1、- 1 - 重难增分训练（二） 三角函数的综合问题 1在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A ，a4 ，b5，则向 3 5 2 量 在 方向上的投影为( ) BA BC A. B. C. D. 1 2 2 2 3 2 3 2 解析：选B 由cos A ，0b，则AB，故B .根据余弦定理，有(4 ) 2 5 2 c 2 25c ，解得c1或 4 2 ( 3 5 ) c7(舍去)，于是向量 在 方向上的投影为| |cos B1 ，故选B. BA BC BA 2 2 2 2 2已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m(sin B，cos B)， n(si
2、n C，cos C)，若mn ，且a1，b ，则B( ) 3 2 3 A. 或 B. 3 2 3 4 C. D. 或 3 3 4 4 解析：选A 由mn ，得sin Bsin Ccos Bcos C ，即cos(BC) ， 3 2 3 2 3 2 所以cos A ，由00)的图象与x轴的交点的横坐标构成一 ( x 3 ) 个公差为 的等差数列，要得到函数 g(x)2sin x的图象，只需将函数f(x)的图象( ) 2 A向左平移 个单位长度 12 B向右平移 个单位长度 6 C向右平移 个单位长度 5 12 D向左平移 个单位长度 3 解析：选C 由题意知f(x)的周期为，2，- 2 - g(
3、x)2sin 2x2cos 2cos ，要得到函数g(x)2sin 2x的图象，只需 ( 2x 2 ) 将函数f(x)2cos 的图象向右平移 个单位长度 ( 2x 3 ) 5 12 4.已知函数ytan 的部分图象如图所示，则( ( 4 x 2 ) OA ) _. OB AB 解析：ytan 0 x k(kZ)， ( 4 x 2 ) 4 2 x4k2(kZ)，结合题中图得x2，故A(2,0)，由 ytan 1 x k x4k3(kZ)，结合题中图得x3，故B(3,1)，所 ( 4 x 2 ) 4 2 4 以 (5,1)， (1,1)故( ) 51116. OA OB AB OA OB AB
4、答案：6 5(2017临沂模拟)已知函数f(x)4sin cos x . 3 (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)若函数g(x)f(x)m在 上有两个不同的零点x 1 ，x 2 ，求实数m的取值范围，并 0， 2 计算tan(x 1 x 2 )的值 解：(1)f(x)4sin cos x ( x 3 ) 3 4 cos x ( 1 2 sin x 3 2 cos x ) 3 2sin xcos x2 cos 2 x 3 3 sin 2x cos 2x 3 2sin . ( 2x 3 ) 所以f(x)的最小正周期T. 由2k 2x 2k (kZ)，得k xk (kZ) 2 3
5、 2 12 5 12 所以函数f(x)的单调递增区间为 (kZ) k 12 ，k 5 12 (2)方程g(x)0同解于f(x)m， 在平面直角坐标系中画出函数f(x)2sin 在 上的图象，如图所示，由图象 ( 2x 3 ) 0， 2 可知，- 3 - 当且仅当m ，2)时，方程 f(x)m有两个不同的解x 1 ，x 2 ，且x 1 x 2 2 ， 3 5 12 5 6 故tan(x 1 x 2 )tan tan . 5 6 6 3 3 6在ABC中，AD是BC边的中线，AB 2 AC 2 ABACBC 2 ，且ABC的面积为 . 3 (1)求BAC的大小及 的值； AB AC (2)若AB4
6、，求AD的长 解：(1)在ABC中，由AB 2 AC 2 ABACBC 2 ，可得 cosBAC， AB2AC2BC2 2ABAC 1 2 故BAC120. 因为S ABC ABACsinBAC ABACsin 120 ， 1 2 1 2 3 所以 ABAC ，解得ABAC4. 1 2 3 2 3 所以 | | |cos 120| | | 4 2. AB AC AB AC AB AC ( 1 2 ) ( 1 2 ) (2)法一：由AB4，ABAC4 得AC1. 在ABC中，由余弦定理得 BC 2 AB 2 AC 2 2ABACcosBAC161241 21， ( 1 2 ) 得BC . 21
7、由正弦定理得 ， BC sinBAC AC sinABC 则sinABC . ACsinBAC BC 1 3 2 21 7 14 00，若 f(x)的图象上相邻两个对称中心的距离大于等于. (1)求的取值范围； (2)在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a ，当最大时，f(A)1，求 3 ABC的面积的最大值 解：(1)由题意知f(x)mncos 2 xsin 2 x sin 2xcos 2x sin 3 3 2x2sin . ( 2x 6 )- 5 - ，又0，0 0，| 2 ) 个单位后得到的函数为奇函数 6 (1)求f(x)的解析式； (2)在锐角ABC中，角A，B，C 的对
8、边分别为a，b，c，且满足(2ca)cos Bbcos A， 求f(A)的取值范围 解：(1)f f(x)， ( x 2 ) f(x)f f(x)，T，2， ( x 2 ) 则f(x)的图象向左平移 个单位后得到的函数为g(x)sin ，而g(x)为奇函数， 6 ( 2x 3 ) 则有 k，kZ，而| ， 3 2 则有 ，从而f(x)sin . 3 ( 2x 3 ) (2)(2ca)cos Bbcos A， 由正弦定理得2sin Ccos Bsin (AB)sin C. C ，sin C0，cos B ，B . ( 0， 2 ) 1 2 3 ABC是锐角三角形，C A ， 2 3 2 A ，0
9、2A ， 6 2 3 2 3- 6 - sin (0,1，f(A)sin (0,1 ( 2A 3 ) ( 2A 3 ) 10已知向量a ，b( cos x ，cos x) ( 2cos x1，2sin x) 6 3 (1)当xk ，kZ时，若向量c(1,0)，d( ，0)，且(ac)(bd)，求 2 3 4sin 2 xcos 2 x的值； (2)若函数f(x)ab图象相邻两对称轴之间的距离为 ，当x 时，求函数 4 2 ， 6 f(x)的单调递增区间 解：(1)因为ac( cos x,2sin x)，bd( cos x，cos x)，所以由(ac) 2 6 (bd)， 得 cos 2 x2
10、sin xcos x0， 2 6 因为xk ，kZ， 2 所以cos x0，则tan x ， 3 6 所以4sin 2 xcos 2 x . 4sin2xcos2x sin2xcos2x 4tan2x1 tan2x1 8 13 (2)由题意得，f(x)ab( cos x1)( cos x )2sin xcos 2 6 3 x (2cos 2 x1)sin 2x cos 2xsin 2x2sin . 3 3 ( 2x 3 ) 因为相邻两对称轴之间的距离为 ， 4 所以 ，2， 2 2 1 2 4 故f(x)2sin . ( 4x 3 ) 令2k 4x 2k ，kZ， 2 3 2 解得 k x k ，kZ. 1 2 5 24 1 2 24 又x ，所以，取k1,0，可得f(x)的单调递增区间是 和 2 ， 6 2 ， 11 24 . 5 24 ， 24
