1、常用的二次曲面方程及其图形 旋转曲面：L 是 XOZ 平面内的一个曲面 其方程是： (,) 0 0 fxz y 得到旋转面的方程为： 22 (, ) 0 fxyz 柱面： 是空间的一个曲线，直线 L沿着 平行移动 所形成的曲面，叫做柱面， 称作柱面的准线，L 称作柱面的母线。 P 0 p 若准线的方程为 (,) 0 0 fxy z 当母线方向向量是l , m, n时，柱面方程是 (,) lm fx zy z nn 0 若准线的方程是： ) () :( () x ft yht zgt :( () ，母线的方向向量为 l , m, n时，柱面方程是： () ) x ft yh zg l u t t
2、n u m u 1、 椭圆球 方程为： 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x-（1） 曲线为： 1） 由方程（1）可知 1 2 2 a x ， 1 2 2 b y ， 1 2 2 c z ， 2） 其与三个坐标平面的交线为： 1 2 2 2 2 b y a xz=0 1 2 2 2 2 c z a xy =0 1 2 2 2 2 c z b yx= 0 这些交线都是椭圆。 3） 再看这个曲面平行于 xoy的平面 z= 1 z ( c z 1 )的交线 1 2 2 1 2 2 2 2 c z b y a x1 ) ( ) ( 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 z c
3、c b y z c c a x z= 1 z 4） 如果 a=b,那么方程变为： 1 2 2 2 2 2 2 c z a y a x1 2 2 2 2 2 c z a y x- （2） 根据旋转曲面的知识： （2）式表示在 xoz 平面上的椭圆 1 2 2 2 2 c z a x 围绕 z 轴的而行程的 旋转曲面，它与一般椭圆球不同之处在于，其用 z= 平面截得的平面为一个 圆点在 z 轴上的圆。 1 z具体步骤： 1） 列出平面曲线（母线）方程，比如 0 ) 0 , ( 0 y x f 2） 旋转，根据旋转曲面与平面方程（母线）的关系，列 出空间旋转曲面等式 3） 当 0 z =z，带入平面
4、曲线方程。 1 2 2 0 2 2 0 c z a x0 2 2 x y x 带入平面曲线方程： 1 2 2 0 2 2 2 c z a y x当 =z 时，得到： 0 z 1 2 2 2 2 2 c z a y x) , 0 , ( 0 0 0 z M x ) , , ( z y x M 2、 抛物面 方程为： z q y p x 2 2 2 2 （p 与 q 同号） 取p0,q0 1） 当 z=0 时，截得为原点 O,原点叫做抛物面的顶点 2） 当 z= 1 平面截得曲面为圆点在 z 轴上的圆。 z z q y p x 2 2 2 2z= 1 z1 2 2 1 2 1 2 qz y pz
5、x3） 当 y=0 时，截得的为 xoz 平面上的抛物线 pzx 2 2 4） 当 y= 1 y 平面截得曲面为平行 xoz 平面的抛物线 z q y p x 2 2 2 2y= 1 y) 2 ( 2 2 1 2 q y z p x 5） 当 p=q 时， z p y p x 2 2 2 2 表示 xoz 平面上的抛物线 围绕 z 轴而称的旋转曲面。 pz x 2 2 具体步骤： 1） 1 2 1 2pz x 2） 1 2 2 x y x 1 2 2 2pz y x 3) =z 时，得到： 1 z z p y p x 2 2 2 2) , 0 , ( 1 1 1 z x M ) , , ( z
6、 y x M 3、 双曲抛物面（鞍型曲面） 方程为： z q y p x 2 2 2 2 （p 与 q 同号） 4、 双曲面 方程为： 单叶双曲面 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x1） 当z=0时，为过原点的圆，圆点在原点上。 1 2 2 2 2 b y a x2） 当用平行与 z=0 的平面 z= 1 z 截双曲面时， 1 22 2 2 2 2 c z b y a xZ=z 12 1 2 2 2 2 2 1 c z b y a x -椭圆 3） 当 y=0 时，在 xoz 平面上为一双曲线 1 2 2 2 2 c z a x4） 当用平行 y=0 的平面y= 1 y （ 1 y b）截得曲面为中心在 y 轴上的双曲线 2 2 1 2 2 2 2 1 b y c z a x 双曲线知识回顾： 双叶双曲面 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 2 1 2 1 2 2 F F a a MF MF m 0 0 1 2 2 2 2 b a b y a x ， 0 0 1 2 2 2 2 b a b x a y ， 0 1 ， c F 0 2 ， c F c F ， 0 1 c F ， 0 2 c b a , , 双曲线定义 图形 标准方程 焦点坐标 2 1 F F、 a ( 为定点， 为常数) 0 0 2 2 2 b c a c b a c ，
