1、二次函数中常见的几类综合题型一 求线段最大值及根据面积求点坐标问题1. 如图，已知抛物线 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴的一个交点为 B（5，0） ，另一个交点为 A，且与 y 轴交于点 C（0，5） （1）求直线 BC 与抛物线的解析式；（2）若点 M 是抛物线在 x 轴下方图象上的一动点，过点 M 作 MNy 轴交直线 BC 于点N，求 MN 的最大值；（3）在（2）的条件下，MN 取得最大值时，若点 P 是抛物线在 x 轴下方图象上任意一点，以 BC 为边作平行四边形 CBPQ，设平行四边形 CBPQ 的面积为 S1， ABN 的面积为 S2，且 S1=6S2，求点 P 的坐标分析
2、：（1）设直线 BC 的解析式为 y=mx+n，将 B（5，0） ，C（0，5）两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线 BC 的解析式；同理，将 B（5，0） ，C （0，5）两点 的坐标代入 y=x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）MN 的长是直线 BC 的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于 MN 的长和 M 点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出 MN 的最大值；（3）先求出ABN 的面积 S2=5，则 S1=6S2=30再设平行四边形 CBPQ 的边 BC 上的高为 BD，根据平行四边形的面积公式得出 BD=3 ，过点 D 作直线 BC 的平
3、行线，交抛物线与点 P，交 x 轴于点 E，在直线 DE 上截取 PQ=BC，则四边形 CBPQ 为平行四边形证明EBD 为等腰直角三角形，则BE= BD=6，求出 E 的坐标为（ 1，0） ，运用待定系数法求出直线 PQ 的解析式为 y=x1，然后解方程组 ，即可求出点 P 的坐标解答：解：（1）设直线 BC 的解析式为 y=mx+n，将 B（5，0） ，C （0，5）两点的坐标代入，得 ，解得 ，所以直线 BC 的解析式为 y=x+5；将 B（5，0） ，C （0，5）两点的坐标代入 y=x2+bx+c，得 ，解得 ，所以抛物线的解析式为 y=x26x+5；（2）设 M（x，x 26x+5
4、） （1x5） ，则 N（x，x+5 ） ，MN=（x+5）（x 26x+5）= x2+5x=（x ） 2+ ，当 x= 时，MN 有最大值 ；（3）MN 取得最大值时， x=2.5，x+5=2.5+5=2.5，即 N（2.5，2.5） 解方程 x26x+5=0，得 x=1 或 5，A（1，0） ，B（5，0） ，AB=51=4，ABN 的面积 S2= 42.5=5，平行四边形 CBPQ 的面积 S1=6S2=30设平行四边形 CBPQ 的边 BC 上的高为 BD，则 BCBDBC=5 ，BCBD=30，BD=3 过点 D 作直线 BC 的平行线，交抛物线与点 P，交 x 轴于点 E，在直线
5、DE 上截取 PQ=BC，则四边形CBPQ 为平行四边形BCBD，OBC=45，EBD=45，EBD 为等腰直角三角形，BE= BD=6，B（ 5， 0） ，E（1，0） ，设直线 PQ 的解析式为 y=x+t，将 E（1，0）代入，得 1+t=0，解得 t=1直线 PQ 的解析式为 y=x1解方程组 ，得 ， ，点 P 的坐标为 P1（2，3） （与点 D 重合）或 P2（3，4） 2. 如图，对称轴为直线 x=1 的抛物线 y=ax2+bx+c（a 0）与 x 轴相交于 A、B 两点，其中点 A 的坐标为（3，0） （1）求点 B 的坐标；（2）已知 a=1，C 为抛物线与 y 轴的交点若
6、点 P 在抛物线上，且 SPOC=4SBOC求点 P 的坐标；设点 Q 是线段 AC 上的动点，作 QDx 轴交抛物线于点 D，求线段 QD 长度的最大值分析：（1）由抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴为直线 x=1，交 x 轴于 A、B 两点，其中 A 点的坐标为（3，0） ，根据二次函数的对称性，即可求得 B 点的坐标；（2）a=1 时，先由对称轴为直线 x=1，求出 b 的值，再将 B（1，0）代入，求出二次函数的解析式为y=x2+2x3，得到 C 点坐标，然后设 P 点坐标为（x，x 2+2x3） ，根据 SPOC=4SBOC 列出关于 x 的方程，解方程求出 x 的值，进而得到点
7、 P 的坐标；先运用待定系数法求出直线 AC 的解析式为 y=x3，再设 Q 点坐标为（x，x3） ，则 D 点坐标为（x，x 2+2x3） ，然后用含 x 的代数式表示 QD，根据二次函数的性质即可求出线段 QD 长度的最大值解答：解：（1）对称轴为直线 x=1 的抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与 x 轴相交于 A、B 两点，A、B 两点关于直线 x=1 对称，点 A 的坐标为（3，0） ，点 B 的坐标为（1，0） ；（2）a=1 时， 抛物线 y=x2+bx+c 的对称轴为直线 x=1， =1，解得 b=2将 B（1，0）代入 y=x2+2x+c，得 1+2+c=0，解得 c=3则
8、二次函数的解析式为 y=x2+2x3，抛物线与 y 轴的交点 C 的坐标为（0，3） ，OC=3设 P 点坐标为（ x，x 2+2x3） ，SPOC=4SBOC， 3|x|=4 31，|x|=4，x=4当 x=4 时，x 2+2x3=16+83=21；当 x=4 时，x 2+2x3=1683=5所以点 P 的坐标为（ 4，21）或（4，5） ；设直线 AC 的解析式为 y=kx+t，将 A（3，0） ，C（0，3）代入，得 ，解得 ，即直线 AC 的解析式为 y=x3设 Q 点坐标为（x，x 3） （3x0） ，则 D 点坐标为（x，x 2+2x3） ，QD=（x3） （x 2+2x3）=x
9、23x=（x+ ） 2+ ，当 x= 时，QD 有最大值 二 求三角形周长及面积的最值问题3.如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（ 3，0） ，B（1，0） ，C （0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线 l，l 与 x 轴交于点 H（1）求该抛物线的解析式；（2）若点 P 是该抛物线对称轴 l 上的一个动点，求 PBC 周长的最小值；（3）如图（2） ，若 E 是线段 AD 上的一个动点（ E 与 A、D 不重合） ，过 E 点作平行于 y轴的直线交抛物线于点 F，交 x 轴于点 G，设点 E 的横坐标为 m，ADF 的面积为 S求 S 与 m 的函数关系式；S 是否存在最大值
10、？若存在，求出最大值及此时点 E 的坐标； 若不存在，请说明理由分析：（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可；（2）根据 BC 是定值，得到当 PB+PC 最小时， PBC 的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可；（3）设点 E 的横坐标为 m，表示出 E（m，2m+6） ，F （m，m 22m+3） ，最后表示出 EF 的长，从而表示出 S 于 m 的函数关系，然后求二次函数的最值即可解答：解：（1）由题意可知： 解得：抛物线的解析式为：y=x 22x+3；（2）PBC 的周长为：PB+PC+BCBC 是定值，当 PB+PC 最小时，PBC 的周长最小，点
11、A、点 B 关于对称轴 I 对称，连接 AC 交 l 于点 P，即点 P 为所求的点AP=BPPBC 的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BCA（3，0） ，B （ 1，0） ，C （0， 3） ，AC=3 ，BC= ；故 PBC 周长的最小值为 3 + （3）抛物线 y=x22x+3 顶点 D 的坐标为（1，4）A（3，0）直线 AD 的解析式为 y=2x+6点 E 的横坐标为 m，E（m， 2m+6） ，F（m，m 22m+3）EF=m22m+3（2m+6 ）=m24m3S=SDEF+SAEF= EFGH+ EFAG= EFAH= （m 24m3）2=m24m3；S=m24m3=（m+2
12、 ） 2+1；当 m=2 时，S 最大，最大值为 1此时点 E 的坐标为（2，2） 4. 如图，已知抛物线 y=ax2+bx+3 与 x 轴交于 A、B 两点，过点 A 的直线 l 与抛物线交于点C，其中 A 点的坐标是（1，0） ，C 点坐标是（4，3） （1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点 D，使BCD 的周长最小？若存在，求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点 E 是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线 AC 的下方，试求ACE 的最大面积及 E 点的坐标分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；（2）利用待定系数法求出直线 AC 的
13、解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线 AC 与对称轴的交点即为所求点 D；（3）根据直线 AC 的解析式，设出过点 E 与 AC 平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉 y 得到关于x 的一元二次方程，利用根的判别式=0 时，ACE 的面积最大，然后求出此时与 AC 平行的直线，然后求出点 E 的坐标，并求出该直线与 x 轴的交点 F 的坐标，再求出 AF，再根据直线 l 与 x 轴的夹角为 45求出两直线间的距离，再求出 AC 间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解解答： 解：（1）抛物线 y=ax2+bx+3 经过点 A（1，0） ，点 C（4，3） ， ， 解得 ，所
14、以，抛物线的解析式为 y=x24x+3；（2）点 A、B 关于对称轴对称，点 D 为 AC 与对称轴的交点时 BCD 的周长最小，设直线 AC 的解析式为 y=kx+b（k0） ，则 ， 解得 ，所以，直线 AC 的解析式为 y=x1，y=x24x+3=（x 2） 21，抛物线的对称轴为直线 x=2，当 x=2 时，y=2 1=1，抛物线对称轴上存在点 D（2，1） ，使BCD 的周长最小；（3）如图，设过点 E 与直线 AC 平行线的直线为 y=x+m，联立 ，消掉 y 得，x 25x+3m=0，=（5） 241（3m）=0，即 m= 时，点 E 到 AC 的距离最大， ACE 的面积最大，
15、此时 x= ，y= = ，点 E 的坐标为（ ， ） ，设过点 E 的直线与 x 轴交点为 F，则 F（ ，0） ，AF= 1= ，直线 AC 的解析式为 y=x1，CAB=45，点 F 到 AC 的距离为 = ，又AC= =3 ，ACE 的最大面积= 3 = ，此时 E 点坐标为（ ， ） 三 为等腰或直角三角形是求点坐标问题5.如图，已知直线 y=3x3 分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点，抛物线 y=x2+bx+c 经过 A、B 两点，点 C 是抛物线与 x 轴的另一个交点（与 A 点不重合） （1）求抛物线的解析式；（2）求ABC 的面积；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点 M，
16、使ABM 为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点 M 的坐标分析：（1）根据直线解析式求出点 A 及点 B 的坐标，然后将点 A 及点 B 的坐标代入抛物线解析式，可得出 b、c 的值，求出抛物线解析式；（2）由（1）求得的抛物线解析式，可求出点 C 的坐标，继而求出 AC 的长度，代入三角形的面积公式即可计算；（3）根据点 M 在抛物线对称轴上，可设点 M 的坐标为（1，m） ，分三种情况讨论，MA=BA，MB=BA，MB=MA ，求出 m 的值后即可得出答案解答：解：（1）直线 y=3x3 分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点，可得 A（1，0） ，B （0， 3） ，把 A
17、、B 两点的坐标分别代入 y=x2+bx+c 得： ，解得： 抛物线解析式为：y=x 2+2x3（2）令 y=0 得： 0=x2+2x3，解得：x 1=1，x 2=3，则 C 点坐标为：（3，0） ，AC=4，故可得 SABC= ACOB= 43=6（3）抛物线的对称轴为：x= 1，假设存在 M（1，m）满足题意：讨论：当 MA=AB 时， ，解得： ，M1（1， ） ，M 2（1， ） ；当 MB=BA 时， ，解得：M 3=0，M 4=6，M3（1， 0） ，M 4（1，6） （不合题意舍去） ，当 MB=MA 时， ，解得：m=1，M5（1， 1） ，答：共存在 4 个点 M1（1， ）
18、 ，M 2（1， ） ，M 3（1，0） ，M 4（1，1）使ABM 为等腰三角形6. 如图，抛物线 y= x2+bx+c 与 y 轴交于点 C（0，4） ，与 x 轴交于点 A，B，且 B 点的坐标为（2，0）（1）求该抛物线的解析式（2）若点 P 是 AB 上的一动点，过点 P 作 PEAC，交 BC 于 E，连接 CP，求 PCE 面积的最大值（3）若点 D 为 OA 的中点，点 M 是线段 AC 上一点，且 OMD 为等腰三角形，求 M 点的坐标分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）首先求出PCE 面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值；（3）OMD 为等腰三角
19、形，可能有三种情形，需要分类讨论解答：解：（1）把点 C（0，4） ，B（2，0）分别代入 y= x2+bx+c 中，得 ， 解得该抛物线的解析式为 y= x2+x4（2）令 y=0，即 x2+x4=0，解得 x1=4，x 2=2，A（4，0） ，S ABC= ABOC=12设 P 点坐标为（ x，0） ，则 PB=2xPEAC，BPE=BAC， BEP=BCA，PBEABC， ，即 ，化简得：S PBE= （2 x） 2SPCE=SPCBSPBE= PBOCSPBE= （2x）4 （2x） 2= x2 x+= （x+1） 2+3当 x=1 时，S PCE 的最大值为 3（3）OMD 为等腰三
20、角形，可能有三种情形：（I）当 DM=DO 时，如答图所示DO=DM=DA=2，OAC=AMD=45，ADM=90，M 点的坐标为（ 2，2） ；（II ）当 MD=MO 时，如答图所示过点 M 作 MNOD 于点 N，则点 N 为 OD 的中点，DN=ON=1，AN=AD+DN=3，又 AMN 为等腰直角三角形，MN=AN=3，M 点的坐标为（ 1，3） ；（III ）当 OD=OM 时，OAC 为等腰直角三角形，点 O 到 AC 的距离为 4= ，即 AC 上的点与点 O 之间的最小距离为 2，OD=OM 的情况不存在综上所述，点 M 的坐标为（2，2）或（1，3） 7. 如图，抛物线 y
21、=ax2+bx+c 经过点 A（ 3，0） ，B（1.0） ，C （0，3） （1）求抛物线的解析式；（2）若点 P 为第三象限内抛物线上的一点，设PAC 的面积为 S，求 S 的最大值并求出此时点 P 的坐标；（3）设抛物线的顶点为 D， DEx 轴于点 E，在 y 轴上是否存在点 M，使得 ADM 是直角三角形？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由分析：（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式；（2）过点 P 作 x 轴的垂线，交 AC 于点 N，先运用待定系数法求出直线 AC 的解析式，设 P 点坐标为（x，x 2+2x3） ，根据 AC 的
22、解析式表示出点 N 的坐标，再根据 SPAC=SPAN+SPCN 就可以表示出PAC 的面积，运用顶点式就可以求出结论；（3）分三种情况进行讨论：以 A 为直角顶点；以 D 为直角顶点；以 M 为直角顶点；设点 M 的坐标为（0，t） ，根据勾股定理列出方程，求出 t 的值即可解答：解：（1）由于抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（3，0） ，B （1，0） ，可设抛物线的解析式为：y=a（x+3） （x 1） ，将 C 点坐标（0，3）代入，得：a（0+3） （01）= 3，解得 a=1，则 y=（x+3） （x 1）=x 2+2x3，所以抛物线的解析式为：y=x 2+2x3；（2）过点
23、 P 作 x 轴的垂线，交 AC 于点 N设直线 AC 的解析式为 y=kx+m，由题意，得，解得 ，直线 AC 的解析式为： y=x3设 P 点坐标为（ x，x 2+2x3） ，则点 N 的坐标为（x，x3） ，PN=PENE=（x 2+2x3）+（x 3） =x23xSPAC=SPAN+SPCN，S= PNOA= 3（x 23x）= （x+ ） 2+ ，当 x= 时，S 有最大值 ，此时点 P 的坐标为（ ， ） ；（3）在 y 轴上是存在点 M，能够使得ADM 是直角三角形理由如下：y=x2+2x3=y=（x+1） 24，顶点 D 的坐标为（1，4） ，A（3，0） ，AD2=（ 1+3
24、） 2+（ 40） 2=20设点 M 的坐标为（0，t） ，分三种情况进行讨论：当 A 为直角顶点时，如图 3，由勾股定理，得 AM2+AD2=DM2，即（0+3） 2+（t 0） 2+20=（0+1） 2+（t+4 ） 2，解得 t= ，所以点 M 的坐标为（0， ） ；当 D 为直角顶点时，如图 3，由勾股定理，得 DM2+AD2=AM2，即（0+1） 2+（t+4 ） 2+20=（0+3） 2+（t0） 2，解得 t= ，所以点 M 的坐标为（0， ） ；当 M 为直角顶点时，如图 3，由勾股定理，得 AM2+DM2=AD2，即（0+3） 2+（t 0） 2+（0+1） 2+（t+4）
25、2=20，解得 t=1 或3，所以点 M 的坐标为（0，1）或（0，3） ；综上可知，在 y 轴上存在点 M，能够使得ADM 是直角三角形，此时点 M 的坐标为（0， ）或（0， ）或（0， 1）或（0，3） 四 四边形与二次函数问题8、如图，抛物线经过 A（1，0） ，B（5，0） ，C （0， ）三点（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点 P，使 PA+PC 的值最小，求点 P 的坐标；（3）点 M 为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N，使以 A，C，M，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点 N 的坐标；若不存在，请说明理由分析：（1）设抛物线的解析式为
26、 y=ax2+bx+c（a0） ，再把 A（1，0） ，B（5，0） ，C （0， ）三点代入求出 a、b、c 的值即可；（2）因为点 A 关于对称轴对称的点 A 的坐标为（5，0） ，连接 BC 交对称轴直线于点 P，求出 P 点坐标即可；（3）分点 N 在 x 轴下方或上方两种情况进行讨论解答：解：（1）设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c（a0） ，A（1，0） ，B （ 5，0） ，C （0， ）三点在抛物线上， ， 解得 抛物线的解析式为：y= x22x ；（2）抛物线的解析式为：y= x22x ，其对称轴为直线 x= = =2，连接 BC，如图 1 所示，B（ 5， 0） ，C
27、 （0， ） ，设直线 BC 的解析式为 y=kx+b（ k0） ， ， 解得 ，直线 BC 的解析式为 y= x ，当 x=2 时，y=1 = ，P（2， ） ；（3）存在如图 2 所示，当点 N 在 x 轴下方时，抛物线的对称轴为直线 x=2，C（0， ） ，N1（4， ） ；当点 N 在 x 轴上方时，如图，过点 N2 作 NDx 轴于点 D，在 AN2D 与M 2CO 中，AN2DM2CO（ASA） ，N2D=OC= ，即 N2 点的纵坐标为 x22x = ，解得 x=2+ 或 x=2 ，N2（2+ ， ） ，N 3（2 ， ） 综上所述，符合条件的点 N 的坐标为（4， ） ， （2
28、+ ， ）或（2 ， ） 9. 如图，抛物线 y= x2+bx+c 与 x 轴交于点 A（2，0） ，交 y 轴于点 B（0， ） 直线 y=kx 过点A 与 y 轴交于点 C，与抛物线的另一个交点是 D（1）求抛物线 y= x2+bx+c 与直线 y=kx 的解析式；（2）设点 P 是直线 AD 上方的抛物线上一动点（不与点 A、D 重合） ，过点 P 作 y 轴的平行线，交直线AD 于点 M，作 DEy 轴于点 E探究：是否存在这样的点 P，使四边形 PMEC 是平行四边形？若存在请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，作 PNAD 于点 N，设PMN 的周长为
29、 l，点 P 的横坐标为 x，求 l 与 x 的函数关系式，并求出 l 的最大值分析：（1）将 A，B 两点分别代入 y= x2+bx+c 进而求出解析式即可；（2）首先假设出 P，M 点的坐标，进而得出 PM 的长，将两函数联立得出 D 点坐标，进而得出 CE 的长，利用平行四边形的性质得出 PM=CE，得出等式方程求出即可；（3）利用勾股定理得出 DC 的长，进而根据PMNCDE，得出两三角形周长之比，求出 l 与 x 的函数关系，再利用配方法求出二次函数最值即可解答：解：（1）y= x2+bx+c 经过点 A（2，0）和 B（0， ）由此得 ，解得 抛物线的解析式是 y= x2 x+ ，
30、直线 y=kx 经过点 A（2，0）2k =0，解得：k= ，直线的解析式是 y= x ，（2）设 P 的坐标是（ x， x2 x+ ） ，则 M 的坐标是（x， x ）PM=（ x2 x+ ） （ x ）= x2 x+4，解方程 得： ， ，点 D 在第三象限，则点 D 的坐标是（8，7 ） ，由 y= x 得点 C 的坐标是（0， ） ，CE= （7 ）=6 ，由于 PMy 轴，要使四边形 PMEC 是平行四边形，必有 PM=CE，即 x2 x+4=6解这个方程得：x 1=2，x 2=4，符合8 x2，当 x=2 时，y= （2） 2 （2）+ =3，当 x=4 时，y= （4） 2 （4
31、）+ = ，因此，直线 AD 上方的抛物线上存在这样的点 P，使四边形 PMEC 是平行四边形，点 P 的坐标是（2，3）和（ 4， ） ；（3）在 RtCDE 中，DE=8，CE=6 由勾股定理得：DC=CDE 的周长是 24，PMy 轴，PMN=DCE，PNM=DEC，PMNCDE， = ，即 = ，化简整理得：l 与 x 的函数关系式是：l= x2 x+ ，l= x2 x+ = （x+3 ） 2+15， 0，l 有最大值，当 x=3 时，l 的最大值是 1510. 如图，抛物线经过 A（1，0） ，B （5，0） ，C（0， ）三点（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点
32、P，使 PA+PC 的值最小，求点 P 的坐标；（3）点 M 为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N，使以 A，C，M ，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点 N 的坐标；若不存在，请说明理由分析：（1）设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c（a0） ，再把 A（1，0） ，B（5，0） ，C （0， ）三点代入求出 a、b、c 的值即可；（2）因为点 A 关于对称轴对称的点 A 的坐标为（5，0） ，连接 BC 交对称轴直线于点 P，求出 P 点坐标即可；（3）分点 N 在 x 轴下方或上方两种情况进行讨论解答：解：（1）设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c（a0）
33、，A（1，0） ，B （ 5，0） ，C （0， ）三点在抛物线上， ，解得 抛物线的解析式为：y= x22x ；（2）抛物线的解析式为：y= x22x ，其对称轴为直线 x= = =2，连接 BC，如图 1 所示，B（ 5， 0） ，C （0， ） ，设直线 BC 的解析式为 y=kx+b（ k0） ， ，解得 ，直线 BC 的解析式为 y= x ，当 x=2 时，y=1 = ，P（2， ） ；（3）存在如图 2 所示，当点 N 在 x 轴下方时，抛物线的对称轴为直线 x=2，C（0， ） ，N1（4， ） ；当点 N 在 x 轴上方时，如图，过点 N2 作 NDx 轴于点 D，在 AN2D 与M 2CO 中，AN2DM2CO（ASA） ，N2D=OC= ，即 N2 点的纵坐标为 x22x = ，解得 x=2+ 或 x=2 ，N2（2+ ， ） ，N 3（2 ， ） 综上所述，符合条件的点 N 的坐标为（4， ） ， （2+ ， ）或（2 ， ）
