1、实验 5 连续时间系统的复频域分析（综合型实验）一、实验目的1）掌握拉普拉斯变换及其反变换的定义并掌握 MATLAB 实现方法。2）学习和掌握连续时间系统函数的定义及复频域分析方法。3）掌握系统零极点的定义，加深理解系统零极点分布与系统特性的关系。二、实验原理与方法1.拉普拉斯变换连续时间信号 x(t)的拉普拉斯变换定义为 （1）(s)testXxd拉普拉斯反变换为 （2）1(t)()e2jstjxdMATLAB 中相应函数如下：符号表达式 F 拉氏变换，F 中时间变量为 t，返回变量为 s 的结果表达式。(F)Llapce用 t 替换结果中的变量 s。(,)l以 s 为变量的符号表达式 L
2、的拉氏反变换，返回时间变量为 t 的结果表达iapceL式。用 x 替换结果中的变量 t。(,)Fil拉氏变换还可采用部分分式法，当 为有理分式时，它可以表示为两个多项式之比：(s)X（3）10.(s)MNbbXDaa上式可以采用部分分式法展成以下形式（4）12(s).Nrrpssp再通过查找常用拉氏变换对易得反变换。利用 residue 函数可将 X(s)展成（ 4）式形式，调用格式为：其中 b、a 为分子和分母多项式系数向量，r、p、k 分别为上述展开r,kesidu(,)式中的部分分式系数、极点和直项多项式系数。2.连续时间系统的系统函数连续时间系统的系统函数是指系统单位冲激响应的拉氏变
3、换（5）(s)testHhd连续时间系统的系统函数还可以由系统输入与输出信号的拉氏变换之比得到。（6）(s)/X(s)HY单位冲激响应 反映了系统的固有性质，而 从复频域反映了系统的固有性质。由th(s)H（6 ）描述的连续时间系统，其系统函数为 的有理函数（7）10.(s)MNbsbaa3.连续时间系统的零极点分析系统的零点指使式（7）的分子多项式为零的点，极点指使分母多项式为零的点，零点使系统的值为零，极点使系统的值为无穷大。通常将系统函数的零极点绘在 s 平面上，零点用表示，极点用 表示，这样得到的图形为零极点分布图。可以通过利用 MATLAB 中的求多项式根的 roots 函数来实现对
4、（ 7）分子分母根的求解，调用格式如下：r=roots(c)，c 为多项式的系数向量，返回值 r 为多项式的根向量。求取零极点以及绘制系统函数的零极点分布图可以采用 pzmap 函数，调用格式如下：pzmap(sys)绘出由系统模型 sys 描述的系统的零极点分布图。p,z=pzmap(sys)这种调用方式返回极点与零点，不绘出零极点分布图。还有两个专用函数 tf2zp 和 zp2tf 可实现系统的传递函数模型和零极点增益模型的转换。调用格式如下：z,p,k=tf2zp(b,a)b,a=tf2zp(z,p,k)研究系统函数的零极点分布不仅可以了解系统冲激响应的形式，还可以了解系统的频率特性以及
5、判断系统的稳定性。1） 零极点分布与冲激响应的关系系统的极点位置决定着系统冲激响应 h(t)的波形，冲激响应的幅值是由系统函数的零点和极点共同确定的，系统的零点位置只影响冲激响应的幅度和相位，不影响波形。2） 零极点分布与系统频率响应的关系系统函数的零极点分布不仅决定了系统函数 H(s)，也决定了系统的频率响应 ，根据()H系统的零极点分布情况，可以由几何矢量法分析系统的频率响应。3） 零极点分布与系统稳定性的关系稳定性是系统的固有性质，与激励信号无关，由于系统函数 包含了系统的所固有的(s)性质，因而可以根据系统函数的零极点分布判断系统的稳定性。因果系统稳定的充要条件是 的全部极点位于 s
6、的左半平面。(s)H三实验内容（1 ）已知系统的冲激响应 ，输入信号 ，试采用复频域的方(t)u(t2)h(t)ux法求解系统的响应，编写 MATLAB 程序实现。代码：%DFTfifth_2_1.msyms th=heaviside(t)-heaviside(t-2);x=heaviside(t);H=laplace(h);X=laplace(x);Y=H*X;y=ilaplace(Y) DFTfifth_2_1y =t - heaviside(t - 2)*(t - 2)所以系统的响应为 y(t)=t-(t-2)*u(t-2)（2 ）已知因果连续时间系统的系统函数分别如下：1） 321(s
7、)Hs2） 5432s试采用 MATLAB 绘出其零极点分布图，求解系统的冲激响应 h(t)和频率响应 ，并判()H断系统是否稳定。1） b=1; a=1 2 2 1; sys=tf(b,a); p,z=pzmap(sys)p =-1.0000 -0.5000 + 0.8660i-0.5000 - 0.8660iz =Empty matrix: 0-by-1 pzmap(sys)-1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81 Pole-Zero MapReal Axis (seconds-1)Imaginar
8、y Axis (seconds-1)所有极点都位于 s 平面的左半平面，所以系统是稳定的。 syms s Hs=1/(s3+2*s2+2*s+1); h=ilaplace(Hs)h =exp(-t) - exp(-t/2)*(cos(3(1/2)*t)/2) - (3(1/2)*sin(3(1/2)*t)/2)/3)所以系统的冲激响应为 233(t)e(costsint)u(2tth绘制时域和频域的曲线：b=1;a=1 2 2 1;sys=tf(b,a);subplot(311);impulse(sys);xlabel(t);title(h(t);subplot(312);H,w=freqs(
9、b,a);plot(w,abs(H);xlabel(w);ylabel(Magnitude);title(abs(H);subplot(313);plot(w,angle(H);xlabel(w);ylabel(phase);title(phase(H);0 2 4 6 8 10 12 14-0.500.5 h(t)t (seconds)Amplitude0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1000.51wMagnitudeabs(H)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-4-2024wphasephase(H)2） b=1 0 1; a=1 2 -3 3 3 2; sys=tf(
10、b,a)sys =s2 + 1-s5 + 2 s4 - 3 s3 + 3 s2 + 3 s + 2Continuous-time transfer function. p,z=pzmap(sys)p =-3.1704 0.9669 + 0.9540i0.9669 - 0.9540i-0.3817 + 0.4430i-0.3817 - 0.4430iz =0 + 1.0000i0 - 1.0000i pzmap(sys)-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81 Pole-Zero MapReal Ax
11、is (seconds-1)ImaginaryAxis(seconds-1)由于 s 平面有半平面有极点，所以是不稳定系统。绘制冲激响应和频域响应的图形方法同上一题图形如下：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1000.20.40.60.8wMagnitudeabs(H)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-2-1012wphasephase(H)0 10 20 30 40 50 60 70-3-2-101x 1028 h(t)t (seconds)Amplitude（3 ）已知连续时间系统函数的极点位置分别如下所示（设系统无零点）：分别绘制以下六种不同情况下，系统函数的零极点分布
12、图，并绘制相应冲激响应的时域波形，观察并分析系统函数极点位置对冲激响应时域特性的影响。1） p=0 b=1; a=1 0; sys=tf(b,a)sys =1-sContinuous-time transfer function. pzmap(sys)-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81 Pole-Zero MapReal Axis (seconds-1)Imaginary Axis (seconds-1)1(s)(t)uHh syms t h=heaviside(t); ezplo
13、t(h,-5 5) title(h(t)-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 500.20.40.60.81th(t)2） p=-2 b=1; a=1 2; sys=tf(b,a)sys =1-s + 2Continuous-time transfer function. pzmap(b,a)Pole-Zero MapReal Axis (seconds-1)ImaginaryAxis(seconds-1)-2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8121(s)(t)e*
14、(t)tHhu syms t h=exp(-2*t)*heaviside(t); ezplot(h)0 0.5 1 1.5 2 2.500.10.20.30.40.50.60.70.80.91texp(-2 t) heaviside(t)3)p=2 b=1; a=1 -2; sys=tf(b,a)sys =1-s - 2Continuous-time transfer function. pzmap(b,a)0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81 Pole-Zero MapReal Axis (
15、seconds-1)ImaginaryAxis(seconds-1)21(s)(t)*(t)tHheu syms t h=exp(2*t)*heaviside(t); ezplot(h)0 1 2 3 4 5 60246810x 104texp(2 t) heaviside(t)4) 12,pjj b=1; a=1 0 4; sys=tf(b,a)sys =1-s2 + 4Continuous-time transfer function. pzmap(b,a)-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-2.5-2-1.5-1-0.500.511.52
16、2.5 Pole-Zero MapReal Axis (seconds-1)ImaginaryAxis(seconds-1)211(s)(t)sin(2t)*4Hhu syms t h=(1/2)*sin(2*t)*heaviside(t); ezplot(h)0 1 2 3 4 5 6-0.6-0.4-0.200.20.40.6t(sin(2 t) heaviside(t)/25) 124,1pjj b=1; a=1 2 17; sys=tf(b,a)sys =1-s2 + 2 s + 17Continuous-time transfer function. pzmap(b,a)-1.4 -
17、1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0-4-3-2-101234 Pole-Zero MapReal Axis (seconds-1)ImaginaryAxis(seconds-1)211(s)(t)sin(2)t7tHheu syms t h=(1/2)*exp(-t)*sin(2*t)*heaviside(t); ezplot(h)0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5-0.0500.050.10.150.20.25t(sin(2 t) exp(-t) heaviside(t)/26) 124,1pjj b=1; a=1 -2 17; sys=tf(b
18、,a)sys =1-s2 - 2 s + 17Continuous-time transfer function. pzmap(b,a)0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-4-3-2-101234 Pole-Zero MapReal Axis (seconds-1)ImaginaryAxis(seconds-1)211(s)(t)sin(2)t7tHheu syms t h=exp(t)*sin(2*t)*heaviside(t)/2; ezplot(h)0 1 2 3 4 5 6-140-120-100-80-60-40-2002040t(sin(2 t) exp(t)
19、heaviside(t)/2极点在左半平面时呈衰减趋势，在左半平面坐标轴上时呈指数衰减，在非坐标轴位置上时成衰减振荡；在右半平面时成增加趋势，在右半平面坐标轴上时呈增加趋势，在非坐标轴上时呈增幅振荡；在纵轴上时，在非原点时呈等幅振荡，在原点时为单位阶跃响应。（4 ）已知三个连续时间系统的系统函数，极点相同，零点不同，试用 MATLAB 分别绘制系统的零极点分布图及相应冲激响应的时域波形，观察并分析系统函数零点位置对冲激响应时域特性的影响。1） 21(s)7H b=1; a=1 2 17; sys=tf(b,a)sys =1-s2 + 2 s + 17Continuous-time transf
20、er function. pzmap(b,a)-1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0-4-3-2-101234 Pole-Zero MapReal Axis (seconds-1)ImaginaryAxis(seconds-1)211(s)(t)sin(4t)u7tHhe syms t h=(1/4)*exp(-t)*sin(4*t)*heaviside(t); ezplot(h) axis tight0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5-0.0500.050.10.15t(sin(4 t) exp(-t) heaviside(t)/42）
21、28(s)17H b=1 8; a=1 2 17; sys=tf(b,a)sys =s + 8-s2 + 2 s + 17Continuous-time transfer function. pzmap(b,a)-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0-4-3-2-101234 Pole-Zero MapReal Axis (seconds-1)ImaginaryAxis(seconds-1) syms s H=(s+8)/(s2+2*s+17); h=ilaplace(H)h =exp(-t)*(cos(4*t) + (7*sin(4*t)/4)287(s)(t)cos(4t)in
22、(t)u17tHhe clear syms th=exp(-t)*(cos(4*t)+(7*sin(4*t)/4)*heaviside(t); ezplot(h) axis tight0 1 2 3 4 5 6-0.6-0.4-0.200.20.40.60.811.21.4texp(-t) heaviside(t) (cos(4 t) + (7 sin(4 t)/4)3） 28(s)17H b=1 -8; a=1 2 17; sys=tf(b,a)sys =s - 8-s2 + 2 s + 17Continuous-time transfer function. pzmap(b,a)-2 -1
23、 0 1 2 3 4 5 6 7 8-4-3-2-101234 Pole-Zero MapReal Axis (seconds-1)Imaginary Axis (seconds-1) syms s H=(s-8)/(s2+2*s+17); h=ilaplace(H)h =exp(-t)*(cos(4*t) - (9*sin(4*t)/4)289(s)(t)cos(4t)in(t)u17tHhe clear syms th=exp(-t)*(cos(4*t)-(9*sin(4*t)/4)*heaviside(t); ezplot(h) axis tight0 1 2 3 4 5 6-1.5-1-0.500.5texp(-t) heaviside(t) (cos(4 t) - (9 sin(4 t)/4)极点位置不变时，响应是衰减还是增幅不会发生改变。但随着零点位置的变化，响应的振幅和相位会发生变化，零点由原点向正半轴或负半轴移动时，响应时域波形振幅增大。四、实验收获与体会本次实验用 MATLAB 实现了 和 两个变换，掌握了连续时间系统函数lapceila的复频域分析法，加深了对系统零极点分布于系统特性关系的理解。
