1、抛物线及其标准方程,O,y,x,F,M,l,复习提问：,到一个定点F的距离和它到一条定直线l 的距离的比 是常数e的动点M 的轨迹.（直线 l 不经过点F）,（1）当0e 1时，点M的轨迹是什么?,（2）当e1时，点M的轨迹是什么?,是椭圆,是双曲线,当e=1时，即|MF|=|MH| ，点M的轨迹是什么？,思考?,平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经 过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,一、抛物线定义,想一想? 定义中当直线l经过定点F，则点M的轨迹是什么？,其中 定点F叫做抛物线的焦点定直线 l 叫做抛物线的准线,即:当|MF|=|MH|时,点M的轨迹是抛物线,经过点F且垂直于l 的
2、直线,感受生活中抛物线的例子,感受生活中抛物线图形的例子,如何求点M的轨迹方程？,求曲线方程的基本步骤是怎样的？,想一想？,回顾求曲线方程一般步骤：,（1）建立适当的坐标系，设动点坐标为（x,y） ； （2）由限制条件，列出几何等式：P=M|p(M)； （3）代换： （x,y）代入p（M）; （4）化简：化方程f(x,y)=0为最简式,如图,设定点F到定直线l 的距离为p（p0）, 如何建立坐标系,求出点M的轨迹方程最简洁?,（1）由|MF|=|MH| ，得 即得y2=2px-p2,（2）由|MF|=|MH| ，得 即得y2=2px,设M（x，y）,把方程 y2 = 2px（p0） 叫做抛物线
3、的标准方程,而p 的几何意义是:,焦点到准线的距离,一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式,二、标准方程,注：抛 物 线 不 是 双 曲 线 的 一 支,四种抛物线的标准方程对比,感悟归结:,1、焦点在一次项字母对应的坐标轴上.,2、一次项的系数的符号决定了抛物线的开口方向.,3、焦点坐标的非零坐标是一次项系数的 .,（2）x2 = y , 焦点坐标为（ 0 ， ），准线方程是y=,解：（1） x2 = y ，焦点坐标为（ 0， ），准线方程是y=,例1、写出下列抛物线的标准方程、焦点坐 标和准线方程： （1） 6y+5x2=0 ； （2）y=6
4、ax2（a0）,感悟 ：求抛线的焦点坐标和准线方程要先化成抛物线的标准方程,例2、已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2）求它的标准方程,解: 因为焦点在y的负半轴上,所以设所求的标准方程为x2= -2py由题意得 ，即p=4 所求的标准方程为x2= -8y,分析:因为焦点坐标是（0，-2）,所以抛物线开口方向是y轴的负方向,它的方程形式为x2= -2py.,待定系数法求抛物线标准方程,（1）焦点是F（-2，0），它的标准方程_. （2）准线方程是y = -2，它的标准方程_. （3）焦点到准线的距离是4,它的标准方程_.,变式:,y2=-8x,x2=8y,x2=8y 、y2=8x,（1）,（2）
5、,例4、焦半径公式：M是抛物线y2 = 2px（P0）上一点，若点M 的横坐标为X0，则点M到焦点的距离是 ,引申：有关焦点弦的结论：,已知：AB是抛物线 y2=2px(p0) 过焦点F的弦A(x1,y1)， B(x2,y2)，设A，B在准线上的射影分别为A1,B1， 求证：,以AB为直径的圆与准线相切,为定值,一、抛物线的范围: y2=2px,y取全体实数,X 0,二、抛物线的对称性 y2=2px,关于X轴对称,没有对称中心,定义 ：抛物线与对称轴的交点，叫做抛物线的顶点 只有一个顶点,三、抛物线的顶点 y2=2px,所有的抛物线的离心率都是 1,四、抛物线的离心率 y2=2px,X + ，
6、x轴正半轴，向右,X - ，x轴负半轴，向左,y + ，y轴正半轴，向上,y - ，y轴负半轴，向下,五、抛物线开口方向的判断,y2=2px,l,A,B,过焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线截得的线段AB叫做抛物线的通径，,长为2p,P越大，开口越阔,六、抛物线开口大小,关于x 轴 对称，无 对称中心,关于x 轴 对称，无 对称中心,关于y 轴 对称，无 对称中心,关于y 轴 对称，无 对称中心,e=1,e=1,e=1,e=1,抛物线的焦点弦的特征,1、已知AB是抛物线y22px的任意一条焦点弦，且A（x1，y1）、B（x2，y2）,1）求证：y1y2P2，x1x2p2/4。,2）设为直线AB的倾斜角，求证：当90o时，取得AB的最小值2p。,3）若弦AB过焦点，求证：以AB为直径的圆与准线相切。,抛物线的几何性质特点,（1）只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸，但没有渐进线。,（2）只有一条对称轴，没有对称中心。,（3）只有一个顶点，一个焦点，一条准线。,（4）离心率e是确定的，即e =1,（5）一次项系数的绝对值越大，开口越大,
