1、第 1 页 共 12 页 选修 1-1 第三章导数及其应用3.1 变化率与导数【知识要点】 导数的定义： 00 00limlimx xfxfffxf 导数的几何意义：函数 在点 处的导数，就是曲线 在点 处yf0yf0,Pxf的切线的斜率 求导数的三个步骤：（1）求函数的增量 ；00yfxfx（2）求平均变化率 ；（3）取极限，得导数 0limxyf【例题精讲】【例 1】利用导数的定义求函数 的导数，并求该函数在 x=3 处的导数值2y【例 2】已知曲线 ，及该曲线上的一点 ，1+yx52,A（1）用导数的定义求点 A 处的切线的斜率； （2）求点 A 处的切线方程第 2 页 共 12 页 【
2、例 3】质点 M 按规律 作直线运动（位移单位：cm ，时间单位：s），求质点 M 在 t=22+3st秒时的瞬时速度【例 4】已知 在 x=a 处可导，且 ，求下列极限：f fab（1） ； （2） 03lim2hfh20limhfaf【基础达标】1在导数的定义中，自变量 x 的增量 （ ）A大于 0 B小于 0 C等于 0 D不等于 02在曲线 的图象上取一点（1，2）及邻近一点（1+ ，2+ ），则 为（ ）+yx xyxA B C D12x212+3一直线运动的物体，从时间 t 到 时，物体的位移为 ，那么 为（ ）ts0limtsA从时间 t 到 时，物体的平均速度 B时间 t 时该
3、物体的瞬时速度tC当时间为 时该物体的速度 D从时间 t 到 时位移的平均变化率 t4已知一物体的运动方程是 （其中位移单位：m，时间单位：s），那么该物体在 3s21st时的瞬时速度是（ ）A5m/s B6m/s C7m/s D8m/s第 3 页 共 12 页 5设函数 在 处可导，则 等于（ ）fx000limxfxfA B C D0f 0f 0f 0fx6若 ，则 等于 02lim13xx0fx7抛物线 在点 P（2，1）处的切线方程是 4y15 DCBAB 6、 7、xy1=0 【能力提高】8用导数的定义求函数 的导数1yx9（1）一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离 h（单位：
4、m）与时间 t（单位：s）之间的函数关系为 ，求 t = 4s 时，此球在垂直方向的瞬时速度2h（2）质点 P 在半径为 10cm，圆心在原点的圆上逆时针做匀角速运动，角速度为 1rad/s，设该圆与x 轴正半轴的交点 A 为起始点，求时刻 t 时，点 P 在 y 轴上射影点 M 的速度10观察 ， ， ，是否可判断，可导的偶函数的导函1nxsincosxsinx数是奇函数，可导的奇函数的导函数是偶函数3.2 导数的计算第 4 页 共 12 页 【知识要点】 几种常用函数的导数：c =0（c 是常数）； ； ；1nxsincosx； ； ； ； osinxxelxal 1lglnax 导数的四
5、则运算法则： ； ； ；特别uvuv20uv地，若 c 为常数，则 c【例题精讲】【例 1】求下列函数的导数：（1） ； （2） 231yxcosinxyex【例 2】已知函数 ，且 ，求 x02138fxx0=4f【例 3】（1）求曲线 在点（1，1）处的切线方程；（2）运动物体在曲线xy上运动，求物体在 t=3s 时的速度（位移单位：m，时间单位：s）2tSt第 5 页 共 12 页 【例 4】设函数 ，点 在曲线 上，求曲线上在点 P1fx00,1Pxyyfx处的切线与 x 轴、y 轴的正半轴所围成的三角形面积的表达式（用 表示）0【基础达标】1函数 y=3x (x1) 2 的导数是（
6、）A5+2x B54x C52x D5+4x2已知 f (x) =ax3+3x2+2，若 ，则 a 的值等于（ ）1=fA B C D19031633若 ，则 （ ）2sinyxyA2x sin x Bx 2 cos x C2x cos x+x2 cos x D2x sin x+x2 cos x4抛物线 y=x2 上点 的切线的倾斜角是（ ）1,4MA30 B45 C60 D905函数 y=ax2 1 的图象与直线 y=x 相切，则 a=（ ）第 6 页 共 12 页 A B C D18141216已知曲线 ，则过点 P(2，4) 的切线方程是 3=+yx7垂直于直线 2x6y +1=0，且与
7、曲线 相切的直线的方程是 32=+5yx15 CBDBB 6、4x y 4=0 7、3x +y+6=0【能力提高】8求曲线 y=sin x，（1）在点 处的切线方程；（2）在点 处的切线方程,1A 3,2B9已知两曲线 y=x3+ax 和 y=x2+bx+c 都经过点 P（1，2），且在点 P 处有公切线，试求 a，b，c 的值10有一个长度为 5m 的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以 3m/s 的速度离开墙脚滑动， 求当其下端离开墙脚 1.4m 时，梯子上端下滑的速度3.3.1 函数的单调性与导数【知识要点】 导数与函数单调性关系：如果函数 y=f (x)在某个区间内可导，那么若 ，
8、则函数 y=f (x)在0fx该区间内是增函数；若 ，则函数 y=f (x)在该区间内是减函数；若 ，函数0f第 7 页 共 12 页 y=f (x)在该区间内是常数函数 求解函数 y=f (x)单调区间的步骤：（1）确定 y=f (x)的定义域；（2）求导数 ；yfx（3）解不等式 ，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式 ，解0 0集在定义域内的部分为减区间【例题精讲】【例 1】求下列函数的单调区间（1）f (x) =2x 36x 2+7，（2）f (x )=ln x+2x2【例 2】已知 在区间 1，1上是增函数，求实数 a 的取值范围23=4fxaxR【例 3】已知函数 的图象如
9、右图所示（其中 是函数 f (x)的导函数），下面四个yxff图象中 y=f (x)的图象大致是（ ） 【C】A B C D 【例 4】设 ， 是 R 上的偶函数，（1）求 a 的值；（2）证明 f (x)在0a=xeaf上是增函数0+，第 8 页 共 12 页 yO 1 2 x【基础达标】1设函数 f (x)在（，）内可导，且恒有 ，则下列结论正确的是（ ）0fxAf (x )在 R 上单调递减 Bf (x)在 R 上是常数Cf (x)在 R 上不单调 Df (x)在 R 上单调递增2若函数 f (x)=x2+bx+c 的图象的顶点在第四象限，则函数 的图象是（ ）fxA B C D3函数
10、f (x)=x ln x 的单调递减区间为（ ）A B C D1,e10,e,e1,e4关于函数 f (x)=2x36x 2+7，下列说法不正确的是（ ）A在区间（ ，0）内，f (x)为增函数 B在区间（0，2）内，f (x)为减函数C在区间（2， ）内，f ( x)为增函数 D在区间 内，f (x) 为增函数,02，5设 是函数 f (x)的导函数， 的图象如下左图，则 y=f(x)的图象最有可能的是（ f yf）A B C D6函数 y=3x x3 在(1，1)内的单调性是 7已知函数 f (x)=ax3+3x2x+1 在 R 上是减函数，则 a 的范围为 yO 1 2 x21yxO 2
11、O x1yyo xyo xyo xyo xx第 9 页 共 12 页 15 DABDC 6、增函数 7、 3a【能力提高】8已知函数 ， ，求 的单调区间和值域24xf0,1fx9证明函数 y=2x3+3x212x+1 在区间（2，1）内是减函数10已知函数 f (x)=x3+bx2+ax+d 的图象过点 P（0，2），且在点 M（1，f （1）处的切线方程为 6xy+7=0 （1）求函数 y=f (x)的解析式；（2）求函数 y=f (x)的单调区间3.3.2 函数的极值与导数【知识要点】 极值定义 求可导函数 f (x)的极值的步骤：第 10 页 共 12 页 （1）求导 ；fx（2）解方
12、程 ；0=（3）检查 在方程 的根左右两边的值的符号，如果左正右负，那么 f (x)在这个fx0fx根处取得极大值；如果左负右正，那么 f (x)在这个根处取得极小值【例题精讲】【例 1】求函数 的极值314yx【例 2】求 y=(x21) 3+1 的极值【例 3】已知 f (x) =ax3+bx2+cx（a 0）在 x=1 时取得极值，且 f (1)=1（1）试求常数 a、b、c 的值；（2）试判断 x=1 是函数的极小值还是极大值，并说明理由 第 11 页 共 12 页 【基础达标】1下列说法正确的是（ ）A当 时，则 f (x0)为 f (x)的极大值 B当 时，则 f (x0)为 f
13、(x)的极小值0=fx 0=fxC当 时，则 f (x0)为 f (x)的极值 D当 f (x0)为函数 f (x)的极值时，则有0fx2函数 y=1+3xx 3 有（ ）A极小值1，极大值 1 B极小值2，极大值 3C极小值2，极大值 2 D极小值1，极大值 33函数 f (x)=x3+ax2+3x9 ，已知 f (x)在 x=3 时取得极值，则 a =（ ）A5 B4 C3 D24函数 f (x)的定义域为 ，且 f (x) 0， ，那么函数 f (x)（ ）0， fA存在极大值 B存在极小值 C是增函数 D是减函数5函数 y=ax3+x+1 有极值的充要条件是（ ）Aa 0 Ba 0 C
14、a 0 Da 06函数 y=x 22x +3 的极大值为 7已知函数 f (x)=x3+ax2+bx+a2 在 x=1 处有极值为 10，则 f (2)等于 15 DDACB 6、4； 7、18 或 11【能力提高】第 12 页 共 12 页 8求函数 y=x327x 的极值9已知函数 f(x)=x3ax 2bxc 在 x= 与 x=1 时都取得极值，求 a、b 的值与函数 f(x)的单调区23间10已知函数 f (x)=ax3+cx+d (a 0)是 R 上的奇函数，当 x=1 时 f (x)取得极值2 （1）求 f(x)的单调区间和极大值；（2）证明对任意 x1， x2 ，不等式,恒成立4
