1、- 1 - 知能专练（十六） 直 线 与 圆 一、选择题 1已知直线l的倾斜角为 ，直线l 1 经过点A(3,2)，B(a,1)，且l 1 与l垂直，直线 4 l 2 ：2xby10与直线l 1 平行，则ab( ) A4 B2 C0 D2 解析：选B 由题知，直线l的斜率为1，则直线l 1 的斜率为1，所以 1，所以 21 3a a4.又l 1 l 2 ，所以 1，b2，所以ab422，故选B. 2 b 2若直线l 1 ：xay60与l 2 ：(a2)x3y2a0平行，则l 1 与l 2 间的距离为( ) A. B. 2 8 2 3 C. D. 3 8 3 3 解析：选B 由l 1 l 2 ，
2、得(a2)a13，且a2a36，解得a1，所以 l 1 ：xy60，l 2 ：xy 0，所以l 1 与l 2 间的距离为d . 2 3 | 6 2 3 | 1212 8 2 3 3(2018届高三深圳五校联考)已知直线l：xmy40，若曲线 x 2 y 2 2x6y10上存在两点P，Q关于直线l对称，则m的值为( ) A2 B2 C1 D1 解析：选D 因为曲线x 2 y 2 2x6y10是圆(x1) 2 (y3) 2 9，若圆(x1) 2 (y3) 2 9上存在两点P，Q关于直线l对称，则直线l：xmy40过圆心(1,3)，所 以13m40，解得m1. 4(2017嘉兴模拟)在平面直角坐标系
3、中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为 直径的圆C与直线2xy40相切，则圆C面积的最小值为( ) A. B. 4 5 3 4 C(62 ) D. 5 5 4 解析：选A 法一：设A(a,0)，B(0，b)，圆C的圆心坐标为 ，2r ，由题知 ( a 2 ， b 2 ) a2b2- 2 - 圆心到直线2xy40的距离d r，即|2ab8|2 r，2ab82 r，由 | a b 2 4 | 5 5 5 (2ab) 2 5(a 2 b 2 )，得82 r2 rr ，即圆C的面积Sr 2 . 5 5 2 5 4 5 法二：由题意可知以线段AB为直径的圆C过原点O，要使圆C的面积最小，只需圆C
4、的半 径或直径最小又圆C与直线2xy40相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值 为点O到直线2xy40的距离，此时2r ，得r ，圆C的面积的最小值为Sr 2 4 5 2 5 . 4 5 5已知直线xyk0(k0)与圆x 2 y 2 4交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有| | | |，那么 k的取值范围是( ) OA OB 3 3 AB A( ，) B ，) 3 2 C ，2 ) D ，2 ) 2 2 3 2 解析：选C 当| | | |时，O，A，B三点为等腰 OA OB 3 3 AB 三角形的三个顶点，其中OAOB，AOB120，从而圆心O到直线 xyk0(k0)的距离为1，此
5、时k ；当k 时，| | 2 2 OA OB | |，又直线与圆x 2 y 2 4存在两交点，故k0)上，且与直线2xy10相切的面积最小的 2 x 圆的方程为( ) A(x1) 2 (y2) 2 5 B(x2) 2 (y1) 2 5 C(x1) 2 (y2) 2 25 D(x2) 2 (y1) 2 25 解析：选A 由圆心在曲线y (x0)上，设圆心坐标为 (a0)，又圆与直线 2 x ( a， 2 a ) 2xy10相切，所以圆心到直线的距离d等于圆的半径r，而d | 2a 2 a 1 | 2212 2a 2 a 1 5- 3 - ，当且仅当2a ，即a1时取等号，此时圆的面积最小，圆心坐
6、标为(1,2)， 2 2a 2 a 1 5 5 2 a 圆的半径的最小值为 ，则所求圆的方程为(x1) 2 (y2) 2 5. 5 7若三条直线l 1 ：4xy3，l 2 ：mxy0，l 3 ：xmy2不能围成三角形，则实数m的 取值最多有( ) A2个 B3个 C4个 D6个 解析：选C 三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一 点若l 1 l 2 ，则m4；若l 1 l 3 ，则m ；若l 2 l 3 ，则m的值不存在；若三条直线相交 1 4 于同一点，则m1或 .故实数m的取值最多有4个，故选C. 5 3 8若圆(x3) 2 (y5) 2 r 2 上有且只有两个点
7、到直线4x3y20的距离等于1，则半 径r的取值范围是( ) A(4,6) B4,6 C(4,5) D(4,5 解析：选A 设直线4x3ym0与直线4x3y20之间的距离为1，则有 1，m3或m7.圆心(3，5)到直线4x3y30的距离等于6，圆心(3，5)到 |m2| 5 直线4x3y70的距离等于4，因此所求圆半径的取值范围是(4,6)，故选A. 9(2017合肥质检)设圆x 2 y 2 2x2y20的圆心为C，直线l过(0,3)且与圆C交 于A，B两点，若|AB|2 ，则直线 l的方程为( ) 3 A3x4y120或4x3y90 B3x4y120或x0 C4x3y90或x0 D3x4y1
8、20或4x3y90 解析：选B 由题可知，圆心C(1,1)，半径r2.当直线l的斜率不存在时，直线方程为 x0，计算出弦长为2 ，符合题意；当直线 l的斜率存在时，可设直线l的方程为 3 ykx3，由弦长为2 可知，圆心到该直线的距离为 1，从而有 1，解得k ，所 3 |k2| k21 3 4 以直线l的方程为y x3，即3x4y120. 3 4 综上，直线l的方程为x0或3x4y120，故选B. 10已知圆C关于x轴对称，经过点(0,1)，且被y轴分成两段弧，弧长之比为21，则圆 的方程为( )- 4 - Ax 2 2 ( y 3 3 ) 4 3 Bx 2 2 ( y 3 3 ) 1 3
9、C. 2 y 2 ( x 3 3 ) 4 3 D. 2 y 2 ( x 3 3 ) 1 3 解析：选C 设圆的方程为(xa) 2 y 2 r 2 (a0)，圆C与y轴交于 A(0,1)，B(0，1)，由弧长之比为21，易知 OCA ACB 12060，则tan 60 ，所以 1 2 1 2 |OA| |OC| 1 |OC| 3 a|OC| ，即圆心坐标为 ，r 2 |AC| 2 1 2 2 .所以圆的方程为 3 3 ( 3 3 ，0 ) ( 3 3 ) 4 3 2 y 2 ，故选C. ( x 3 3 ) 4 3 二、填空题 11设直线l 1 ：(m1)x(m3)y80(mR)，则直线l 1 恒
10、过定点_；若过原点 作直线l 2 l 1 ，则当直线l 2 与l 1 的距离最大时，直线l 2 的方程为_ 解析：由(m1)x(m3)y80，得m(xy)x3y80，令Error!得Error!所以l 1 恒 过定点A(2,2)当l 2 AO(O为坐标原点)时，直线l 1 与l 2 的距离最大，此时k AO 1，k 2 1， 所以直线l 2 的方程为yx. 答案：(2,2) yx 12(2017温州模拟)圆x 2 y 2 2y30的圆心坐标是_，半径是_ 解析：化圆的一般式方程为标准方程，得x 2 (y1) 2 4，由此知该圆的圆心坐标为(0,1)， 半径为2. 答案：(0,1) 2 13已知
11、点P(a，b)关于直线l的对称点为P(b1，a1)，则圆C：x 2 y 2 6x2y0 关于直线l对称的圆C的方程为_；圆C与圆C的公共弦的长度为 _ 解析：因为圆C的方程为x 2 y 2 6x2y0，即(x3) 2 (y1) 2 10，其圆心为(3,1)， 半径为 ，又因为点P(a，b)关于直线l的对称点为P(b1，a1)，所以令a3，b1可 10 得，其关于直线l的对称点(2,2)，所以圆C：x 2 y 2 6x2y0关于直线l对称的圆C的圆 心为(2,2)，半径为 ，即圆 C：(x2) 2 (y2) 2 10；圆C与圆C的圆心的距离为d 10 ，所以两圆公共弦的长度为2 . 232212
12、 2 102 ( 2 2 ) 2 38- 5 - 答案：(x2) 2 (y2) 2 10 38 14已知圆O：x 2 y 2 r 2 与圆C：(x2) 2 y 2 r 2 (r0)在第一象限的一个公共点为P，过 点P作与x轴平行的直线分别交两圆于不同两点A，B(异于P点)，且OAOB，则直线OP的斜 率是_，r_. 解析：两圆的方程相减得，4x40，则点P的横坐标x1.易知P为AB的中点，因为 OAOB，所以|OP|AP|PB|，所以OAP为等边三角形，所以APO60，因为ABx轴， 所以POC60，所以直线OP的斜率为 .设P(1，y 1 )，则y 1 ，所以P(1， )，代入圆 3 3 3
13、 O，解得r2. 答案： 2 3 15已知直线axy20与圆心为C的圆(x1) 2 (ya) 2 4相交于A，B两点，且 ABC为等边三角形，则实数a_. 解析：依题意，圆C的半径是2，圆心C(1，a)到直线axy20的距离等于 2 ，于是有 ，即a 2 8a10，解得a4 . 3 2 3 |1aa2| a21 3 15 答案：4 15 16(2018届高三浙江省名校联考)设圆C：(x3) 2 (y5) 2 5，过圆心C作直线l交 圆于A，B两点，交y轴于点P，若A 恰好为线段BP的中点，则直线l的方程为_ 解 析：如图，A为PB的中点，而C为AB的中点，因此，C为PB的四等 分 点而C(3,
14、5)，P点的横坐标为0，因此，A，B的横坐标分别为 2,4，将A的横坐标代入圆的方程中，可得A(2,3)或A(2,7)，根据直 线 的两点式得到直线l的方程为2xy10或2xy110. 答案：2xy10或2xy110 17在平面直角坐标系内，到点 A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，1)的距离之和最小的点 的坐标是_ 解析：取四边形ABCD对角线的交点，这个交点到四点的距离之和就是最小值可证明如下： 假设在四边形ABCD中任取一点P，在APC中，有APPCAC，在BPD中，有 PBPDBD， 而如果P在线段AC上，那么APPCAC；同理，如果P在线段BD上，那么BPPDBD.-
15、6 - 如果同时取等号，那么意味着距离之和最小，此时P就只能是AC与BD的交点易求得 P(2,4) 答案：(2,4) 选做题 1(2018届高三湖北七市(州)联考)已知圆C：(x1) 2 y 2 r 2 (r0)设条件 p：01，即01，即r3时，直线与圆相交，此时圆上有4个点到直线的距离为1. 综上，当0r3时，圆C上至多有2个点到直线x y30的距离为1；由圆C上至多 3 有2个点到直线x y30的距离为1可得0r3.故p是q的充要条件，故选C. 3 2(2017石家庄模拟)若a，b 是正数，直线2axby20被圆x 2 y 2 4截得的弦长为 2 ，则 ta 取得最大值时a的值为( )
16、3 12b2 A. B. C. D. 1 2 3 2 3 4 3 4 解析：选D 因为圆心到直线的距离d ，则直线被圆截得的弦长L2 2 2 4a2b2 r2d2 2 ，所以4a 2 b 2 4.则ta (2 a) 4 4 4a2b2 3 12b2 1 2 2 2 12b2 1 2 2 1 2 8a 2 12(44a 2 ) ，当且仅当Error!时等号成立，此 2 2a2 12b22 1 4 2 9 4 2 时a ，故选D. 3 4 3已知点A(3,0)，若圆C：(xt) 2 (y2t4) 2 1上存在点P，使|PA|2|PO|，其中- 7 - O为坐标原点，则圆心C的横坐标t的取值范围为_ 解析：设点P(x，y)，因为|PA|2|PO|，所以 2 ，化简得(x1) x32y2 x2y2 2 y 2 4，所以点P在以M(1,0)为圆心，2为半径的圆上由题意知，点P(x，y)在圆C上， 所以圆C与圆M有公共点，则1|CM|3，即 1 3,15t 2 14t179.不等式5t 2 14t160的解集为R；由 t122t42 5t 2 14t80，得 t2.所以圆心C的横坐标t的取值范围为 . 4 5 4 5 ，2 答案： 4 5 ，2
