1、 第四章：一次函数一、基本概念（一）变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。例题：在匀速运动公式 中, 表示速度 , 表示时间, 表示在时间 内所走的路vtstst程,则变量是_,常量是_。在圆的周长公式 C=2r 中，变量是_，常量是_.（二）函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 和 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把 x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是 x 的函数。（三）如何判断 Y 是否为 X 的函数，只要看 X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应练习：1、下列四个图形
2、中，不能表示 y 是 x 的函数的是（ ） 2、下列变量之间的关系：（1）多边形的对角线条数与边数；（2）三角形 面积与它的底边长；（3）x-y=3 中的 x 与 y；（4） 中的 y 与 x；32x（5）圆面积与圆的半径。其中成函数关系的有（ ）A2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个（四）如何判断一个函数是否为一次函数：（1）右边是关于 x 的整式（2）自变量 x 的次数为 1（3）自变量 x 的系数 0k练习：1、下列函数（1）y=x (2)y=2x-1 (3)y= (4)y=2-1-3x (5)y=x2-1 中，是一 1x次函数的有（ ）（A）4 个 （B）3 个 （C）2 个 （
3、D）1 个2、下列函数中，x 是自变量，y 是 x 的函数，哪些是一次函数？（1） ；（ 2） ；（3） ；（4）x3y2xy3、已知 是 x 的一次函数，那么 k= .)1(ky4、下列函数： 、 、 、 、 中68x1821x45y2是一次函数的有 ；是正比例函数的有 （只填序号）5、有下列函数： 、 、 、 、 、3xyy)x(8y26、x43y 中是一次函数的有 ；是正比例函数的有 （只填序号）52y6、若函数 是一次函数，则 m ；若此函数是正比例函数，则x)m(m 7、已知函数： 21)0(ym 为何值时，这个函数是一次函数？ m 为何值时，这个函数是正比例函数？解：根据一次函数的
4、定义，可得 m-10 0，所以当 时，这个函数是一次函数。根据正比例函数的定义，可得 m-10 0 且 1-2m 0;所以当 时，这个函数是正比例函数8、当 m 为何值时，函数 是一次函数？)4()2(3mxy（五）如何判断一个函数是正比例函数：（1）自变量的次数为 1（2）自变量的系数 0k（3）常数项 b练习：1、某函数 （m 是常数）是关于 x 的正比例函数，则下列判断正确的xy2)13(是（ ） A、 B、 C、 D、m 为任意实数31m31312、若 与 成正比例，则（ ）y5xA、y 是 x 的一次函数 B、y 与 x 没有函数关系C、y 是 x 的函数，但不是一次函数 D、y 是
5、 x 的正比例函数3、下列函数是正比例函数的是（ ）A、 B、 C、 D、8x8652y15.0xy4、函数 ，当 m 取 时，它是正比例函数12xmy4、当 m 取何值时， 是正比例函数？)2(32y（六）函数自变量的取值范围：整式：自变量取一切实数；分式：分母不为零；偶次方根：被开方数为非负数；零指数与负整数指数幂：底数不为零；在实际问题中，自变量的取值范围必须保证每个量都有意义。例题：一个弹簧，不挂物体时长 12cm,挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例.如果挂上 3kg 物体后，弹簧总长是 13.5cm，求弹簧总长是 y(cm)与所挂物体质量 x(kg)之间的函数关系式
6、.如果弹簧最大总长为 23cm，求自变量 x 的取值范围. 分析：此题由物理的定性问题转化为数学的定量问题，同时也是实际问题，其核心是弹簧的总长是空载长度与负载后伸长的长度之和，而自变量的取值范围则可由最大总长最大伸长最大质量及实际的思路来处理. 解：由题意设所求函数为 y=kx+12 则 13.5=3k+12，得 k=0.5 所求函数解析式为 y=0.5x+12 由 23=0.5x+12 得：x=22 自变量 x 的取值范围是 0x22 练习：1、下列函数中，自变量 x 的取值范围是 x2 的是（ ）A、y= B、y= C、y= D、y= 21224x2x2、下列函数中自变量的取值范围是全体
7、实数的是（ ）A、 B、 C、 D、841xy75xyxy12xy3、已知函数 ，当 时， y 的取值范围是 （ ）21A. B. C. D.325yy253253y4、函数 中的自变量 x 的取值范围是（ ）1xA、 B、 C、 D、 且010x0x14、函数 中自变量 x 的取值范围是_5y5、函数 中，自变量 x 的取值范围是 21x（7）函数解析式（表达式/关系式）：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。（八）函数的表示方法列表法：用 列出自变量与因变量的对应值，表示两个变量之间的关系。关系式法：用 表示两个变量之间的函数关系。图象法：用 表示两个变量之间的函数关系
8、。函数的三种表示方法的优缺点是什么？列表法：对应关系明确、实用，但数据有限，规律不明显。关系式法：全面、准确，但较抽象。图象法：直观、形象、规律明显，但不精确。（九）函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象（十）描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。2、一次函数与正比例函数的图象
9、及性质1、正比例函数表达式：y=kx （ ）0k图象：过（0，0）、（1，k）两点的一条直线性质：（1）当 k0 时，图像经过一、三象限，y 随 x 的增大而增大（2）当 k0 时，将直线 y=kx 的图象向上平移 b 个单位得到 y=kxb；当 b0 b0图象从左到右上升，y 随 x 的增大而增大经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限ky2，则 x1 与 x2 的大小关系是（ ）A. x1x2 B. x10，且 y 随 x 的增大而减小，则此函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4、若 是正比例函数，则 b 的值是 （
10、）23yxbA.0 B. C. D.2323325、函数 y=(k-1)x， y 随 x 增大而减小，则 k 的范围是 ( )A. B. C. D.01k11k6、东方超市鲜鸡蛋每个 0.4 元，那么所付款 y 元与买鲜鸡蛋个数 x（个）之间的函数关系式是_7、平行四边形相邻的两边长为 x、 y，周长是 30，则 y 与 x 的函数关系式是_8、若关于 x 的函数 是一次函数，则 m= ， n .1()myn9、函数 y=ax+b 与 y=bx+a 的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（ ）10、若直线 和直线 的交点坐标为 ( ),则 _.axybxy8,mba11、已知函数 y3 x+1
11、，当自变量增加 m 时，相应的函数值增加（ ）3 m+1 3 m m 3 m112、若 m0, n0, 则一次函数 y=mx+n 的图象不经过 （ ）A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限13、一条直线 ，其中 ，那么该直线经过（ ）bkxy6,5kbA、第二、四象限 B、第一、二、三象限C、第一、三象限 D、第二、三、四象限14、判断点 A（2，4），B（-2，5）是否在函数 y=3x-2 的图象上。解：当 x=2 时，y= ； 当 x=-2 时，y= 。所以点 A（2，4） ；点 B（-2，5） 。15、已知点 A（a+2，1-a）在函数 y=2x+1 的图象上，求 a
12、的值。（分析：因为点 A 在函数 y=2x+1 的图象上，所以点 A 的坐标满足函数的关系式，即将x=a+2，y=1-a 代入中，即可求出 a 的值）解：根据题意得， 解得：a= 。16、下列各点：（1，2）、（-2，1）、（1，-2）、（-1， ），在函数 y=2x 图象上的有： 21。17、一次函数 y=-3x-4 与 x 轴交于 ，与 y 轴交于 。18、已知一次函数 y=3x+1 经过点（a，1）和点（-2，b），则 a= ，b= 。19、函数 y=2x 和 y=ax+4 的图象交于点 A（m，3）则 a 的值为 。20、已知直线 y=-2x+4，它与 x 轴的交点为 A，与 y 轴的
13、交点为 B。（1）求 A、B 两点的坐标；（2）求AOB 的面积（O 为坐标原点）；（3）求点 O 到 AB 的距离（提示：点在坐标轴上，纵（横）为 0，从而可得 A、B 的坐标；再求出 OA、OB 的长度，从而得面积；再根据面积相等可得点 O 到 AB 的距离）解：21、若一次函数y=-x+b的图象经过点（0，-3），求b的值22、若函数y=-2mx-（m 2-9）的图象经过原点，求m的值23、求直线y=2x+4与x轴和y轴的交点坐标24、已知y=-2x-1的图象上有一点P（-1，k），求点P到x轴，y轴的距离5、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：确定一次函数的表达式： 已知点 A（x1
14、，y1）；B（x2，y2），请确定过点 A、B 的一次函数表达式。 （1）设设一次函数的表达式（也叫解析式）为 y=kx+b。 （2）代因为在一次函数上的任意一点 P（x，y），都满足等式 y=kx+b。所以可以列出 2 个方程：y1=kx1+b 和 y2=kx2+b （3）求解这个二元一次方程，得到 k，b 的值。 （4）写最后得到一次函数的表达式。 练习：1、已知一次函数 ykx+b 的图象经过点（2，5），并且与 y 轴相交于点 P，直线y x+3 与 y 轴相交于点 Q，点 Q 恰与点 P 关于 x 轴对称，求这个一次函数的表达式。22、某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的
15、行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用 y 元是行李质量 x(千克)的一次函数，其图象如下图所示(1)写出 y 与 x 之间的函数关系式；(2)旅客最多可免费携带多少千克行李？3、 已知一次函数的图象经过点（2，1）和（1，3）。（1）求此一次函数的解析式；（2）求此一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积；（3）若一条直线与此一次函数的图象相交于（2， a）且与 y 轴交点的纵坐标为 5，求这条直线的解析式。4、已知一次函数 的图像过点（0,2），且与两坐标轴围成的三角形的面积为 2，求)0(kbxy此一次函数的表达式。5、已知正比例函数的图象经过点 A（-2，-3），求正比例函
16、数的表达式。6、已知 y 是 x 的一次函数，并且当 时， ；当 时， ，求它的表达式。0x1y2x3y7、已知直线 y=kx+b 经过点（1，2）和点（-1，4）（1）求这条直线的解析式；（2）在平面直角坐标系中画出该函数的图象；（3）求图象与坐标轴围成的三角形的面积。8、在弹性限度内，弹簧的长度 y（cm）是所挂物体质量 x（kg）的一次函数。一根弹簧不挂物体时长为 9cm；当所挂物体的质量为 3kg 时，弹簧长为 12cm。写出 y 与 x 之间的关系式，并求出所挂物体的质量为 6kg 时弹簧的长度。9、如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 与 x 轴、y 轴分别相交于点 A 和点 B，23y1直线 经过点 C（1，0）且与线段 AB 交于点 P，并把ABO 分成两部分。bkxy2求ABO 的面积；若ABO 被直线 CP 分成的两部分的面积相等，求点 P 的坐标及直线CP 的函数表达式。10、如图，矩形 OABC 中，O 为直角坐标系的原点，A、C 两点的坐标分别为（3，0）、（0，5）。（1）直接写出 B 点坐标；（2）若过点 C 的直线 CD 交 AB 边于点 D，且把矩形 OABC 的周长分为 13 两部分，求直线 CD 的解析式；
