1、,第六部分 定积分的应用,习题课,一. 基本要求：1.深刻理解定积分的基本思想，熟练运用公式计算平面图形的面积、 平行截面面积已知的立体体积、旋转体体积和侧面积、曲线弧长等。2.初步掌握运用“元素法”解决物理、力学及应用中的某些问题。 二. 重点、难点与例子（共11例）.1. 几何应用方面：(1) 求面积 (2) 求体积 (3) 求弧长 (4) 求侧面积2. 物理应用方面： (1) 求平行力作功 (2) 求压力 3. 定积分其他应用: (1)求函数平均值 (2) 实际问题 三. 课堂练习(共7题) 四. 综合题(共3题) 综合题解答,第六部分 定积分的应用,一. 基本要求,(1) 因为平面图形
2、都是由曲边梯形或曲边扇形组成，所以定积分能解决任意（边界是已知函数的）平面图形求面积的问题。 (2) 由于定积分是一维的积分，所以只能解决截面面积已知的立体求体积问题。旋转体是其中一种，所以各种旋转体的体积问题基本可以解决。一般立体的求体积问题以后用二重积分或三重积分可以解决。 (3) 利用弧微分（在局部，用切线长 ds 近似曲线长 s），可以解决任意平面曲线（曲线函数已知）求弧长的问题。一般空间曲线的求弧长问题以后用第一型曲线积分可以解决。 (4) 通过弧微分，求旋转体的侧面积问题也可以用定积分解决。求一般曲面的面积问题以后用第一型曲面积分可以解决。,1. 定积分的几何应用,2. 元素法,(
3、1) 怎样的量 U 可以用定积分计算？,1o 量 U 与给定区间a, b有关；,2o 量 U 对区间a, b具有可加性.,(2) 计算步骤：,1o 根据实际问题，选取坐标系、积分变量和积分区间a, b ；,2o x a, b,求小区间x, x+dx上的部分量 dU ;称 dU= f (x)dx为元素 .,(3) 计算中的关键和难点：,找到 f (x) .,f (x)的表示式与选择的坐标系有关。,3o,S,.,.,.,(1) 求面积,S,直角坐标系,极坐标系,边界 函数,图形,面积公式,y=f(x),x = (y), = ( ),S,a,b,x = a, x = b, y = 0,y = c,
4、y = d, x = 0, = , =,二. 重点、难点与例子. 1. 几何应用方面,例 1.,解：,3,1,3,先画图.,S1,S2,2,.,需分块儿！,1,例 2,2,1,解：,先画图.,用极坐标：,.,r = 4 cos,.,还有别的方法吗？,方法 I.,例,2,1,解：,方法 II.,用初等方法求图示部分：,.,2,例 3,解：,a,a,a,a,.,(2) 求体积,1o 已知平行截面面积为A(x)的立体体积,2o 绕 x 轴旋转的旋转体体积,x,A(x),x,b,a,曲边梯形： y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕 x 轴,f(x),b,x,a,.,.,3o 绕 y 轴旋转的旋转体
5、体积,x=g(y),c,d,.,.,4o 用柱壳法求绕 y 轴旋转的旋转体体积,曲边梯形 y= f (x), x = a, x = b, y = 0 绕 y 轴.,a,f (x),.,如下例：,b,2a,例4：用柱壳法求旋转体体积.,a,解：,由柱壳法的公式：,.,.,.,分块儿求,怎么分？,S1,S2,1,显然柱壳法简便。,a,b,y = f (x),(),(),.,(3) 求弧长,.,.,(a b ),( ),( ),例 5,解：,先作图 .,图形关于 y 轴对称.,.,1,1,C,B,A,得A(1,1), B(1,1),.,.,例 6,解：,.,曲线 y= f (x) 绕 x 轴旋转,.
6、,(4) 求旋转体侧面积 A .,.,曲线绕 y 轴旋转有类似的结果。,b,ba,解：,曲线用极坐标：,例 7,由已知公式：,.,平行力：指大小变而方向不变的力。 一般变力（大小、方向都变）的作功问题用第二型 曲线积分解决。,2. 物理应用方面,x,F(x),a,b,0,.,一般情况下，力函数F(x)需要自己寻找。,如下例：,解法 I：,选择图示坐标系.,例8.,.,x,y,2米,1,0,x,x+dx,上所消耗的功近似地为：,= 9.8,= 9.8,W = 9.8,.,将这薄层水抽到地面,解法 II：,选择图示坐标系.,例8,.,y,x,2米,1,0,y,y+dy,将这薄层水抽到地面上所消耗的
7、功 近似地为：,= 9.8 ,= 9.8,W = 9.8,解法 III：,选择图示坐标系.,.,.,y,x,2米,1,0,y,y+dy,将这薄层水抽到地面上所消耗的功 近似地为：,显然，选择方法 I和方法 II的坐标系计算功比用方法 III简便一些.,例8,=9.8,=9.8,W = 9.8,(2) 求压力,比如，求水对闸门的压力。压力在不同深度是不同 的。水对闸门的总压力等于闸门在不同深度处所受压力 之总和。因此，可以用定积分求压力。那么，如何求垂直竖立的一块面积所受的压力呢？由物理学中“帕斯卡定律”：在同一深度，液体在各 个方向产生同样的压强。因此，垂直竖立的一块面积所 受的压力等于把此块
8、面积水平放置在同一深度所受的压 力，即此块水平面积上承受的液体重量。看下例：,例 9,解：,选择图示坐标系.,x,o,y,a,h,x+dx,x,先求这一薄层的长 b :,这一薄层的面积约为:,所以这一薄层受的水压力约为:,.,a,b,f (x),3. 定积分其他应用：,.,.,解：,.,解：,.,(2) 需要用元素法解决的实际问题,2,r,0,dr,三. 课堂练习,5.,四. 综合练习题,1,1,a,谢 谢 使 用,返回首页,习题课,.,三. 课堂练习解答,= 4,解：,2.,.,1,2,2,1,解：,曲线有渐近线： y = 0 .,= 2,3.,解：,由对称性,.,.,4.,解：,这是一条双曲螺线.,由弧长公式.,.,5.,解：,1,2,1,x,把 x 坐标轴平移至 y = 1处.,体积：,.,.,y = 2x,y = x,6.,解：,7.,解：,由极坐标和直角坐标的关系：,.,.,1,1,a,综合练习题解答 1.,解：,.,.,b,a,2.,f (x),要证曲边梯形面积 不超过梯形面积。,f (x),B(h),A(h),f (h),3.,h,
