1、1,一 力学部分,大学物理竞赛辅导,2,一质点运动学,基本内容：位置，速度，加速度，他们的微积分关系，自然坐标下切、法向加速度，*极坐标下径向速度，横向速度，直线运动，抛物运动，圆周运动，角量描述，相对运动,3,1.运动学中的两类问题 (1)已知运动方程求质点的速度、加速度。这类问题主要是利用求导数的方法。 (2)已知质点加速度函数aa(x，v，t)以及初始条件，建立质点的运动方程。这类问题主要用积分方法。,4,例1 一艘船以速率驶向码头P，另一艘船以速率v自码头离去，试证当两船的距离最短时，两船与码头的距离之比为： 设航路均为直线，为两直线的夹角。,5,由此可求得即当两船的距离最短时，两船与
2、码头的距离之比为,6,2.相对运动及惯性力,位移关系：,速度关系：,例2：车厢内水平桌面,(1)车厢具有向上的均匀a0,忽略所有摩擦，求物体B相对于车厢的加速度。,(2)仅考虑B与桌面的摩擦， mA/ mB 车厢具有向右的均匀a0,求物体B相对于 车厢不动时a0的取值范围。,7,解(1),非惯性系，惯性力,(2)仅考虑B与桌面的摩擦， mA/ mB 车厢具有向右的均匀a0,求物体B相对于 车厢不动时a0的取值范围。,设向下,设向上,矛盾！,8,例 (31th,2)如图所示，水平桌面上静放着质量为M，内半径为R的半球面形薄瓷碗，碗的底座与桌面间无摩擦。将质量为m的小滑块在图示的碗边位置静止释放，
3、随后将会无摩擦的沿碗的内表面滑下。小滑块到达最低位置时，它相对桌面的速度大小为 ，它对碗底的正压力大小为 。,9,（31th,3)如图所示，长l的轻细杆两端连接质量相同的小球A、B，开始时细杆处于竖直方位，下端B球据水平地面高度记为h。某刻让B球具有水平朝右初速度 （其大小 ）， 其上方A球具有水平朝右初速度 。假设而后A、B同时着地，则h可取的最小值 = ，取 时，B从开始运动到着地过程中其水平位移s= 。,10,二、动量定理及守恒定律,基本内容：质点及质点系动量定理，动量守恒定律，质心及其运动定理 (1) 若 ，则系统无论在哪个方向动量都守恒；若 ，但系统在某一方向上的合外力为零，则该方向
4、上动量守恒。 (2)碰撞、打击问题中，在t0时，只能忽略恒定的有限大小的主动外力(例如重力)，而随碰撞而变化的被动外力(例如支持力)一般是不能忽略的。 (3)若遇到变质量系统，要正确分析出t时刻和(tdt)时刻的动量。,11,例3、一雨滴的初始质量为 ，在重力的影响下，由静止开始降落。假定此雨滴从云中得到质量，其质量的增长率正比于它的瞬时质量和瞬时速度的乘积： 式中为常量。试证明雨滴的速率实际上最后成为常量，并给出终极速率的表达式。忽略空气的阻力。,1、可变质量系统,12,解：由变质量的运动方程：此处速度增加到右边为0时，加速度为0，速度不再变化。,13,解 以 m0和v0 为飞船进入尘埃前的
5、质量和速度，m和v为飞船在尘埃中的质量和速度，那么由动量守恒有,此外，在 时间内，由于飞船在尘埃间作完全非弹性碰撞，而粘贴在宇宙飞船上尘埃的质量即飞船所增加的质量为,例 : 设在宇宙中有密度为 的尘埃，这些尘埃相对相对惯性参考系是静止的，有一质量为m0的宇宙飞船以初速v0穿过宇宙尘埃 ，由于尘埃粘贴在飞船上，致使飞船的速度发生变化，求飞船的速度与其在尘埃中飞行时间的关系，为便于计算，设想飞船的外形是面积为S 的圆柱体。,14,从而得,由已知条件上式积分为,显然，飞船在尘埃中飞行的时间愈长，其速度就愈低。,15,2、质心系统, 质心运动定理,质点系的总动量,16,例： 求半径为R的匀质半薄球壳的
6、质心。,解 ： 选如图所示的坐标轴，由于球壳对Oy轴对称，质心显然位于图中的Oy轴上，在半球壳上取一圆环，圆环的平面与Oy轴垂直。,圆环的面积为,设匀质薄球壳的质量面密度为,圆环的质量为,17,由图可知匀质薄球壳 的质心处于,由于 所以上式为,即质心位于 处,其位置矢量为,18,例（19th,4）质量分别为m1 和m2 的 两物块与劲度系数为 k 的 轻弹簧构成系统如图，物块与物体（平面）光滑接触，右侧水平外力使弹簧压缩量为 l 。物体静止。将右侧外力撤去，系统质心 C 可获得的最大加速度为 ，可获得的最大速度值为 。,m1,m2,k,解：,F,m1,N,f,f,F,m2,质心 的最大加速度,
7、19,质心 的最大速度,m1,m2,k,F,m2过平衡位置时的速度,= 0,20,例：（11th,12）质量为 M 的刚性均匀正方形框架，在某边的中点开一个小缺口，缺口对质量分布的影响可以忽略。将框架放在以纸平面为代表的光滑水平面后，令质量为m 的刚性小球在此水平面上从缺口处以速度 v 进入框内，图中v 的方向的角 =45 ，设小球与框架发生的碰撞均为无摩擦力的弹性碰撞，试证：（）小球必将通过缺口离开框架。（）框架每边长为a，则小球从进入框架到离开框架，相对于水平面的位移为：,解：（ 1 ）,21,（2）,小 球在框架内运动的时间为 T,在T 时间间隔内，质心的位移为,22,三、功与能,基本内
8、容： 功，动能定理，功能原理，机械能守恒定律 (1)一对内力功之和仅由它们的相对位移决定，这一结论给解题带来许多方便。 (2)势能函数的形式与势能零点的选取有关。 (3)应指明系统的范围，以便区分内力和外力。对于内力还要分清保守内力和非保守内力，并判断守恒条件是否成立。,23,例：水平放置柱形桶盛水高度为H，底部有一小孔，水在小孔中的流速v =?,S,第十九届题(4分),23届填空5,26届填空2,伯努利方程,31届填空5,24,四、刚体力学,基本内容： 刚体运动学，角量描述，定轴转动定理，转动惯量，转动动能定理，对轴的角动量定理及守恒定律，刚体平面运动。,25,例：平行轴，垂直轴定理，转动动
9、能定理一个半径为R，质量为m的硬币，竖直地立放在粗糙的水平桌面上开始时处于静止状态，而后硬币受到轻微扰动而倒下求硬币平面与桌面碰撞前(即硬币平面在水平位置)时质心的速度大小(已知质量为m,半径为R的圆盘对沿盘直径的轴的转动惯量为),26,解：对硬币，由动能定理有而 可得,27,关于刚体的平面运动,B点为轴,60,23届填空4,人、梯质量M, 人爬到中间, 的临界值？,y:,x:,基本方法：力平衡 +力矩平衡,28,纯滚动（无滑动的滚动）,A,B,接触点对地的速度为零,质心的速度为,质心的加速度为,相对于质心系的角速度为 w,相对于质心系的角加速度为 b,29,例： （18th, 8）半径为R
10、的圆环静止在水平地面上。 t 0 时刻开始以恒定角加速度 b 沿直线纯滚动。任意时刻 t 0，环上最低点 A 的加速度的大小为 , 最高点 B 的加速度的大小为 。,解： 质心系中,最低点A，地面系中,向左,向右,合加速度的大小,30,最高点B,31,例、质量为m，半径为R 的均匀球体，从一倾角为q的斜面上滚下。设球体与斜面间的摩擦系数为m，求使该球体在斜面上只滚不滑时, q 角的取值范围。,解：球体对中心轴的转动惯量为Jc = (2/5)mR2 质心沿斜面平动，有： m gsinq - f = mac N - mgcosq = 0 绕质心转动有： f R = Jc b 只滚不滑时有条件： a
11、c = Rb 由以上四式可得： 欲使物体只滚不滑，则必须是：f m N =m mg cosq 所以有 ( 2/ 7 ) m gsinq m m g cosqtgq 3.5 m ，q tg-1(3.5m),32,（24th，4）,33,例：（ 18th, 15 ）均匀细杆AOB 的A 端，B 端和中央位置O处各有1个光滑的小孔先让杆在光滑的水平大桌面上绕 O 孔以角速度 w。作顺时针方向旋转如图（图平面为大桌面）。今将一光滑的细杆迅速插入 A 孔，棍在插入前后无任何水平方向的移动，稳定后，在迅速拔A棍的同时，将另一光滑细棍如前所述插入B 孔，再次稳定后，又在迅速拔出 B 棍的同时，将另一光滑细棍
12、如前所述插入 O 孔。试求：最终稳定后，细杆AOB 绕O 孔旋转方向和旋转角速度的大小。,解：, 插入A孔前后,34,插入 B 孔前后,wB,反向转了,35,再次插入O孔前后,逆时针转,36,例：（11th,15）质量为2m 的匀质圆盘形滑轮可绕过中心O 并与盘面垂直的水平固定光滑轴转动，转轴半经线度可忽略，物体1、2的质量分别为m 和2m ，它们由轻质、不可伸长的细绳绕过滑轮挂在两侧。细绳与滑轮间的摩擦系数处处相同，记为 m，开始时，滑轮和两物体均处于静止状态，而后若m 0则滑轮不会转动；若m 0，但较小时，滑轮将会转动，同时与绳之间有相对滑动；当 m 达到某临界值m0 时，滑轮与绳之间的相
13、对滑动刚好消失，试求m0 值。,T2,T1,m1 g,m2 g,解：,37,T2,T1,m1 g,m2 g,解：,38,例： 如图所示，一圆柱体质量为 m， 长为 l ，半径为 R，用两根轻软的绳子对称 地绕在圆柱两端，两绳的另一端分别系在天 花板上。现将圆柱体从静止释放，试求：（1）它向下运动 的线加速度；（2）向下加速运 动时，两绳的张力。,39,解：设系统做纯滚动,40,例:,A,B,L,=?,绕A点转动,41,例题 如图所示，有一质量很小的长度为l 的均匀细杆，可绕通过其中心点O并与纸平面垂直的轴在竖直平面内转动，当细杆静止于水平位置时，有一只小虫以速率v0垂直落在距点O为 处，并背离
14、点O向细杆的端点A爬行。设小虫的质量与细杆的质量均为 m。问：欲使细杆以恒定的角速度转动，小虫应以多大速率向细杆端点爬行。,解 小虫落在细杆上,可视为完全非弹性碰撞,且碰撞时间极短.重力的冲量矩可略去不计,细杆带着小虫一起以角加速度 转动,在碰撞前后,小虫与细杆的角动量守恒,故有,42,故由上式可得细杆角速度为,作用在细杆和小虫系统的外力矩仅为小虫所受的重力矩,即,故从角动量定律可得,所以,联立求解得,考虑到 上式为,43,例：一长度为l的轻质细杆，两端各固结一个小球A、B（见图），它们平放在光滑水平面上。另有一小球D，以垂直于杆身的初速度v0与杆端的球作弹性碰撞（AB与AD垂直）设三球质量同
15、为m，求：碰后（球和）以及D球的运动情况,44,解：设碰后刚体质心的速度为vC，刚体绕通过质心的轴的转动的角速度为，球D碰后的速度为v ，设它们的方向如图所示 因水平无外力，系统动量守恒：弹性碰撞，没有能量损耗，系统动能不变；系统对任一定点的角动量守恒,选择与A球位置重合的定点计算A和D碰撞前后角动量均为零，B球只有碰后有角动量，有各式联立解出： 即碰后，D球静止，刚体（球A、B及细杆）以速度vC平移并绕通过质心的轴以角速度 转动,45,（26th，17）,46,本题由于两盘用轻杆挂在不同点，两悬挂点处在碰撞瞬间对摆的作用力的大小方向未知。因此，无论取哪个悬挂点为参考点，另一点的力都可能产生力
16、矩。所以，不能使用角动量守恒定律。,解：,O1,O2,取图中O1和O2分别为两摆的转动轴。都取向右摆动为转动正向。相应地，在碰撞时两盘接触点处取向右为两盘作用力的正向。两盘碰撞时，接触点处作用力与反作用力大小相等方向相反，设此力的绝对值为 f。对两摆分别使用角动量定理。,摆1满足的角动量定理为：,摆2满足的角动量定理为：,O1,O2,由于碰撞为完全弹性，故机械能守恒：,（2）,两个方程中I1、I2为两个摆对各自悬挂点的转动惯量，利用平行轴定理，它们分别为：,（3）,（4）,式中左边为摆碰撞时受到的冲量矩，括号内为力的作用点到各自悬挂点的力臂，积分为力 f 的冲量。两式中的积分为同一个积分，因此
17、消去它得到：,（1）,O1,O2,把（3）、（4）代入前两式，再将前两式联立可求得：,50,行星绕恒星的椭圆运动,一、能量和角动量,由,由,51,二、椭圆在 P1 点的曲率半径为,三、椭圆轨道的偏心率为,52,四、轨道按能量的分类,E 0，则偏心率 e1， 质点的运动轨道为双曲线。,以地球为例：,rmax,U(r),RE,E10,K=EU,E20,0,r,53,例：行星原本绕着恒星S 做圆周运动。设S 在很短的时间内发生爆炸，通过喷射流使其质量减少为原来的质量的 g 倍，行星随即进入椭圆轨道绕S 运行，试求该椭圆轨道的偏心率 e 。提示（记椭圆的半长，半短轴分别为A、B ，则,解：变轨后 P
18、或为近地点，或为远地点,对圆轨道 P 点：,对椭圆轨道 P1 点：,A,B,先考虑 P 为近地点，后考虑P 为远地点的情况,54,55,对P2 点,因为 g 1 ，因此上式不成立 。 故 行星变轨后不可能处于P2点，只能处于P1 点。,56,解二：,椭圆轨道的角动量,圆轨道的角动量,57,A,B,角动量守恒,58,例题 如图所示，一质量 m=1.2104的登月飞船，在离月球表面高度h=100km处绕月球做圆周运动。飞船采用如下登月方式；当飞船位于图中点A时，它向外侧短时间喷气，使飞船与月球相切地到达点B，且 垂直，飞船所喷气体相对飞船的速度为u=1.00104ms-1 , 已知月球的半径R=1
19、700km；在飞船登月过程中。月球的重力加速度可视为常数 g=1.62ms-2，试问登月飞船在登月过程中所需消耗的 质量 是多少？,解 ：飞船在点A的速度为 v0，由万有引力定律和牛顿定律，有,式中mM为月球的质量，,59,又月球表面附近的重力加速度为,由上两式可得,代入数据得,当飞船在点A以相对速度 u向外侧喷气的短时间里，飞船的质量减少了 而为 m，并获得速度的增量 ，其方向与 u 相反，且使飞船的速度变为vA，其值为,当飞船即将喷气时，其质量由 m 和 两部分组成，其中的m 在点A和点B处只受有心力作用。故由角动量守恒定律有,60,代入数据得,飞船在点A喷出气体后，在到达月球表面的过程中
20、，飞船和月球系统的机械能守恒，故有,式中G=6.6710-11Nm2-2 ,月球质量 mM=7.351022,并将已知数据代入上式得,所以,61,若在飞船喷气的短暂时间内，不计月球的引力作用，则可认为飞船在喷气过程中动量是守恒的，于是有,代入数据得,软着陆至少携带的燃料,26th，13； 29th，13,62,狭义相对论,历届考题中，狭义相对论题稍难填空题 分值低,63,63,洛伦兹正变换,洛伦兹逆变换,即为不同惯性系中相同对象的时、空间隔的关系,两事件时、空间隔：,S中：,S中：,狭义相对论时空观的基本关系!,64,关于狭义相对论的时空效应，解题时应注意,（2）弄清“动长缩短”和“动钟变慢”
21、公式是在什么前提下如何从洛仑兹变换得到的；不能乱用这两个公式；,运动时间,本征（静止、固有）时间,l：运动长度,l0：,（1）洛仑兹变换才是相对论时空观的普遍公式，对于从任意两个惯性系测量相同事件的时空坐标和时空间隔都适用；,本征长度（或静止长度、固有长度）,（如何测量？）,（如何测量？）,运动长度必须是运动参照系中同一时刻测得两端点坐标之差,静止时间必须是同一地点测得的时间间隔,65,第十九届第13题（P173）：静长l0 的飞船以恒定速度v相对某惯性系S高速运动，从飞船头部发出一光信号，飞船上观察者认为需经时间 t=_ 到达尾部B；S系中的观察者认为需经时间t=_ 到达尾部B。,解:取飞船
22、为S系，则飞船上观察者求出,根据运动长度收缩效应知，S系中观察者测得飞船长度为：,对吗？,注意：对S的观察者，飞船头部发出光信号和尾部收到光信号肯定不在同一时刻（光信号走的距离飞船动长）。故上式解答错误。,应为：,66,解 (1)根据相对论, 在S系中空心管的长度为:,因此在S系中粒子不动, 管的B端经过粒子时t=0, 则管的A端经过粒子的时刻t1为,粒子相对于S系的速度为,(2) 粒子在管内反射后相对管子的速度为v, 则粒子相对于S系的速度为,在S系粒子从A端到B端所用时间为满足,67,因此, 在S系看粒子从B到A再到端所用时间为,在S系粒子从B端到A端所用时间为,由此可得在S系粒子从A端到
23、B端所用时间为,68,相对论速度正变换,相对论速度逆变换,相对论速度变换在低速极限下回到伽利略变换,07年第24届竞赛中第17题(2)、 04年第21届填空题10、08年填空题12（2）等都要用到相对论速度变换关系。,69,04年第21届填空题10: 两个在同一直线上沿相反方向以速度V飞行的飞船A（向左）、B（向右），飞船A中的观察者看到相对其静止的中子的寿命为，那么飞船B中的观察者看到此中子的寿命为_; A船看到B船的速度为_.,解：取B为S系，S相对于S以V沿x轴正向运动。,飞船B中的观察者看到静止在A中的中子的寿命为：,故A看到B的速度为：,S中A的速度为uA=-V，根据洛伦兹速度变换，
24、 S中A的速度（即B看到A的速度）为：,（即B相对A的速度）,70,相对论的质量,相对论的动量,狭义相对论动力学基础,相对论的能量,在孤立系统内：,也即：,相对论总能量守恒、相对论总质量守恒,不是静质量守恒!,71,71,08年填空题12：惯性系S、S间的相对运动关系如图， 相对速度大小为v。一块匀质平板开始时静止地放在S系的xy平面上，S系测得其质量面密度为0， S系测得其质量面密度便为1=_0. 若平板相对于S系沿x轴正方向以匀速度v运动， S系测得其质量面密度则为2=_0.,解（1）设平板的静质量为m0,静止面积为S0,则,因平板相对于S系以速度 v 沿x轴正向运动，故S测得其面密度为：,72,解（2）若平板相对于S系以速度 v 沿x轴正向运动，而S相对于S又以 v 沿X轴正向运动。,得平板相对于S系的运动速度为：,由（1）的结果求出S系测得其面密度：,根据洛伦兹速度变换：,其中,
