1、1绍 兴 文 理 学 院数 理 信 息 学 院数字信号处理课 程 设 计 报 告 书题目 正弦信号的频谱分析姓 名 朱沛东 学 号 10104144 专业班级 电信 101 指导教师 刘兆庭 时 间 2013 年 7 月 12 日 I课程设计任务书班 级 电信 101 姓 名 朱沛东题 目 正弦信号的频谱分析II技术参数、设计要求、检测数据等一、设计目的1. 熟悉 DFT 的性质。2. 加深理解信号频谱的概念及性质。 3. 了解高密度谱与高分辨率频谱的区别。二、设计任务与要求1.学习用 DFT 和补零 DFT 的方法来计算信号的频谱。2.用 MATLAB 语言编程来实现，在做课程设计前，必须充
2、分预习课本DTFT、DFT 及补零 DFT 的有关概念，熟悉 MATLAB 语言，独立编写程序。三、设计内容1. 用 MATLAB 语言编写计算序列 x(n)的 N 点 DFT 的 m 函数文件 dft.m。并与MATLAB 中的内部函数文件 fft.m 作比较。2. 对离散确定信号 作如下谱分析：()cos(0.48)cos(0.52)xnnn1） 截取 使 成为有限长序列 N( )，( 长度 N 自己选)写程序计() -1算出 的 N 点 DFT ,画出时域序列图 xnn 和相应的幅频图 。Xk ()Xk2） 将 1）中 补零加长至 M 点，长度 M 自己选,（为了比较补零长短的影响，()
3、xnM 可以取两次值，一次取较小的整数，一次取较大的整数） ，编写程序计算的 M 点 DFT, 画出时域序列图和两次补零后相应的 DFT 幅频图。()3） 利用补零 DFT 计算 1)中 N 点有限长序列 频谱 并画出相应的幅频图()xn()jXe。jXe3. 研究高密度谱与高分辨率频谱。对连续确定信号以采样频率333()cos26.510)cos(2710)cos(2910)axttttfs=32kHz 对信号 采样得离散信号 ，分析下列三种情况的幅频特性。(axxn(1)采集数据 长度取 N=16 点，编写程序计算出 的 16 点 DFT ,并画n)xn(Xk出相应的幅频图 )Xk(2)
4、采集数据 长度 N=16 点，补零加长至 M 点(长度 M 自己选)，利用补零(DFT 计算 的频谱 并画出相应的幅频图 。x1(je1je(3) 采集数据 长度取为 M 点（注意不是补零至 M） ，编写程序计算出 M 点采)n集数据 的的频谱 并画出相应的幅频图 。(2)j 2()jXIII设计进度安排或工作计划2013.7.3 2013.7.4： 熟悉课题，查询相关资料，完成方案选择。2012.7.52013.7.8： 设计模块划分、实现及各模块调试、验证。2013.7.92013.7.10： 设计整体实现、调试及验证，并开始撰写报告。2013.7.112013.7.12： 设计完成，课程
5、设计报告撰写并定稿，上交。其 它认真阅读数字信号处理课程设计报告撰写规范；课题小组经协商好要指定组长并明确分工，形成良好团队工作氛围；基于课题基本要求，各小组课再细化、增加要求；课题小组每成员均需各自撰写一份课程设计报告。IV正弦信号的频谱分析摘 要傅里叶变换和 Z 变换是数字信号处理中常用的重要数字变换。对于有限长序列，还有一种更为重要的数字变换，即离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT ） 。DFT之所以更为重要，是因为其实质是有限长序列傅里叶变换的有限点离散采样，从而实现了频域离散化，使数字信号处理可以在频域采用数值运算的方法进行，这样就打打增加了
6、数字信号处理的灵活性。更重要的是，DFT 有多种快速算法，统称为快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT） 。从而使信号的实现处理和设备的简化得以实现。因此，时域离散系统的研究与应用在许多方面代替了传统的连续时间系统。所以说，DFT 不仅在理论上有重要意义，而且在各种信号的处理中亦起着核心作用。关键词 数字信号处理、散傅里叶变换 DFT、快速傅里叶变换 FFT目 录课程设计任务书 I摘 要 .II1. 设计概述 .12. 设计方案及实现 .23. 设计结果分析 .24. 总结 .2参考文献 3附录 411 设计概述1.1 设计相关背景离散傅里叶变换有与傅里叶变换相
7、类似的作用和性质，在离散信号分析和数字系统综合中占有极其重要的地位。它不仅建立了离散时域与离散频域之间的联系，而且由于它存在周期性，还兼有连续时域中傅里叶级数的作用，与离散傅里叶级数有着密切联系。在计算速度方面，已研究出各种快速计算的算法，使离散傅里叶变换的应用更为普遍，在实现各种数字信号处理系统中起着核心的作用。例如，通过计算信号序列的离散傅里叶变换可以直接分析它的数字频谱；在有限冲激响应数字滤波器的设计中，要从冲激响应 h(n)求频率抽样值 H(k)，以及进行它们之间的反运算等。“补零”是指做 DFT 时，在序列的有效数据后面填补一些零值，认为地延长序列，以达到对频谱做某种改善的目的。补零
8、的方法在离散傅里叶变换（DFT）技术中经常用到：当使用快速傅里叶变换（FFT）技术时，为了使序列长度为 2 的整数次幂，需要将原序列补零；当利用 DFT 技术做线性卷积时，为了改善 DFT 技术的栅栏效应，使谱的外观变得平滑，可在原序列的后面补零；补零有可能消除由于数据的截断所引起的泄漏现象。DFT 的频谱分辨率是指对信号中两个靠的较近的频谱分量的识别能力，它仅决定于截取连续信号的长度，在采样频率不变时，通过改变采样点数 N 可以改变 DFT 的分辨率。高密度频谱是指当信号的时间长度不变时，在频域内对它的频谱进行提高采样频率，而得到高密度普，它只可以更细化当前分辨率下的频谱，克服栅栏效应，但不
9、能改变DFT 的分辨率，另外采用尾部补零的方法不能提高 DFT 的高分辨率。1.2 设计目的了解离散傅里叶变换的有关性质，利用 Matlab 实现 DFT 变换。掌握 DFT 应用，加深理解信号频谱的概念及性质，了解高密度谱与高分辨率频谱的区别，了解 DFT 算法存在的问题及改进方法。学习并掌握 FFT 的应用。1.3 设计任务与要求学习用 DFT 和补零 DFT 的方法来计算信号的频谱。用 MATLAB 语言编程来实现，在做课程设计前，必须充分预习课本 DTF、DFT 及补零 DFT 的有关概念，熟悉MATLAB 语言，独立编写程序，并在计算机上调试，最后写出完整、规范的课程设计报告书。22
10、 设计方案及实现2.1 设计原理所谓信号的频谱分析就是计算信号的傅里叶变换。连续信号与系统的傅里叶分析显然不便于直接用计算机进行计算，使其应用受到限制，而 DFT 是一种时域和频域均离散化的变换，适合数值运算，成为分析离散信号和系统的有力工具。工程实际中，经常遇到的连续信号 Xa(t),其频谱函数 Xa(jW)也是连续函数。数字计算机难于处理，因而我们采用 DFT 来对连续时间信号的傅里叶变换进行逼近，进而分析连续时间信号的频谱。2.2 实现方法离散傅里叶变换是有限长序列的傅里叶变换，它相当于把信号的傅里叶变换进行等频率间隔采样，并且有限长序列的离散傅里叶变换和周期序列的离散傅里叶级数本质是一
11、样的。快速傅里叶变换（FFT）并不是一种新的变换，它是离散傅里叶变换的一种快速算法，并且主要是基于这样的思路而发展起来的：（1）把长度为 N 的序列的 DFT 逐次分解成长度较短的序列的 DFT 来计算。 （2）利用 WN(nk)的周期性和对称性，在 DFT 运算中适当的分类，以提高运算速度。 （对称性 ， ;周期性nkNnkW2 12N，r 为任意整数 ） nkNknrNkrnNWW)( ,r2.2.1 离散傅里叶变换的推导离散傅里叶级数定义为 （1-1）nkjNkppexxN210)()(将上式两端乘以 并对 n 在 0N-1 求和可得 nmjNe2 10)(1010)(10 N2N2N2
12、 )()( nmkjkpnkmjpNnnmjp eXeXex 因为 mk 10)(10)( N2N2 -1mkjnmj e所以 这样 用 k 代替 m010 )()(N2kpNnnjpXex 10N2)()(NnnmjppexX得 （1-2）令10N2)()(nnjpPkX N2jeW3则（1-2 ）成为 DFS （ 1-3）10)()()(Nnnkppp WxkXnx（1-1）成为 IDFS （1-4）10)()(nnkNppp式（1-3 ） 、 （1-4）式构成周期序列傅里叶级数变换关系。其中 都是周期)(kXnxpp、为 N 的周期序列，DFS 表示离散傅里叶级数正变换，IDFS表示离散
13、傅里叶级数反变换。习惯上，对于长为 N 的周期序列，把 0 n N-1 区间称为主值区，把称为 的主值序列，同样也称 为 的主值序列。)1()0xpp )(nxp )1()NXpp )(kp由于 ，对于周期序列 仅有 N 个独立样值，对于任何一个周期)()(RnNp)(nxp进行研究就可以得到它的全部信息。在主值区研究 与 是等价的，因此在主值区p)(nx计算 DFS 和 DFT 是相等的，所以 DFT 计算公式形式与 DFS 基本相同。其关系为)()(nRxnNp)()(kRXkNp所以离散傅里叶正变换0 k N-1WnkNnxDFTkX10离散傅里叶变换（DFT）定义：设有限长序列 x (
14、n) 长为 N（0 n N-1） ，其离散傅里叶变换是一个长为 N 的频率有限长序列（0 k N-1） ，其正变换为0 k N-1 （ ）nNNnxFTkX10WeNj2离散傅里叶变换的实质是：把有限长序列当做周期序列的主值序列进行 DFS 变换，x(n)、X(k)的长度均为 N，都是 N 个独立值，因此二者具有的信息量是相等的。已知 x(n)可以唯一确定 X(k),已知 X(k)可以唯一确定 x(n)。虽然离散傅里叶变换是两个有限长序列之间的变化，但它们是利用 DFS 关系推导出来的，因而隐含着周期性。2.2.2 构造离散傅里叶变换的 Matlab 实现程序如下functionXk=dft(
15、xn,N)n=0:1:N-1;k=n;WN=exp(-j*2*pi/N);4nk=n*k;WNnk=WN.nk;Xk=xn*WNnk快速傅里叶变换（FFT）并不是与 DFT 不同的另外一种变换，而是为了减少 DFT 计算次数的一种快速有效的算法2.2.3 共轭对称性设有限长序列 的长度为 N，以 N 为周期的周期延拓列为 )(nx Nnx)(周期序列 的共轭对称分量 和共轭反对称分量 分别为 )(nxe )(nxo(1-5)NNexnx )(21)()21)( * (1-6)o nxn)()()()( *同样可以证明，它们满足 （1-7） （1-8） )()xee)()(*nxoo则有限长序列
16、 的圆周共轭对称分量 和圆周共轭反对称分量 分别定义)(nxnxep (op为：（1-9）)()()(21)()( * RNRnx NNeep （1-10）nxnoo由于满足 故)()(xnoe（1-11）)()()( nxnRRx opepNN 显然，长度为 N 的有限长序列 可以分解为圆周共轭对称分量 和圆周共轭x )(nxep反对称分量 之和， 和 的长度皆为 N。利用有限长序列与周期序列的共)(nxop)(ep)(op轭对称分量和反对称分量的关系式（1-9）和式（1-10） ，以及式（1-11）可以推导出 DFT的一系列的对称性质（1）DFT 式中 表示 的共轭复序列。)()()(*
17、KnXknx)(*nx)(证明：DFT 又因为*1010* kXWxNnNnkk 所以 DFT2)(N2jnjneW )()()( *10)(* kNnxxnkN5（2）复序列实部的 DFT 等于 DFT 的圆周共轭对称部分，即DFT )()21)()(Re *kNXkXnxep证明：DFT DFT = DFT +DFT =)( )(*21nx21)(nx)(*nx)()(*21 kXNkXep利用 DFT 的对称性可求得 的 DFT:0cos设 则njejnx00icos)(DFT kNojkNoj WeNn WenkNjekXnx 11010)()(因为 Rcos0x所以DFT DFT =
18、s0n2)()*()(e kNXkepnkNkNkNWojekNWoje WW20 0011 cos21 )1cos(cos12 3 设计结果分析3.1 用 MATLAB 语言编写3.1.1 计算序列 x(n)的 N 点 DFT 的 m 函数文件 dft.m。并与 MATLAB 中的内部函数文件 fft.m 作比较。对于 N= 点序列进行时间抽选奇偶分解 FFT 计算，需分 M 级，每级计算 N/2 个蝶。每M2一级需 N/2 次复乘、N 次复加，因此总共需要进行：复乘： 复加：22logN2log直接计算 N 点的 DFT，需要 次复乘、N(N-1)次复加。N 值越大，时间抽选奇偶分解2FF
19、T 算法越优越。例如当 N=2048 点时，时间抽选奇偶分解 FFT 算法比直接计算 DFT 速度快 300 多倍。63.2 离散信号谱分析3.2.1 对离散确定信号 作如下谱分析：()cos(0.48)cos(0.52)xnnn1.截取 使 成为有限长序列 N( )，(长度 N 自己选)写程序计算出 的 N 点()xn-1()xnDFT ,画出时域序列图 xnn 和相应的幅频图 。Xk Xk图 3-1 时域序列图 xnn 和相应的幅频图 ()Xk由图可见，由于截断函数的频谱混叠作用，X(k)不能正确分辨w1=0.48、w2=0.52 这两个频率分量。2.将 1 中 补零加长至 M 点，长度
20、M 自己选,（为了比较补零长短的影响，M 可以取两次值，一()xn次取较小的整数，一次取较大的整数） ，编写程序计算 的 M 点 DFT, 画出时域序列图和两次补零()xn后相应的 DFT 幅频图。7图 3-2 时域序列图和两次补零后相应的 DFT 幅频图x(n)补零至 15、60 点对应的 x(n)、X(ejw) 、X(k)所示。由图可见，x(n)补零至 60 点，只是改变 X(k)的密度，截断函数的频谱混叠作用没有改变，这时的物理分辨率使 X(k)仍不能正确分辨 w1=0.48 、w2=0.52 这两个频率分量。这说明，补零仅仅是提高了计算分辨率，得到的是高密度频谱，而得不到高分辨率谱。3
21、.利用补零 DFT 计算 1 中 N 点有限长序列 频谱 并画出相应的幅频图 。()xn()jXe()jXe图 3-3 补零 DFT 相应的幅频图 ()jXe由图可见，截断函数的加宽且为周期序列的整数倍，改变了频谱混叠作用，提高了物理分辨率，使 X(k)能正确分辨 w1=0.48、w2=0.52 这两个频率分量。这说明通过增8加数据的记录长度 Tp 来提高物理分辨率可以得到分辨率谱。3.3 研究高密度谱与高分辨率频谱。3.3.1 对连续确定信号 以333()cos26.510)cos(2710)cos(2910)axtttt采样频率 fs=32kHz 对信号 采样得离散信号 ，分析下列三种情况
22、的幅频()atxn特性。1.采集数据 长度取 N=16 点，编写程序计算出 的 16 点 DFT ,并画出相应的幅频图()xn()()Xk()Xk图 3-4 x(n)序列及它的 16 点 DFT X(k)N=16 点，所得到的频谱图用于下面 2、3 中的补零与增大截取信号长度的频谱图做比较。2. 采集数据 长度 N=16 点，补零加长至 M 点(长度 M 自己选) ，利用补零 DFT 计算 的频谱()xn ()xn并画出相应的幅频图 。1(jXe1()jXe9图 3-5 幅频图 1()jXe3.采集数据 长度取为 M 点（注意不是补零至 M） ，编写程序计算出 M 点采集数据 的的频谱()xn
23、 ()xn并画出相应的幅频图 。2jXe2()jXe图 3-6 幅频图 2()jXe104 总结计算机是进行数字信号处理的主要工具，计算机只能处理有限长序列，这就决定了有限长序列处理在数字信号处理中的重要地位。离散傅里叶变换建立了有限长序列与其近似频谱之间的联系，在理论上具有重要意义。离散傅里叶变换 DFT 在数字通信、语音处理、图像处理、谱估计、仿真、系统分析等各个领域得到广泛应用，但是这都是以卷积和相关运算，对连续信号和序列进行谱分析为基础的。通过该课程设计，我们受益匪浅，对 DFT 在进行频谱的分析上有了根深刻的理解和掌握。DFT 实现了频域采样，同时 DFT 存在快速算法 FFT，所以
24、在实际应用中，可以利用计算机，用 DFT 来逼近连续时间信号的傅里叶变换，进而分析连续时间信号频谱。同时知道了补零点的作用，其仅仅是提高了计算分辨率，得到的是高密度频谱，并不能得到高分辨率谱，要提高频率分辨率，则要通过增加数据记录长度来提高物理分辨率。在编程实现中，遇到了一些问题，为此我们翻阅一些了参考书，并通过讨论一一解决。期间我们不仅学到了许多课本上的知识，还有课本以外的内容，学到了许多课本上所没提到的东西，这些东西都让我们耳目一新，开阔了视野，拓宽了知识面。从以前仅仅掌握离散傅里叶变换的概念，到现在渐渐领悟到离散傅里叶变换的一些实际应用，更明白它在实际设计中的作用，从理论到实践的逐步过渡
25、，增了动手能力。知道了到团队精神的重要性，大家互相讨论，分工合作，享受了合作的乐趣。11参考文献1余成波，陶红艳.数字信号处理及 MATLAB 实现（第二版）.北京：清华大学出版社.2008.1.p98-123.2王艳芬，王刚.数字信号处理原理及实现.北京：清华大学出版社.2008.3.p96-105.3从玉良，王宏志.数字信号处理原理及其 MATLAB 实现（第 2 版）.北京：电子工业出版社.2009.7.p63-100.12附录1n = 0:9;xn=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n);Xk = fft (xn, 10);subplot(2,1,1); stem(
26、n, xn,.);xlabel(omega/pi);ylabel(X(n);title(x(n);grid;subplot(2,1,2); stem(n, abs(Xk),.); xlabel(omega/pi);ylabel(X(k);title(x(n) 10 点 DFT);grid;2.n = 0:9; xn=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n);n1 = 0:14; xn1 = xn, zeros(1,5);n2= 0:59; xn2 = xn, zeros(1,50);Xk1 = fft(xn1, 15);Xk2 = fft(xn2, 60);subplot(3
27、,1,1); stem(n, xn,.);xlabel(n);ylabel(x(n)title(x(n);grid;subplot(3,1,2); stem(n1, abs(Xk1),.);xlabel(omega/pi);ylabel(X(k1)title(x(n1) 15 点 DFT);grid;subplot(3,1,3); stem(n2, abs(Xk2),.);xlabel(omega/pi);ylabel(X(k2)title(x(n2) 60 点 DFT);grid;3n = 0:9; xn=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n);n3 = 0:99; xn
28、3 = xn, zeros(1,90);Xk3 = fft(xn3, 100);wx=2*n8/N;plot(wx,abs(X);xlabel(omega/pi);ylabel(|X(ejomega)|)title(x(n3)幅频特性曲线);grid;134. T=1/(32*103);t=(0:15);xn=cos(2*pi*6.5*103*t*T)+cos(2*pi*7*103*t*T)+cos(2*pi*9*103*t*T);Xk=fft(xn,16);subplot(3,1,1);stem(t,xn,.);grid;xlabel(n);ylabel(x(n)title(x(n);sub
29、plot(3,1,2);stem(t,abs(Xk),.);grid; xlabel(omega/pi);ylabel(X(k)_1_6)title(x(n) 16 点 DFT);subplot(3,1,3);plot(t,abs(Xk);grid;xlabel(omega/pi);ylabel(|X_1(ejomega)|)title(x_1(n)幅频特性曲线);5.T=1/(32*103);t=(0:15);xn=cos(2*pi*6.5*103*t*T)+cos(2*pi*7*103*t*T)+cos(2*pi*9*103*t*T);n1=0:30; xn1=xn,zeros(1,15)
30、;Xk1=fft(xn1,31);subplot(3,1,1);stem(n1,xn1,.);grid;xlabel(n);ylabel(x_1(n)title(x_1(n);subplot(3,1,2);stem(n1,abs(Xk1),.);grid; xlabel(omega/pi);ylabel(X(k)_1_6)title(x(n) 补零 30 点 DFT);subplot(3,1,3);plot(n1,abs(Xk1);grid;xlabel(omega/pi);ylabel(|X_1(ejomega)|)title(x_1(n)幅频特性曲线);146.T=1/(32*103);t
31、=0:30;xn=cos(2*pi*6.5*103*t*T)+cos(2*pi*7*103*t*T)+cos(2*pi*9*103*t*T);Xk2=fft(xn,31);subplot(3,1,1);stem(t,xn1,.);grid;xlabel(n);ylabel(x_2(n)title(x_1(n);subplot(3,1,2);stem(t,abs(Xk2),.);grid; xlabel(omega/pi);ylabel(X(k)_3_0)title(x(n) 30 点 DFT);subplot(3,1,3);plot(t,abs(Xk2);grid;xlabel(omega/pi);ylabel(|X_1(ejomega)|)title(x_1(n)幅频特性曲线);
