1、第 1 页（共 32 页）2017 年河北省中考数学试卷一、选择题（本大题共 16 小题，共 42 分。110 小题各 3 分，1116 小题各2 分，小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （3 分）下列运算结果为正数的是（ ）A （ 3） 2 B32 C0（ 2017） D232 （3 分）把 0.0813 写成 a10n（1a10，n 为整数）的形式，则 a 为（ ）A1 B2 C0.813 D8.133 （3 分）用量角器测得MON 的度数，下列操作正确的是（ ）A BC D4 （3 分） =（ ）A B C D第 2 页（共 32 页）5 （3 分）图 1 和图 2 中所
2、有的小正方形都全等，将图 1 的正方形放在图 2 中的某一位置，使它与原来 7 个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是（ ）A B C D6 （3 分）如图为张小亮的答卷，他的得分应是（ ）A100 分 B80 分 C60 分 D40 分7 （3 分）若ABC 的每条边长增加各自的 10%得ABC，则B 的度数与其对应角B 的度数相比（ ）A增加了 10% B减少了 10% C增加了（1+10%） D没有改变8 （3 分）如图是由相同的小正方体木块粘在一起的几何体，它的主视图是（ ）第 3 页（共 32 页）A B C D9 （3 分）求证：菱形的两条对角线互相垂直已知：如图，四边形
3、ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 交于点 O求证：ACBD以下是排乱的证明过程：又 BO=DO；AOBD ，即 ACBD；四边形 ABCD 是菱形；AB=AD证明步骤正确的顺序是（ ）A B C D 10 （3 分）如图，码头 A 在码头 B 的正西方向，甲、乙两船分别从 A，B 同时出发，并以等速驶向某海域，甲的航向是北偏东 35，为避免行进中甲、乙相撞，则乙的航向不能是（ ）A北偏东 55 B北偏西 55 C北偏东 35 D北偏西 3511 （2 分）如图是边长为 10cm 的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据（单位：cm）不正确的是（ ）第 4
4、 页（共 32 页）A B C D12 （2 分）如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的微信对话，根据对话内容，下列选项错误的是（ ）A4 +4 =6 B4+4 0+40=6 C4+ =6 D4 1 +4=613 （2 分）若 = + ，则 中的数是（ ）A 1 B2 C3 D任意实数14 （2 分）甲、乙两组各有 12 名学生，组长绘制了本组 5 月份家庭用水量的统计图表，如图，甲组 12 户家庭用水量统计表用水量（吨） 4 5 6 9户数 4 5 2 1比较 5 月份两组家庭用水量的中位数，下列说法正确的是（ ）第 5 页（共 32 页）A甲组比乙组大 B甲、乙两组相同C乙组比甲组大 D无法判断
5、15 （2 分）如图，若抛物线 y=x2+3 与 x 轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）的个数为 k，则反比例函数 y= （x0）的图象是（ ）A B C D16 （2 分）已知正方形 MNOK 和正六边形 ABCDEF 边长均为 1，把正方形放在正六边形中，使 OK 边与 AB 边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点 B 顺时针旋转，使 KM 边与 BC 边重合，完成第一次第 6 页（共 32 页）旋转；再绕点 C 顺时针旋转，使 MN 边与 CD 边重合，完成第二次旋转；在这样连续 6 次旋转的过程中，点 B，M 间的距离可能是（ ）A1.4 B
6、1.1 C0.8 D0.5二、填空题（本大题共 3 小题，共 10 分。1718 小题各 3 分；19 小题有 2 个空，每空 2 分。把答案写在题中横线上）17 （3 分）如图，A，B 两点被池塘隔开，不能直接测量其距离于是，小明在岸边选一点 C，连接 CA，CB，分别延长到点 M，N，使 AM=AC，BN=BC，测得 MN=200m，则 A，B 间的距离为 m18 （3 分）如图，依据尺规作图的痕迹，计算= 19 （4 分）对于实数 p，q ，我们用符号 minp，q表示 p，q 两数中较小的数，如 min1，2 =1，因此，min ， = ；若 min（x1） 2，x 2=1，则x= 三
7、、解答题（本大题共 7 小题，共 68 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）第 7 页（共 32 页）20 （8 分）在一条不完整的数轴上从左到右有点 A，B，C，其中AB=2，BC=1，如图所示，设点 A，B ，C 所对应数的和是 p（1）若以 B 为原点，写出点 A，C 所对应的数，并计算 p 的值；若以 C 为原点，p 又是多少？（2）若原点 O 在图中数轴上点 C 的右边，且 CO=28，求 p21 （9 分）编号为 15 号的 5 名学生进行定点投篮，规定每人投 5 次，每命中 1 次记 1 分，没有命中记 0 分，如图是根据他们各自的累积得分绘制的条形统计图之后来了第 6
8、号学生也按同样记分规定投了 5 次，其命中率为 40%（1）求第 6 号学生的积分，并将图增补为这 6 名学生积分的条形统计图；（2）在这 6 名学生中，随机选一名学生，求选上命中率高于 50%的学生的概率；（3）最后，又来了第 7 号学生，也按同样记分规定投了 5 次，这时 7 名学生积分的众数仍是前 6 名学生积分的众数，求这个众数，以及第 7 号学生的积分22 （9 分）发现 任意五个连续整数的平方和是 5 的倍数验证 （1） （1） 2+02+12+22+32 的结果是 5 的几倍？（2）设五个连续整数的中间一个为 n，写出它们的平方和，并说明是 5 的倍数延伸 任意三个连续整数的平方
9、和被 3 除的余数是几呢？请写出理由23 （9 分）如图，AB=16，O 为 AB 中点，点 C 在线段 OB 上（不与点 O，B 重合） ，将 OC 绕点 O 逆时针旋转 270后得到扇形 COD，AP，BQ 分别切优弧 于点 P， Q，且点 P，Q 在 AB 异侧，连接 OP（1）求证：AP=BQ；（2）当 BQ=4 时，求 的长（结果保留 ） ；第 8 页（共 32 页）（3）若APO 的外心在扇形 COD 的内部，求 OC 的取值范围24 （10 分）如图，直角坐标系 xOy 中，A （0，5） ，直线 x=5 与 x 轴交于点D，直线 y= x 与 x 轴及直线 x=5 分别交于点
10、C，E ，点 B，E 关于 x 轴对称，连接 AB（1）求点 C， E 的坐标及直线 AB 的解析式；（2）设面积的和 S=SCDE +S 四边形 ABDO，求 S 的值；（3）在求（2）中 S 时，嘉琪有个想法： “将CDE 沿 x 轴翻折到CDB 的位置，而CDB 与四边形 ABDO 拼接后可看成AOC，这样求 S 便转化为直接求AOC的面积不更快捷吗？” 但大家经反复演算，发现 SAOC S ，请通过计算解释他的想法错在哪里25 （11 分）平面内，如图，在ABCD 中，AB=10，AD=15 ，tanA= ，点 P 为AD 边上任意点，连接 PB，将 PB 绕点 P 逆时针旋转 90得
11、到线段 PQ（1）当DPQ=10时，求APB 的大小；（2）当 tanABP：tanA=3：2 时，求点 Q 与点 B 间的距离（结果保留根号） ；（3）若点 Q 恰好落在ABCD 的边所在的直线上，直接写出 PB 旋转到 PQ 所扫过的面积 （结果保留 ）第 9 页（共 32 页）26 （12 分）某厂按用户的月需求量 x（件）完成一种产品的生产，其中x0，每件的售价为 18 万元，每件的成本 y（万元）是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量 x（件）成反比，经市场调研发现，月需求量 x 与月份 n（n 为整数，1n12） ，符合关系式 x=2n22kn+9（k +3）（
12、k 为常数） ，且得到了表中的数据月份 n（月） 1 2成本 y（万元/件） 11 12需求量 x（件/月） 120 100（1）求 y 与 x 满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是 12 万元；（2）求 k，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；（3）在这一年 12 个月中，若第 m 个月和第（m+1）个月的利润相差最大，求m第 10 页（共 32 页）2017 年河北省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 16 小题，共 42 分。110 小题各 3 分，1116 小题各2 分，小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （3 分） （2017河北）下列运算结果为
13、正数的是（ ）A （ 3） 2 B32 C0（ 2017） D23【解答】解：A、原式=9，符合题意；B、原式= 1.5，不符合题意；C、原式=0，不符合题意，D、原式=1，不符合题意，故选 A2 （3 分） （2017河北）把 0.0813 写成 a10n（1 a10，n 为整数）的形式，则 a 为（ ）A1 B2 C0.813 D8.13【解答】解：把 0.0813 写成 a10n（1a10，n 为整数）的形式，则 a 为8.13，故选：D3 （3 分） （2017河北）用量角器测得MON 的度数，下列操作正确的是（ ）A B第 11 页（共 32 页）C D【解答】解：量角器的圆心一定要
14、与 O 重合，故选 C4 （3 分） （2017河北） =（ ）A B C D【解答】解： = 故选：B5 （3 分） （2017河北）图 1 和图 2 中所有的小正方形都全等，将图 1 的正方形放在图 2 中的某一位置，使它与原来 7 个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是（ ）第 12 页（共 32 页）A B C D【解答】解：当正方形放在的位置，即是中心对称图形故选：C6 （3 分） （2017河北）如图为张小亮的答卷，他的得分应是（ ）A100 分 B80 分 C60 分 D40 分【解答】解：1 的绝对值为 1，2 的倒数为 ，2 的相反数为 2，1 的立方根为 1，1 和
15、 7 的平均数为 3，故小亮得了 80 分，故选 B7 （3 分） （2017河北）若ABC 的每条边长增加各自的 10%得ABC ，则B 的度数与其对应角B 的度数相比（ ）A增加了 10% B减少了 10% C增加了（1+10%） D没有改变【解答】解：ABC 的每条边长增加各自的 10%得ABC，ABC 与ABC的三边对应成比例，ABCABC，第 13 页（共 32 页）B=B故选 D8 （3 分） （2017河北）如图是由相同的小正方体木块粘在一起的几何体，它的主视图是（ ）A B C D【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边两个小正方形，故选：A9 （3 分） （201
16、7河北）求证：菱形的两条对角线互相垂直已知：如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 交于点 O求证：ACBD以下是排乱的证明过程：又 BO=DO；AOBD ，即 ACBD；四边形 ABCD 是菱形；AB=AD证明步骤正确的顺序是（ ）第 14 页（共 32 页）A B C D 【解答】证明：四边形 ABCD 是菱形，AB=AD，对角线 AC，BD 交于点 O，BO=DO，AOBD，即 ACBD，证明步骤正确的顺序是 ，故选 B10 （3 分） （2017河北）如图，码头 A 在码头 B 的正西方向，甲、乙两船分别从 A，B 同时出发，并以等速驶向某海域，甲的航向是北偏东 35，为避
17、免行进中甲、乙相撞，则乙的航向不能是（ ）A北偏东 55 B北偏西 55 C北偏东 35 D北偏西 35【解答】解：甲的航向是北偏东 35，为避免行进中甲、乙相撞，乙的航向不能是北偏西 35，故选 D11 （2 分） （2017河北）如图是边长为 10cm 的正方形铁片，过两个顶点剪掉第 15 页（共 32 页）一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据（单位：cm）不正确的是（ ）A B C D【解答】解：选项 A 不正确理由正方形的边长为 10，所以对角线=10 14，因为 1514 ，所以这个图形不可能存在故选 A12 （2 分） （2017河北）如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的微
18、信对话，根据对话内容，下列选项错误的是（ ）A4 +4 =6 B4+4 0+40=6 C4+ =6 D4 1 +4=6【解答】解：4+4 =6，选项 A 不符合题意；4+4 0+40=6，第 16 页（共 32 页）选项 B 不符合题意；4+ =6，选项 C 不符合题意；4 1 +4=4 ，选项 D 符合题意故选：D13 （2 分） （2017河北）若 = + ，则 中的数是（ ）A 1 B2 C3 D任意实数【解答】解： = + ， = = = =2，故_中的数是2故选：B14 （2 分） （2017河北）甲、乙两组各有 12 名学生，组长绘制了本组 5 月份家庭用水量的统计图表，如图，甲组
19、 12 户家庭用水量统计表用水量（吨） 4 5 6 9户数 4 5 2 1比较 5 月份两组家庭用水量的中位数，下列说法正确的是（ ）第 17 页（共 32 页）A甲组比乙组大 B甲、乙两组相同C乙组比甲组大 D无法判断【解答】解：由统计表知甲组的中位数为 =5（吨） ，乙组的 4 吨和 6 吨的有 12 =3（户） ，7 吨的有 12 =2 户，则 5 吨的有 12（3+3 +2）=4 户，乙组的中位数为 =5（吨） ，则甲组和乙组的中位数相等，故选：B15 （2 分） （2017河北）如图，若抛物线 y=x2+3 与 x 轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）的个数为
20、k，则反比例函数y= （x0）的图象是（ ）A B C D第 18 页（共 32 页）【解答】解：抛物线 y=x2+3，当 y=0 时，x= ；当 x=0 时，y=3，则抛物线 y=x2+3 与 x 轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）为（1，1） ， （0，1） ， （0，2） ， （1，1） ；共有 4 个，k=4；故选：D16 （2 分） （2017河北）已知正方形 MNOK 和正六边形 ABCDEF 边长均为 1，把正方形放在正六边形中，使 OK 边与 AB 边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点 B 顺时针旋转，使 KM 边与 BC 边重合，
21、完成第一次旋转；再绕点 C 顺时针旋转，使 MN 边与 CD 边重合，完成第二次旋转；在这样连续 6 次旋转的过程中，点 B，M 间的距离可能是（ ）A1.4 B1.1 C0.8 D0.5【解答】解：如图，在这样连续 6 次旋转的过程中，点 M 的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点 B，M 间的距离大于等于 2 小于等于 1，故选 C第 19 页（共 32 页）二、填空题（本大题共 3 小题，共 10 分。1718 小题各 3 分；19 小题有 2 个空，每空 2 分。把答案写在题中横线上）17 （3 分） （2017河北）如图，A ，B 两点被池塘隔开，不能直接测量其距离于是，小明在岸边选
22、一点 C，连接 CA，CB，分别延长到点 M，N，使AM=AC，BN=BC，测得 MN=200m，则 A，B 间的距离为 100 m【解答】解：AM=AC ，BN=BC ，AB 是ABC 的中位线，AB= MN=100m，故答案为：10018 （3 分） （2017河北）如图，依据尺规作图的痕迹，计算= 56 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形，第 20 页（共 32 页）ADBC，DAC=ACB=68由作法可知，AF 是DAC 的平分线，EAF= DAC=34由作法可知，EF 是线段 AC 的垂直平分线，AEF=90 ，AFE=90 34=56，=56故答案为：5619 （4 分） （20
23、17河北）对于实数 p，q，我们用符号 minp，q表示 p，q 两数中较小的数，如 min1，2=1 ，因此，min ， = ；若min（x1） 2，x 2=1，则 x= 2 或 1 【解答】解：min ， = ，min（x1） 2，x 2=1，当 x=0.5 时， x2=（x1） 2，不可能得出，最小值为 1，当 x0.5 时， （x1） 2x 2，则（x1） 2=1，x1=1，x1=1， x1=1，第 21 页（共 32 页）解得：x 1=2， x2=0（不合题意，舍去） ，当 x0.5 时， （x1） 2x 2，则 x2=1，解得：x 1=1（不合题意，舍去） ，x 2=1，故答案为：
24、 ；2 或1三、解答题（本大题共 7 小题，共 68 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20 （8 分） （2017河北）在一条不完整的数轴上从左到右有点 A，B，C，其中AB=2，BC=1，如图所示，设点 A，B ，C 所对应数的和是 p（1）若以 B 为原点，写出点 A，C 所对应的数，并计算 p 的值；若以 C 为原点，p 又是多少？（2）若原点 O 在图中数轴上点 C 的右边，且 CO=28，求 p【解答】解：（1）若以 B 为原点，则 C 表示 1，A 表示 2，p=1+02=1；若以 C 为原点，则 A 表示3，B 表示1，p=31+0=4；（2）若原点 O 在图中数轴上
25、点 C 的右边，且 CO=28，则 C 表示28 ，B 表示29，A 表示31，p=3129 28=8821 （9 分） （2017河北）编号为 15 号的 5 名学生进行定点投篮，规定每人投 5 次，每命中 1 次记 1 分，没有命中记 0 分，如图是根据他们各自的累积得分绘制的条形统计图之后来了第 6 号学生也按同样记分规定投了 5 次，其命第 22 页（共 32 页）中率为 40%（1）求第 6 号学生的积分，并将图增补为这 6 名学生积分的条形统计图；（2）在这 6 名学生中，随机选一名学生，求选上命中率高于 50%的学生的概率；（3）最后，又来了第 7 号学生，也按同样记分规定投了
26、5 次，这时 7 名学生积分的众数仍是前 6 名学生积分的众数，求这个众数，以及第 7 号学生的积分【解答】解：（1）第 6 名学生命中的个数为 540%=2，则第 6 号学生的积分为 2 分，补全条形统计图如下：（2）这 6 名学生中，命中次数多于 550%=2.5 次的有 2、3、4、5 号这 4 名学生，选上命中率高于 50%的学生的概率为 = ；（3）由于前 6 名学生积分的众数为 3 分，第 7 号学生的积分为 3 分或 0 分22 （9 分） （2017河北）发现 任意五个连续整数的平方和是 5 的倍数验证 （1） （1） 2+02+12+22+32 的结果是 5 的几倍？第 23
27、 页（共 32 页）（2）设五个连续整数的中间一个为 n，写出它们的平方和，并说明是 5 的倍数延伸 任意三个连续整数的平方和被 3 除的余数是几呢？请写出理由【解答】解：发现任意五个连续整数的平方和是 5 的倍数验证（1） （1） 2+02+12+22+32=1+0+1+4+9=15，15 5=3，即（1） 2+02+12+22+32 的结果是 5 的 3 倍；（2）设五个连续整数的中间一个为 n，则其余的 4 个整数分别是n2，n 1，n+ 1，n+2，它们的平方和为：（n2） 2+（n 1） 2+n2+（n+1） 2+（n +2） 2=n24n+4+n22n+1+n2+n2+2n+1+n
28、2+4n+4=5n2+10，5n 2+10=5（n 2+2） ，又 n 是整数，n 2+2 是整数，五个连续整数的平方和是 5 的倍数；延伸设三个连续整数的中间一个为 n，则其余的 2 个整数是 n1，n+1，它们的平方和为：（n1） 2+n2+（n +1） 2=n22n+1+n2+n2+2n+1=3n2+2，n 是整数，n 2 是整数，任意三个连续整数的平方和被 3 除的余数是 2第 24 页（共 32 页）23 （9 分） （2017河北）如图，AB=16 ，O 为 AB 中点，点 C 在线段 OB 上（不与点 O，B 重合） ，将 OC 绕点 O 逆时针旋转 270后得到扇形 COD，A
29、P，BQ 分别切优弧 于点 P，Q ，且点 P，Q 在 AB 异侧，连接 OP（1）求证：AP=BQ；（2）当 BQ=4 时，求 的长（结果保留 ） ；（3）若APO 的外心在扇形 COD 的内部，求 OC 的取值范围【解答】 （1）证明：连接 OQAP、 BQ 是 O 的切线，OPAP ，OQBQ ，APO=BQO=90，在 RtAPO 和 RtBQO 中，RtAPORt BQO，AP=BQ（2）Rt APORt BQO，AOP=BOQ，P、O、Q 三点共线，第 25 页（共 32 页）在 RtBOQ 中，cosB= = = ，B=30，BOQ=60 ，OQ= OB=4，COD=90，QOD
30、=90+60=150，优弧 的长= = ，（3）APO 的外心是 OA 的中点，OA=8 ，APO 的外心在扇形 COD 的内部时，OC 的取值范围为 4OC824 （10 分） （2017河北）如图，直角坐标系 xOy 中，A（0，5） ，直线 x=5 与x 轴交于点 D，直线 y= x 与 x 轴及直线 x=5 分别交于点 C，E，点 B，E 关于x 轴对称，连接 AB（1）求点 C， E 的坐标及直线 AB 的解析式；（2）设面积的和 S=SCDE +S 四边形 ABDO，求 S 的值；（3）在求（2）中 S 时，嘉琪有个想法： “将CDE 沿 x 轴翻折到CDB 的位置，而CDB 与四
31、边形 ABDO 拼接后可看成AOC，这样求 S 便转化为直接求AOC的面积不更快捷吗？” 但大家经反复演算，发现 SAOC S ，请通过计算解释他的想法错在哪里【解答】解：（1）在直线 y= x 中，第 26 页（共 32 页）令 y=0，则有 0= x ，x=13 ，C （13 ，0） ，令 x=5，则有 y= （5） =3，E （ 5，3） ，点 B，E 关于 x 轴对称，B（5，3 ） ，A（0，5 ） ，设直线 AB 的解析式为 y=kx+5，5k+5=3，k= ，直线 AB 的解析式为 y= x+5；（2）由（1）知，E（5，3） ，DE=3 ，C （13 ，0） ，CD=5（13）
32、=8，S CDE = CDDE=12，由题意知，OA=5，OD=5，BD=3，S 四边形 ABDO= （BD +OA）OD=20 ，S=S CDE+S 四边形 ABDO=12+20=32，（3）由（2）知，S=32，在AOC 中，OA=5，OC=13，第 27 页（共 32 页）S AOC = OAOC= =32.5，SS AOC ，理由：由（1）知，直线 AB 的解析式为 y= x+5，令 y=0，则 0= x+5，x= 13，点 C 不在直线 AB 上，即：点 A，B，C 不在同一条直线上，S AOC S25 （11 分） （2017河北）平面内，如图，在ABCD 中，AB=10，AD=1
33、5，tanA=，点 P 为 AD 边上任意点，连接 PB，将 PB 绕点 P 逆时针旋转 90得到线段PQ（1）当DPQ=10时，求APB 的大小；（2）当 tanABP：tanA=3：2 时，求点 Q 与点 B 间的距离（结果保留根号） ；（3）若点 Q 恰好落在ABCD 的边所在的直线上，直接写出 PB 旋转到 PQ 所扫过的面积 （结果保留 ）【解答】解：（1）如图 1 中，第 28 页（共 32 页）当点 Q 在平行四边形 ABCD 内时，APB=180QPB QPD=18090 10=80，当点 Q 在平行四边形 ABCD 外时，APB=180（QPBQPD ）=180（9010）=
34、100 ，综上所述，当DPQ=10时，APB 的值为 80或 100（2）如图 2 中，连接 BQ，作 PEAB 于 EtanABP ： tanA=3：2， tanA= ，tanABP=2 ，在 RtAPE 中，tanA= = ，设 PE=4k，则 AE=3k，在 RtPBE 中，tanABP= =2，EB=2k，AB=5k=10，第 29 页（共 32 页）k=2，PE=8，EB=4，PB= =4 ，BPQ 是等腰直角三角形，BQ= PB=4 （3）如图 3 中，当点 Q 落在直线 BC 上时，作 BEAD 于 E，PFBC 于F则四边形 BEPF 是矩形在 RtAEB 中， tanA= = ，AB=10，BE=8，AE=6，PF=BE=8，BPQ 是等腰直角三角形，PF BQ ，PF=BF=FQ=8 ，PB=PQ=8 ，PB 旋转到 PQ 所扫过的面积= =32如图 4 中，当点 Q 落在 CD 上时，作 BEAD 于 E，QF AD 交 AD 的延长线于F设 PE=x第 30 页（共 32 页）易证PBEQPF，PE=QF=x，EB=PF=8 ，DF=AE +PE+PFAD=x1，CDAB，FDQ=A，tanFDQ=tanA= = ， = ，x=4，PE=4， =4 ，在 RtPEB 中，PB= ， =4 ，PB 旋转到 PQ 所扫过的面积= =20如图 5 中，
