（0,2),向上，y轴，（0,6),向下，y轴，（0,-4),2.坐标平面上有一函数y=24x248的图象，其顶点坐标 为（ ） (0，2) (B) (1，24) (C) (0，48) (D) (2，48),【答案】C,3.（郴州中考）将抛物线y=x2 +1向下平移2个单位，则此时抛物线的解析式是_,【答案】y=x21,小试牛刀,1.抛物线y= 2x2+3的顶点坐标是 ,对称轴是 ，在 侧，y随着x的增大而增大；在 侧，y随着x的增大而减小，当x
8、= 时，函数y的值最 ，最 值是 ,它是由抛物线y= 2x2怎样平移得到的_.,2.抛物线 y= x-5 的顶点坐标是_，对称轴是_,在对称轴的左侧，y随着x的 ；在对称轴的右侧，y随着x的 ，当x=_时，函数y的值最_，最_值是 .,3.抛物线y=ax2c与y=x2的形状相同，且其顶点坐标是（,），则其表达式为_，,y=x2,或y=x2,4、按下列要求求出二次函数的解析式： （1）已知抛物线y=ax2+c经过点（-3，2）（0，-1） 求该抛物线线的解析式。,（2）形状与y=-2x2+3的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（0，1）的抛物线解析式。,（3）对称轴是y轴，顶点纵坐标是-3
9、，且经过 （1，2）的点的解析式。,5、已知二次函数y=ax2+c ，当x取x1、x2(x1x2, x1,x2分别是A,B两点的横坐标)时，函数值相等， 则当x取x1+x2时，函数值为 （ ）A. a+c B. a-c C. c D. c,D,6、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和 二次函数y=ax2+c的图象大致是如图中的（ ）,B,7、 函数y=ax2-a与y=,在同一直角坐标系中的图象可能是 （ ）,A,1.函数y=x2-1的图象，可由y=x2的图象向平 _移 个单位. 2.把函数y=3x2+2的图象沿x轴对折，得到的图象的函数解析式为_. 3.已知（m,n)在y=ax2+a的图
10、象上，(-m,n) _（在，不在）y=ax2+a的图象上. 4. 若y=x2+（2k-1）的顶点位于x轴上方，则K_,下,1,y=-3x2-2,在,0.5,3.实验探究系数与图象间的关系,实 验 一,a与图象的关系,a决定图象的形状,开口方向,开口大小,当a 0 时 开口向上,当a 0 时开口向下,c与图象的关系,C 确定图象与y轴的交点,当c0时图象过原点,当 c 0时图象与y轴正半轴相交,当c 0时图象与y轴负半轴相交,1.（2010济南）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-1与x轴的交点个数是（ ）。 A.3 B.2 C.1 D.0,2.函数y=ax2+c开口向下，与y轴交于正半轴，关于
11、a、c的符号判断正确的是（ ）。 A.a0，c0 B. a0，c0 C. a0，c0 D. a0，c0,3.如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：y=ax2；y=bx2；y=cx2；y=dx2，则a，b，c，d的大小关系是（ ） Aabcd Babdc Cbacd Dbadc,B,A,D,4.二次函数y=ax2+c的图象经过点A（1，2），且 与y轴交于B（0，-3），则该函数的解析式为 。,5.（2011吉林）如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度AB=18m一同学站在门内，在离门脚B点1m远的D处，垂直地面立起一根1.7m长的木杆，其顶端恰好顶在抛物线形门上C处根据这些条件，请你求出该大门的高h,6.（2010兰州 ）如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，求绳子的最低点距地面的距离。,
