1、第 1 页（共 24 页）2016 年河北省中考数学试卷一、 （本大题共 16 小题，共 42 分，1-10 小题各 3 分，11-16 小题各 2 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （3 分） （2016 河北）计算： （1）=（ ）A1 B2 C 1 D12 （3 分） （2016 河北）计算正确的是（ ）A （5） 0=0 Bx 2+x3=x5 C （ab 2） 3=a2b5 D2a 2a1=2a3 （3 分） （2016 哈尔滨）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A B C D4 （3 分） （2016 河北）下列运算结果为 x1 的是（ ）
2、A1 B C D5 （3 分） （2016 河北）若 k0，b0，则 y=kx+b 的图象可能是（ ）A B C D6 （3 分） （2016 河北）关于ABCD 的叙述，正确的是（ ）A若 ABBC ，则ABCD 是菱形 B若 ACBD，则ABCD 是正方形C若 AC=BD，则ABCD 是矩形 D若 AB=AD，则 ABCD 是正方形7 （3 分） （2016 河北）关于 的叙述，错误的是（ ）A 是有理数B面积为 12 的正方形边长是C =2D在数轴上可以找到表示 的点8 （3 分） （2016 河北）图 1 和图 2 中所有的正方形都全等，将图 1 的正方形放在图 2 中的某一位置，所组
3、成的图形不能围成正方体的位置是（ ）第 2 页（共 24 页）A B C D9 （3 分） （2016 河北）如图为 44 的网格图，A ，B，C，D，O 均在格点上，点 O 是（ ）AACD 的外心 B ABC 的外心 CACD 的内心 DABC 的内心10 （3 分） （2016 河北）如图，已知钝角ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹步骤 1：以 C 为圆心，CA 为半径画弧 ；步骤 2：以 B 为圆心，BA 为半径画弧 ，交弧于点 D；步骤 3：连接 AD，交 BC 延长线于点 H下列叙述正确的是（ ）ABH 垂直平分线段 AD BAC 平分BADCS ABC=BCAH DAB=
4、AD11 （2 分） （2016 河北）点 A，B 在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是 a 和b对于以下结论：甲：ba0乙：a+b0丙：|a|b|丁： 0其中正确的是（ ）A甲乙 B丙丁 C甲丙 D乙丁12 （2 分） （2016 河北）在求 3x 的倒数的值时，嘉淇同学误将 3x 看成了 8x，她求得的值比正确答案小 5依上述情形，所列关系式成立的是（ ）A = 5B = +5 C =8x5 D =8x+5第 3 页（共 24 页）13 （2 分） （2016 河北）如图，将ABCD 沿对角线 AC 折叠，使点 B 落在 B处，若1=2=44，则B 为（ ）A66 B104 C114
5、D12414 （2 分） （2016 河北）a ，b，c 为常数，且（ac ） 2a 2+c2，则关于 x 的方程ax2+bx+c=0 根的情况是（ ）A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根C无实数根 D有一根为 015 （2 分） （2016 河北）如图，ABC 中，A=78，AB=4，AC=6将ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）A B C D16 （2 分） （2016 河北）如图，AOB=120，OP 平分AOB，且 OP=2若点 M，N 分别在 OA，OB 上，且PMN 为等边三角形，则满足上述条件的PMN 有（ ）A1 个 B2 个 C3 个
6、 D3 个以上二、填空题（本大题有 3 小题，共 10 分.17-18 小题各 3 分；19 小题有 2 个空，每空 2 分.把答案写在题中横线上）17 （3 分） （2016 贵港）8 的立方根是_18 （3 分） （2016 河北）若 mn=m+3，则 2mn+3m5mn+10=_第 4 页（共 24 页）19 （4 分） （2016 河北）如图，已知AOB=7，一条光线从点 A 出发后射向 OB 边若光线与 OB 边垂直，则光线沿原路返回到点 A，此时A=90 7=83当A83时，光线射到 OB 边上的点 A1 后，经 OB 反射到线段 AO 上的点 A2，易知1=2若 A1A2AO，光
7、线又会沿 A2A1A 原路返回到点 A，此时A=_ 若光线从 A 点出发后，经若干次反射能沿原路返回到点 A，则锐角A 的最小值=_三、解答题（本大题有 7 个小题，共 68 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）20 （9 分） （2016 河北）请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算：（1）999（15）（2）999118 +999（ ） 99918 21 （9 分） （2016 河北）如图，点 B，F ，C ，E 在直线 l 上（F，C 之间不能直接测量） ，点 A，D 在 l 异侧，测得 AB=DE，AC=DF，BF=EC（1）求证：ABCDEF；（2）指出图中所有平行
8、的线段，并说明理由22 （9 分） （2016 河北）已知 n 边形的内角和 =（n2）180（1）甲同学说， 能取 360；而乙同学说， 也能取 630甲、乙的说法对吗？若对，求出边数 n若不对，说明理由；（2）若 n 边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了 360，用列方程的方法确定 x第 5 页（共 24 页）23 （9 分） （2016 河北）如图 1，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面并分别标有数字 1，2，3，4如图 2，正方形 ABCD 顶点处各有一个圈跳圈游戏的规则为：游戏者每掷一次骰子，骰子着地一面上的数字是几，就沿正方形的边顺时针方向连续跳几个边长如：若从圈 A 起跳
9、，第一次掷得 3，就顺时针连续跳 3 个边长，落到圈 D；若第二次掷得2，就从 D 开始顺时针连续跳 2 个边长，落到圈 B；设游戏者从圈 A 起跳（1）嘉嘉随机掷一次骰子，求落回到圈 A 的概率 P1；（2）淇淇随机掷两次骰子，用列表法求最后落回到圈 A 的概率 P2，并指出她与嘉嘉落回到圈 A 的可能性一样吗？24 （10 分） （2016 河北）某商店通过调低价格的方式促销 n 个不同的玩具，调整后的单价 y（元）与调整前的单价 x（元）满足一次函数关系，如表：第 1 个 第 2 个 第 3 个 第 4 个 第 n 个调整前的单价 x（元） x1 x2=6 x3=72 x4 xn调整后的
10、单价 y（元） y1 y2=4 y3=59 y4 yn已知这个 n 玩具调整后的单价都大于 2 元（1）求 y 与 x 的函数关系式，并确定 x 的取值范围；（2）某个玩具调整前单价是 108 元，顾客购买这个玩具省了多少钱？（3）这 n 个玩具调整前、后的平均单价分别为 ， ，猜想 与 的关系式，并写出推导过程25 （10 分） （2016 河北）如图，半圆 O 的直径 AB=4，以长为 2 的弦 PQ 为直径，向点O 方向作半圆 M，其中 P 点在 上且不与 A 点重合，但 Q 点可与 B 点重合发现： 的长与 的长之和为定值 l，求 l：思考：点 M 与 AB 的最大距离为_，此时点 P
11、，A 间的距离为_；点 M 与 AB 的最小距离为_，此时半圆 M 的弧与 AB 所围成的封闭图形面积为_；探究：当半圆 M 与 AB 相切时，求 的长（注：结果保留 ，cos35= ，cos55= ）第 6 页（共 24 页）26 （12 分） （2016 河北）如图，抛物线 L：y= （x t） （xt+4） （常数 t0）与 x 轴从左到右的交点为 B，A，过线段 OA 的中点 M 作 MPx 轴，交双曲线 y= （k0，x0）于点 P，且 OAMP=12，（1）求 k 值；（2）当 t=1 时，求 AB 的长，并求直线 MP 与 L 对称轴之间的距离；（3）把 L 在直线 MP 左侧部
12、分的图象（含与直线 MP 的交点）记为 G，用 t 表示图象 G 最高点的坐标；（4）设 L 与双曲线有个交点的横坐标为 x0，且满足 4x 06，通过 L 位置随 t 变化的过程，直接写出 t 的取值范围第 7 页（共 24 页）2016 年河北省中考数学试卷参考答案与试题解析一、 （本大题共 16 小题，共 42 分，1-10 小题各 3 分，11-16 小题各 2 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （3 分） （2016 河北）计算： （1）=（ ）A1 B2 C 1 D1【分析】直接利用相反数的定义得出答案【解答】解：（ 1）=1故选：D2 （3 分） （20
13、16 河北）计算正确的是（ ）A （5） 0=0 Bx 2+x3=x5 C （ab 2） 3=a2b5 D2a 2a1=2a【分析】根据零指数幂的性质，幂的乘方和积的乘方的计算法则，单项式乘以单项式的法则计算即可【解答】解：A、 （5） 0=1，故错误，B、x 2+x3，不是同类项不能合并，故错误；C、 （ab 2） 3=a3b6，故错误；D、2a 2a1=2a 故正确故选 D3 （3 分） （2016 哈尔滨）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A B C D【分析】依据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义回答即可【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故 A 错误
14、；B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故 B 错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故 C 错误；D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故 D 正确故选：D4 （3 分） （2016 河北）下列运算结果为 x1 的是（ ）A1 B C D第 8 页（共 24 页）【分析】根据分式的基本性质和运算法则分别计算即可判断【解答】解：A、1 = ，故此选项错误；B、原式= =x1，故此选项正确；C、原式= （x1）= ，故此选项错误；D、原式= =x+1，故此选项错误；故选：B5 （3 分） （2016 河北）若 k0，b0，则 y=kx+b 的图象可能是（ ）A B C D【分析】当 b0 时，
15、 （0，b）在 y 轴的负半轴，直线与 y 轴交于负半轴【解答】解：因为 b0 时，直线与 y 轴交于负半轴，故选 B6 （3 分） （2016 河北）关于ABCD 的叙述，正确的是（ ）A若 ABBC ，则ABCD 是菱形 B若 ACBD，则ABCD 是正方形C若 AC=BD，则ABCD 是矩形 D若 AB=AD，则 ABCD 是正方形【分析】由菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法得出选项 A、B、D 错误，C 正确；即可得出结论【解答】解：ABCD 中，ABBC，四边形 ABCD 是矩形，不一定是菱形，选项 A 错误；ABCD 中，AC BD，四边形 ABCD 是菱形，不一定是
16、正方形，选项 B 错误；ABCD 中，AC=BD，四边形 ABCD 是矩形，选项 C 正确；ABCD 中，AB=AD，四边形 ABCD 是菱形，不一定是正方形，选项 D 错误；故选：C7 （3 分） （2016 河北）关于 的叙述，错误的是（ ）A 是有理数B面积为 12 的正方形边长是C =2D在数轴上可以找到表示 的点【分析】根据无理数的定义：无理数是开方开不尽的实数或者无限不循环小数或 ；由此即可判定选择项第 9 页（共 24 页）【解答】解：A、 是无理数，原来的说法错误，符合题意；B、面积为 12 的正方形边长是 ，原来的说法正确，不符合题意；C、 =2 ，原来的说法正确，不符合题意
17、；D、在数轴上可以找到表示 的点，原来的说法正确，不符合题意故选：A8 （3 分） （2016 河北）图 1 和图 2 中所有的正方形都全等，将图 1 的正方形放在图 2 中的某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是（ ）A B C D【分析】由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题【解答】解：将图 1 的正方形放在图 2 中的的位置出现重叠的面，所以不能围成正方体，故选：A9 （3 分） （2016 河北）如图为 44 的网格图，A ，B，C，D，O 均在格点上，点 O 是（ ）AACD 的外心 B ABC 的外心 CACD 的内心 DABC 的内心【分析】根据网格得出 OA=OB
18、=OC，进而判断即可【解答】解：由图中可得：OA=OB=OC= ，所以点 O 在ABC 的外心上，故选 B10 （3 分） （2016 河北）如图，已知钝角ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹步骤 1：以 C 为圆心，CA 为半径画弧 ；步骤 2：以 B 为圆心，BA 为半径画弧 ，交弧于点 D；步骤 3：连接 AD，交 BC 延长线于点 H下列叙述正确的是（ ）第 10 页（共 24 页）ABH 垂直平分线段 AD BAC 平分BADCS ABC=BCAH DAB=AD【分析】根据已知条件可知直线 BC 是线段 AD 的垂直平分线，由此一一判定即可【解答】解：A、正确如图连接 CD、B
19、D，CA=CD，BA=BD，点 C、点 B 在线段 AD 的垂直平分线上，直线 BC 是线段 AD 的垂直平分线，故 A 正确B、错误CA 不一定平分 BDAC、错误应该是 SABC= BCAHD、错误根据条件 AB 不一定等于 AD故选 A11 （2 分） （2016 河北）点 A，B 在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是 a 和b对于以下结论：甲：ba0乙：a+b0丙：|a|b|丁： 0其中正确的是（ ）A甲乙 B丙丁 C甲丙 D乙丁【分析】根据有理数的加法法则判断两数的和、差及积的符号，用两个负数比较大小的方法判断第 11 页（共 24 页）【解答】解：甲：由数轴有，0a3，b 3，
20、ba0，甲的说法正确，乙：0a3，b3，a+b0乙的说法错误，丙：0a3，b3，|a|b|，丙的说法正确，丁：0a3，b3， 0，丁的说法错误故选 C12 （2 分） （2016 河北）在求 3x 的倒数的值时，嘉淇同学误将 3x 看成了 8x，她求得的值比正确答案小 5依上述情形，所列关系式成立的是（ ）A = 5B = +5 C =8x5 D =8x+5【分析】根据题意知：8x 的倒数+5=3x 的倒数，据此列出方程即可【解答】解：根据题意，可列方程： = +5，故选：B13 （2 分） （2016 河北）如图，将ABCD 沿对角线 AC 折叠，使点 B 落在 B处，若1=2=44，则B
21、为（ ）A66 B104 C114 D124【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出ACD=BAC=B AC，由三角形的外角性质求出BAC=ACD=B AC= 1=22 ，再由三角形内角和定理求出B 即可【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD ，ACD=BAC，由折叠的性质得：BAC=B AC，第 12 页（共 24 页）BAC=ACD= B AC= 1=22 ，B=180 2BAC=1804422=114；故选：C14 （2 分） （2016 河北）a ，b，c 为常数，且（ac ） 2a 2+c2，则关于 x 的方程ax2+bx+c=0 根的情况是（ ）A有两个相等的实数根
22、 B有两个不相等的实数根C无实数根 D有一根为 0【分析】利用完全平方的展开式将（a c） 2 展开，即可得出 ac0，再结合方程 ax2+bx+c=0根的判别式=b 24ac，即可得出0，由此即可得出结论【解答】解：（ac） 2=a2+c22aca 2+c2，ac0在方程 ax2+bx+c=0 中，=b 24ac 4ac0，方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根故选 B15 （2 分） （2016 河北）如图，ABC 中，A=78，AB=4，AC=6将ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）A B C D【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一
23、判定即可【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；第 13 页（共 24 页）B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误故选 C16 （2 分） （2016 河北）如图，AOB=120，OP 平分AOB，且 OP=2若点 M，N 分别在 OA，OB 上，且PMN 为等边三角形，则满足上述条件的PMN 有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D3 个以上【分析】如图在 OA、OB 上截取 OE=OF
24、=OP，作MPN=60 ，只要证明PEM PON即可推出PMN 是等边三角形，由此即可对称结论【解答】解：如图在 OA、OB 上截取 OE=OF=OP，作MPN=60 OP 平分AOB，EOP=POF=60，OP=OE=OF，OPE，OPF 是等边三角形，EP=OP，EPO= OEP= PON= MPN=60，EPM=OPN，在PEM 和PON 中，PEMPONPM=PN， MPN=60，POM 是等边三角形，只要MPN=60，PMN 就是等边三角形，故这样的三角形有无数个故选 D二、填空题（本大题有 3 小题，共 10 分.17-18 小题各 3 分；19 小题有 2 个空，每空 2 分.把
25、答案写在题中横线上）17 （3 分） （2016 贵港）8 的立方根是 2 【分析】利用立方根的定义计算即可得到结果【解答】解：8 的立方根为 2，故答案为：2第 14 页（共 24 页）18 （3 分） （2016 河北）若 mn=m+3，则 2mn+3m5mn+10= 1 【分析】原式合并后，将已知等式代入计算即可求出值【解答】解：原式= 3mn+3m+10，把 mn=m+3 代入得：原式= 3m9+3m+10=1，故答案为：119 （4 分） （2016 河北）如图，已知AOB=7，一条光线从点 A 出发后射向 OB 边若光线与 OB 边垂直，则光线沿原路返回到点 A，此时A=90 7=
26、83当A83时，光线射到 OB 边上的点 A1 后，经 OB 反射到线段 AO 上的点 A2，易知1=2若 A1A2AO，光线又会沿 A2A1A 原路返回到点 A，此时A= 76 若光线从 A 点出发后，经若干次反射能沿原路返回到点 A，则锐角A 的最小值= 6 【分析】根据入射角等于反射角得出1=2=907=83，再由1 是AA 1O 的外角即可得A 度数；如图，当 MNOA 时，光线沿原路返回，分别根据入射角等于反射角和外角性质求出5、9 的度数，从而得出与A 具有相同位置的角的度数变化规律，即可解决问题【解答】解：A 1A2AO，AOB=7，1=2=907=83 ，A= 1 AOB=76
27、，如图：当 MNOA 时，光线沿原路返回，4=3=907=83 ，6=5=4AOB=837 =76=9014，8=7=6AOB=767 =69，第 15 页（共 24 页）9=8 AOB=69 7=62=90214，由以上规律可知，A=90 n14，当 n=6 时，A 取得最小值，最下度数为 6，故答案为：76，6三、解答题（本大题有 7 个小题，共 68 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）20 （9 分） （2016 河北）请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算：（1）999（15）（2）999118 +999（ ） 99918 【分析】 （1）将式子变形为（10001）
28、（ 15） ，再根据乘法分配律计算即可求解；（2）根据乘法分配律计算即可求解【解答】解：（1）999（15）=（1000 1）（15）=1000（ 15）+15=15000+15=14985；（2）999118 +999（ ） 99918=999（118 18 ）=999100=9990021 （9 分） （2016 河北）如图，点 B，F ，C ，E 在直线 l 上（F，C 之间不能直接测量） ，点 A，D 在 l 异侧，测得 AB=DE，AC=DF，BF=EC（1）求证：ABCDEF；第 16 页（共 24 页）（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由【分析】 （1）先证明 BC=EF，再
29、根据 SSS 即可证明（2）结论 ABDE，ACDF，根据全等三角形的性质即可证明【解答】 （1）证明：BF=CE，BF+FC=FC+ CE，即 BC=EF，在ABC 和DEF 中，ABCDEF（SSS） （2）结论：ABDE，ACDF理由：ABCDEF ，ABC=DEF，ACB=DFE，ABDE，ACDF 22 （9 分） （2016 河北）已知 n 边形的内角和 =（n2）180（1）甲同学说， 能取 360；而乙同学说， 也能取 630甲、乙的说法对吗？若对，求出边数 n若不对，说明理由；（2）若 n 边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了 360，用列方程的方法确定 x【分析】 （1
30、）根据多边形内角和公式可得 n 边形的内角和是 180的倍数，依此即可判断，再根据多边形内角和公式即可求出边数 n；（2）根据等量关系：若 n 边形变为（n+x）边形，内角和增加了 360，依此列出方程，解方程即可确定 x【解答】解：（1）360180=2，630180=390，甲的说法对，乙的说法不对，360180+2=2+2=4第 17 页（共 24 页）答：甲同学说的边数 n 是 4；（2）依题意有（n+x2 ）180 （n2）180=360，解得 x=2故 x 的值是 223 （9 分） （2016 河北）如图 1，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面并分别标有数字 1，2，3，4如
31、图 2，正方形 ABCD 顶点处各有一个圈跳圈游戏的规则为：游戏者每掷一次骰子，骰子着地一面上的数字是几，就沿正方形的边顺时针方向连续跳几个边长如：若从圈 A 起跳，第一次掷得 3，就顺时针连续跳 3 个边长，落到圈 D；若第二次掷得2，就从 D 开始顺时针连续跳 2 个边长，落到圈 B；设游戏者从圈 A 起跳（1）嘉嘉随机掷一次骰子，求落回到圈 A 的概率 P1；（2）淇淇随机掷两次骰子，用列表法求最后落回到圈 A 的概率 P2，并指出她与嘉嘉落回到圈 A 的可能性一样吗？【分析】 （1）由共有 4 种等可能的结果，落回到圈 A 的只有 1 种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首
32、先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与最后落回到圈 A 的情况，再利用概率公式求解即可求得答案【解答】解：（1）共有 4 种等可能的结果，落回到圈 A 的只有 1 种情况，落回到圈 A 的概率 P1= ；（2）列表得：1 2 3 41 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1）2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2）3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3）4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4）共有 16 种等可能的结果，最后落回到圈 A 的有（1，3） ， （2，2） （3，1） ， （4，4） ，最后落回到圈 A 的概率 P2= = ，她与嘉
33、嘉落回到圈 A 的可能性一样第 18 页（共 24 页）24 （10 分） （2016 河北）某商店通过调低价格的方式促销 n 个不同的玩具，调整后的单价 y（元）与调整前的单价 x（元）满足一次函数关系，如表：第 1 个 第 2 个 第 3 个 第 4 个 第 n 个调整前的单价 x（元） x1 x2=6 x3=72 x4 xn调整后的单价 y（元） y1 y2=4 y3=59 y4 yn已知这个 n 玩具调整后的单价都大于 2 元（1）求 y 与 x 的函数关系式，并确定 x 的取值范围；（2）某个玩具调整前单价是 108 元，顾客购买这个玩具省了多少钱？（3）这 n 个玩具调整前、后的平
34、均单价分别为 ， ，猜想 与 的关系式，并写出推导过程【分析】 （1）设 y=kx+b，根据题意列方程组即可得到结论，再根据已知条件得到不等式于是得到 x 的取值范围是 x ；（2）将 x=108 代入 y= x1 即可得到结论；（3）由（1）得 y1= x11，y 2= x22，y n= xn1，根据求平均数的公式即可得到结论【解答】解：（1）设 y=kx+b，由题意得 x=6，y=4 ，x=72 ，y=59，解得 ，y 与 x 的函数关系式为 y= x1，这个 n 玩具调整后的单价都大于 2 元， x12，解得 x ，x 的取值范围是 x ；（2）将 x=108 代入 y= x1 得 y=
35、 1081=89，10889=19，答：顾客购买这个玩具省了 19 元；（3） = 1，推导过程：由（1）得 y1= x11，y 2= x21，y n= xn1，第 19 页（共 24 页） = （y 1+y2+yn）= （ x11）+（ x21）+（ xn1）= （x 1+x2+xn） n= 1= 125 （10 分） （2016 河北）如图，半圆 O 的直径 AB=4，以长为 2 的弦 PQ 为直径，向点O 方向作半圆 M，其中 P 点在 上且不与 A 点重合，但 Q 点可与 B 点重合发现： 的长与 的长之和为定值 l，求 l：思考：点 M 与 AB 的最大距离为 ，此时点 P，A 间的
36、距离为 2 ；点 M 与 AB 的最小距离为 ，此时半圆 M 的弧与 AB 所围成的封闭图形面积为 ；探究：当半圆 M 与 AB 相切时，求 的长（注：结果保留 ，cos35= ，cos55= ）【分析】 （1）半圆 O 的长度是固定不变的，由于 PQ 也是定值，所以 的长度也是固定值，所以 与 的长之和为定值；（2）过点 M 作 MCAB 于点 C，当 C 与 O 重合时，M 与 AB 的距离最大，此时，AOP=60 ，AP=2；当 Q 与 B 重合时，M 与 AB 的距离最小，此时围成的封闭图形面积可以用扇形 DMB 的面积减去DMB 的面积即可；（3）当半圆 M 与 AB 相切时，此时
37、MC=1，且分以下两种情况讨论，当 C 在线段 OA 上；当 C 在线段 OB 上，然后分别计出 的长【解答】解：发现：如图 1，连接 OP、OQ，AB=4，OP=OQ=2，PQ=2，OPQ 是等边三角形，POQ=60 ， = = ，又半圆 O 的长为： 4=2， + =2 = ，l= ；第 20 页（共 24 页）思考：如图 2，过点 M 作 MCAB 于点 C，连接 OM，OP=2，PM=1，由勾股定理可知：OM= ，当 C 与 O 重合时，M 与 AB 的距离最大，最大值为 ，连接 AP，此时，OMAB，AOP=60 ，OA=OP，AOP 是等边三角形，AP=2，如图 3，当 Q 与 B
38、 重合时，连接 DM，MOQ=30，MC= OM= ，此时，M 与 AB 的距离最小，最小值为 ，设此时半圆 M 与 AB 交于点 D，DM=MB=1，ABP=60，DMB 是等边三角形，DMB=60，扇形 DMB 的面积为： = ，DMB 的面积为： MCDB= 1= ，半圆 M 的弧与 AB 所围成的封闭图形面积为： ；探究：当半圆 M 与 AB 相切时，此时，MC=1，如图 4，当点 C 在线段 OA 上时，在 Rt OCM 中，由勾股定理可求得：OC= ，cosAOM= = ，AOM=35，POM=30，AOP= AOMPOM=5，第 21 页（共 24 页） = = ，当点 C 在线
39、段 OB 上时，此时，BOM=35，POM=30，AOP=180POMBOM=115 = = ，综上所述，当半圆 M 与 AB 相切时， 的长为 或 第 22 页（共 24 页）26 （12 分） （2016 河北）如图，抛物线 L：y= （x t） （xt+4） （常数 t0）与 x 轴从左到右的交点为 B，A，过线段 OA 的中点 M 作 MPx 轴，交双曲线 y= （k0，x0）于点 P，且 OAMP=12，（1）求 k 值；（2）当 t=1 时，求 AB 的长，并求直线 MP 与 L 对称轴之间的距离；（3）把 L 在直线 MP 左侧部分的图象（含与直线 MP 的交点）记为 G，用 t
40、 表示图象 G 最高点的坐标；（4）设 L 与双曲线有个交点的横坐标为 x0，且满足 4x 06，通过 L 位置随 t 变化的过程，直接写出 t 的取值范围【分析】 （1）设点 P（x，y） ，只要求出 xy 即可解决问题（2）先求出 A、B 坐标，再求出对称轴以及点 M 坐标即可解决问题（3）根据对称轴的位置即可判断，当对称轴在直线 MP 左侧，L 的顶点就是最高点，当对称轴在 MP 右侧， L 于 MP 的交点就是最高点（4）画出图形求出 C、D 两点的纵坐标，利用方程即可解决问题【解答】解：（1）设点 P（x，y） ，则 MP=y，由 OA 的中点为 M 可知 OA=2x，代入OAMP=
41、12，得到 2xy=12，即 xy=6k=xy=6（2）当 t=1 时，令 y=0，0= （x 1） （x+3） ，解得 x=1 或 3，点 B 在点 A 左边，B（3，0） ， A（1，0） AB=4，L 是对称轴 x=1，且 M 为（ ，0） ，MP 与 L 对称轴的距离为 （3）A（t，0） ，B（t 4，0） ，L 的对称轴为 x=t2，第 23 页（共 24 页）又MP 为 x= ，当 t2 ，即 t4 时，顶点（t 2，2）就是 G 的最高点当 t4 时，L 与 MP 的解得（ ， t2+t）就是 G 的最高点（4）结论：5 或 7 8+ 理由：对双曲线，当 4x 06 时，1y
42、0 ，即 L 与双曲线在 C（4， ） ，D（6，1）之间的一段有个交点由 = （4t） （4t +4）解得 t=5 或 7由 1= （4t） （4t +4）解得 t=8 和 8 随 t 的逐渐增加，L 的位置随着 A（t ，0）向右平移，如图所示，当 t=5 时，L 右侧过过点 C当 t=8 7 时，L 右侧过点 D，即 5t 当 8 t7 时，L 右侧离开了点 D，而左侧未到达点 C，即 L 与该段无交点，舍弃当 t=7 时，L 左侧过点 C当 t=8+ 时，L 左侧过点 D，即 7t8+ 第 24 页（共 24 页）参与本试卷答题和审题的老师有：gbl210 ；王学峰；梁宝华；三界无我；1987483819； ；HJJ ；sdwdmahongye ；弯弯的小河；星月相随；曹先生；CJX；sks；zcx；神龙杉（排名不分先后）菁优网2016 年 9 月 19 日
