1、- 1 - 知能专练（九） 数列的通项 一、选择题 1等差数列a n 的前n项和为S n ，若a 1 2，S 3 12，则a 6 等于( ) A8 B10 C12 D14 解析：选C 设等差数列a n 的公差为d，则S 3 3a 1 3d，所以12323d，解得 d2，所以a 6 a 1 5d25212，故选C. 2已知等差数列a n 满足a 2 3，a 5 9，若数列b n满足b 1 3，b n1 ab n ，则b n 的通 项公式为b n ( ) A2 n 1 B2 n 1 C2 n1 1 D2 n1 2 解析：选B 据已知易得a n 2n1，故由b n1 ab n 可得b n1 2b n
2、 1，变形为 b n1 12(b n 1)，即数列b n 1是首项为2，公比为2的等比数列，故b n 12 n ，解得 b n 2 n 1.故选B. 3已知数列a n 中，a 1 3，a 2 5且对于大于2的正整数，总有a n a n1 a n2 ，则 a 2 018 等于( ) A5 B5 C3 D3 解析：选B a n6 a n5 a n4 a n4 a n3 a n4 (a n2 a n1 ) a n2 a n1 (a n1 a n )a n1 a n ，故数列a n 是以6为周期的周期数列，a 2 018 a 33662 a 2 5，故选B. 4已知数列a n 满足a 1 1，且 a
3、n a n1 n (n2，且nN * )，则数列a n 的通项公式 1 3 ( 1 3 ) 为( ) Aa n Ba n 3n n2 n2 3n Ca n n2 Da n (n2)3 n 解析：选B 由a n a n1 n (n2且nN * )，得 1 3 ( 1 3 ) 3 n a n 3 n1 a n1 1,3 n1 a n1 3 n2 a n2 1，3 2 a 2 3a 1 1，以上各式相加得3 n a n n2，故 a n . n2 3n 5(2017宝鸡模拟)已知数列a n 的前n项和为S n ，且满足4(n1)(S n 1)(n2) 2 a n ， 则数列a n 的通项公式为a n
4、 ( ) A(n1) 3B(2n1) 2 C8n 2D(2n1) 2 1 解析：选A 当n1时，4(11)(a 1 1)(12) 2 a 1 ，解得a 1 8，当n2时，由- 2 - 4(S n 1) ，得4(S n1 1) ，两式相减得，4a n n22an n1 n12an1 n n22an n1 ，即 ，所以a n a 1 n12an1 n an an1 n13 n3 an an1 an1 an2 a2 a1 n13 n3 8(n1) 3 ，经验证n1时也符合，所以a n (n1) 3 . n3 n13 33 23 6在各项均不为零的数列a n 中，若a 1 1，a 2 ，2a n a
5、n2 a n1 a n2 a n a n1 (nN * )， 1 3 则a 2 018 ( ) A. B. 1 4 033 1 4 034 C. D. 1 4 035 1 4 037 解析：选C 因为2a n a n2 a n1 a n2 a n a n1 (nN * )，所以 ，所以 是 2 an1 1 an 1 an2 1 an 等差数列，其公差d 2，所以 1(n1)22n1，a n ，所以a 2 018 1 a2 1 a1 1 an 1 2n1 . 1 4 035 二、填空题 7已知数列a n 中，a 3 3，a n1 a n 2，则a 2 a 4 _，a n _. 解析：因为a n1
6、 a n 2，所以a n 为等差数列且公差d2，由a 1 2d3得a 1 1，所 以a n 1(n1)22n3，a 2 a 4 2a 3 6. 答案：6 2n3 8设数列a n 的前n项和为S n ，且a 1 a 2 1，nS n (n2)a n 为等差数列，则a n 的通项 公式a n _. 解析：因为nS n (n2)a n 为等差数列，且S 1 3a 1 4,2S 2 4a 2 8，则该等差数列的公差 为4，所以nS n (n2)a n 44(n1)4n，即S n a n 4，S n1 a n1 4(n2)，两 n2 n n1 n1 式相减整理得 (n2)，则 an an1 n 2n1
7、a n a 1 1 ，经验证n1时也符合，所 a2 a1 a3 a2 an an1 1 2n1 2 1 3 2 n n1 n 2n1 以a n . n 2n1 答案： n 2n1 9如图，互不相同的点A 1 ，A 2 ，A n ，和B 1 ，B 2 ，B n ，分别在角O的两条边上， 所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n1 A n1 的面积均相等设OA n a n .若a 1 1，a 2 2，则数- 3 - 列a n 的通项公式是_ 解析：设A 1 B 1 O的面积为S 0 ，梯形A n B n B n1 A n1 的面积为S 2 S3S 0 ， S0 S0S ( a
8、1 a2 ) 2 2 . S0nS S0n1S ( an1 an2 ) 13n 43n ( an1 an2 ) 由上面2种情况得 2 3n2 3n1 ( an an1 ) 2 2 2 2 2 2 ( a1 a2 ) ( a2 a3 ) ( a3 a4 ) ( an an1 ) ( a1 an1 ) 1 4 4 7 7 10 3n2 3n1 1 3n1 ( a1 an1 ) 1 3n1 a n1 ，且a 1 1a n ，nN * . 3n1 3n2 答案：a n ，nN * 3n2 三、解答题 10已知数列a n 满足a 1 1，a n 3 n1 a n1 (n2) (1)求a 2 ，a 3 ；
9、 (2)证明：a n . 3n1 2 解：(1)易知a 2 4，a 3 13. (2)证明：由于a n 3 n1 a n1 (n2)， a n a n1 3 n1 (n2) a n (a n a n1 )(a n1 a n2 )(a 2 a 1 )a 1 3 n1 3 n2 31 (n2)，经检验，n1时也满足上式，故a n . 3n1 2 3n1 2 11数列a n 满足a 1 1且8a n1 a n 16a n1 2a n 50(n1)，记b n (n1) 1 an 1 2 (1)求b 1 ，b 2 ，b 3 ，b 4 的值； (2)求数列b n 的通项及数列a n b n 的前n项和S
10、n . 解：(1)由b n ，得a n . 1 an 1 2 1 bn 1 2 代入递推关系8a n1 a n 16a n1 2a n 50， 整理得 0. 4 bn1bn 6 bn1 3 bn- 4 - 即b n1 2b n . 4 3 由a 1 1得b 1 2， 所以b 2 ，b 3 4，b 4 . 8 3 20 3 (2)b n1 2b n ， 4 3 b n1 2 ，b 1 0. 4 3 ( bn 4 3 ) 4 3 2 3 是以 为首项，以2 为公比的等比数列 bn 4 3 2 3 故b n 2 n ，即b n 2 n . 4 3 1 3 1 3 4 3 由b n 得a n b n
11、b n 1， 1 an 1 2 1 2 故S n a 1 b 1 a 2 b 2 a n b n (b 1 b 2 b n )n 1 2 n 1 3 12n 12 5 3 (2 n 5n1) 1 3 12(2016浙江高考)设数列a n 的前n项和为S n ，已知S 2 4，a n1 2S n 1，nN * . (1)求通项公式a n ； (2)求数列|a n n2|的前n项和 解：(1)由题意得Error!则Error! 又当n2时，由a n1 a n (2S n 1)(2S n1 1)2a n ，得a n1 3a n ，又a 2 2，则 a n 3 n1 ，而n1时也符合该式， 所以数列a n 的通项公式为a n 3 n1 ，nN * . (2)设b n |3 n1 n2|，nN * ，则b 1 2，b 2 1. 当n3时，由于3 n1 n2，故b n 3 n1 n2，n3. 设数列b n 的前n项和为T n ，则 T 1 2，T 2 3， 当n3时，T n 3 ， 913n2 13 n7n2 2 3nn25n11 2 因为当n2时，也符合T n . 3nn25n11 2 所以T n Error!
