1、- 1 - 专题验收评估(二) 三角函数、解三角形、平面向量(时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1(2017杭州模拟)已知cos ，则sin 2( ) ( 4 ) 4 5 A. B. C D 24 25 7 25 24 25 7 25 解析：选B 因为sin 2cos cos 2cos 2 12 2 1 ， ( 2 2 ) ( 4 ) ( 4 5 ) 7 25 所以应选B. 2已知向量a(1,2)，b(2，m)，若ab，则|2a3b|( ) A. B4 C3 D2 70 5 5 5 解析
2、：选B 依题意得， ，故m4,2a3b2(1,2)3(2，4)(4，8)， m 2 2 1 故|2a3b| 4 . 4282 5 3(2017山东高考)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC为锐角三角 形，且满足sin B(12cos C)2sin Acos Ccos Asin C，则下列等式成立的是( ) Aa2b Bb2a CA2B DB2A 解析：选A 由题意可知sin B2sin Bcos Csin Acos Csin(AC)，即2sin Bcos Csin Acos C，又cos C0，故2sin Bsin A，由正弦定理可知a2b. 4.已知函数f(x)Acos(
3、x)的图象如图所示，f ， ( 2 ) 2 3 则f 等于( ) ( 6 ) A B C. D. 2 3 1 2 2 3 1 2 解析：选A 由题图知，T2 ， ( 11 12 7 12 ) 2 3 f f f . ( 6 ) ( 6 2 3 ) ( 2 ) 2 3 5已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos 2 Acos 2A0，a7，c6，则b( ) A10 B9 C8 D5 解析：选D 化简23cos 2 Acos 2A0，得23cos 2 A2cos 2A10，解得cos A 1 5- 2 - .由余弦定理，知a 2 b 2 c 2 2bccos A，代入数据，
4、解方程，得b5 ( cos A 1 5 舍去 ) . ( b 13 5 舍去 ) 6(2018届高三江西百校联考)已知函数f(x)sin(x) 的图 ( | 0 ) 象在y轴右侧的第一个最高点为P ，在原点右侧与x轴的第一个交点为Q ，则f ( 6 ，1 ) ( 5 12 ，0 ) 的值为( ) ( 3 ) A1 B. C. D. 2 2 1 2 3 2 解析：选C 由题意得 ，所以T，所以2，则f(x)sin(2x)，将 T 4 5 12 6 点P 代入f(x)sin(2x)，得sin 1，所以 2k(kZ)又 ( 6 ，1 ) ( 2 6 ) 6 |0恒成立，则实数的取值范围是( ) A.
5、 B. C. D. ( 12 ， 5 12 ) ( 6 ， 4 ) ( 4 ， 3 4 ) ( 6 ， 5 6 ) 解析：选A 由题可设f(x)(cos sin 1)x 2 (2sin 1)xsin .因为 0，)，所以 ，所以cos sin 4 4 ， 5 4 ) 1 sin 1(0， 1，所以关于x的一元二次函数的图象开口方向向上，要 2 ( 4 ) 2 使x1,0，f(x)0恒成立，则必有Error!所以 ，此时2cos 2sin ( 0， 2 ) 22sin 1，则函数的对称轴x 0 1，且x 0，所以2 1 2 ，即 ，故选A. ( 6 ， 5 6 ) ( 12 ， 5 12 ) 1
6、0已知共面向量a，b，c满足|a|3，bc2a，且|b|bc|.若对每一个确定的向 量b，记|bta|(tR)的最小值为d min ，则当b变化时，d min 的最大值为( ) A. B2 C4 D6 4 3 解析：选B 不妨设向量a(3,0)，则由bc2a，设 |ba|ca|r，则向量b，c对应的点分别在以(3,0)为圆心，r为 半径的圆上的直径两端运动，其中 a， b， c，并设 OA OB OC BAH，如图，易得点B的坐标B(rcos 3，rsin )，因为 |b|bc|，所以| | |，则(rcos 3) 2 (rsin ) 2 4r 2 ，整理为r 2 2rcos OB CB 30
7、，cos ，而|bta|(tR)表示向量b对应的点到动点(3t,0)的距离，向 r23 2r 量|bta|(tR)的最小值为向量b对应的点到x轴的距离d min ，即d min | |rsin r BH - 4 - 2，所以d min 的最大值是2，故选B. 1cos2 r410r29 4 4 r252 4 二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把答案填在 题中横线上) 11已知函数f(x)tan ，则f(x)的最小正周期为_，f _. ( x 6 ) ( 4 ) 解析：因为f(x)tan ，所以函数f(x)的最小正周期T，f tan ( x 6 ) ( 4 )
8、 ( 4 6 ) 2 . tan 4 tan 6 1tan 4 tan 6 1 3 3 1 3 3 3 答案： 2 3 12在ABC中，D为BC边的中点，AD1，点P在线段AD上，则 ( )的 PA PB PC 最小值为_，这时| |_. PA 解析：依题意得， ( )2 2| | |2 2 PA PB PC PA PD PA PD ，当且仅当| | | 时取等号， 1 2 PA PD 1 2 因此 ( )的最小值是 . PA PB PC 1 2 答案： 1 2 1 2 13(2017绍兴模拟)已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2cos 2 A sin 2A2，b1，S
9、ABC ，则A_， _. 3 3 2 bc sin Bsin C 解析：因为2cos 2 A sin 2A2，所以cos 2A sin 2A1，sin ，因为 3 3 ( 2A 6 ) 1 2 A(0，)，所以2A ，所以2A ，解得A ，所以S 6 ( 6 ， 13 6 ) 6 5 6 3 ABC bcsin ，所以bc2，又b1，所以c2.由余弦定理得 1 2 3 3 2 a 2 b 2 c 2 2bccos 523，所以a 2 b 2 c 2 ，所以ABC为直角三角形，C ，所以sin 3 2 B ，sin C1，所以 2. 1 2 bc sin Bsin C 3 1 2 1- 5 -
10、答案： 2 3 14设e 1 ，e 2 为单位向量，且e 1 ，e 2 的夹角为 ，若ae 1 3e 2 ，b2e 1 ，则 3 ab_，向量a在b方向上的射影为_ 解析：依题意得|e 1 |e 2 |1且 e 1 e 2 ，ab(e 1 3e 2 )2e 1 2e 6e 1 e 2 26 5，|b|2，所以向量a在b方向 1 2 2 1 1 2 上的射影为|a|cosa，b . ab |b| 5 2 答案：5 5 2 15(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos Bacos Cccos A，则B_. 解析：法一：由2bcos Bacos Cccos A及正
11、弦定理，得2sin Bcos Bsin Acos Csin Ccos Asin(AC)sin B0，因此cos B .又0B，所以B . 1 2 3 法二：由2bcos Bacos Cccos A及余弦定理，得 2b a c ，整理得，a 2 c 2 b 2 ac，所以2accos a2c2b2 2ac a2b2c2 2ab b2c2a2 2bc Bac0，cos B .又0B，所以B . 1 2 3 答案： 3 16(2017山东高考)已知e 1 ，e 2 是互相垂直的单位向量若 e 1 e 2 与e 1 e 2 的夹角 3 为60，则实数的值是_ 解析：因为 ， 3e1e2e1e2 | 3
12、e1e2|e1e2| 3 2 12 故 ，解得 . 3 2 12 1 2 3 3 答案： 3 3 17(2017宁波质检)已知平面向量，(0)满足|1，且与的夹角 为120，则|的取值范围是_ 解析：如图，设 ， ，则在ABC中， AC AB ACB60，根据正弦定理得 ，即| | sinABC | sin 60- 6 - sinABC，由于 0ABC120，所以0sinABC1，故0| . sinABC sin 60 2 3 3 2 3 3 答案： ( 0， 2 3 3 三、解答题(本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 18(本小题满分14分)(2017衢州质检)
13、在ABC中，角A，B，C所对的边分别为 a，b，c，cos 2B3cos B10，且a 2 c 2 acb2. (1)求边b的长； (2)求ABC周长的最大值 解：(1)cos 2B3cos B10，2cos 2 B3cos B20，解得cos B 或cos 1 2 B2(舍去)，又B(0，)，则B ，由余弦定理得b 2 a 2 c 2 ac，又 3 a 2 c 2 acb2，b 2 b20，解得b2(b1，舍去) (2)由正弦定理得 ， a sin A c sin C b sin B 2 sin 3 4 3 3 则abc (sin Asin C)2 2 24sin 2，当A 4 3 3 4
14、3 3 4 3 3 时，周长取得最大值6. 3 19(本小题满分15分)(2017深圳调研)已知函数f(x)2sin (0x5)，点 ( x 6 3 ) A，B分别是函数yf(x)图象上的最高点和最低点 (1)求点A，B的坐标以及 的值； OA OB (2)设点A，B分别在角，的终边上，求tan(2)的值 解：(1)0x5， ， 3 x 6 3 7 6 sin 1. 1 2 ( x 6 3 ) 当 ，即x1时，sin 1，f(x)取得最大值2； x 6 3 2 ( x 6 3 ) 当 ，即x5时，sin ， x 6 3 7 6 ( x 6 3 ) 1 2 f(x)取得最小值1. 因此，点A，B
15、的坐标分别是A(1,2)，B(5，1) 152(1)3. OA OB - 7 - (2)点A(1,2)，B(5，1)分别在角，的终边上，tan 2，tan ，tan 2 ，tan(2) . 1 5 2 ( 1 5 ) 1 ( 1 5 ) 2 5 12 2 ( 5 12 ) 12 ( 5 12 ) 29 2 20(本小题满分15分)(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知sin(AC)8sin 2 . B 2 (1)求cos B； (2)若ac6，ABC的面积为 2，求b. 解：(1)由题设及ABC得sin B8sin 2 ，即sin B4(1cos B)，故 B
16、2 17cos 2 B32cos B150，解得cos B ，cos B1(舍去) 15 17 (2)由cos B ，得sin B ，故S ABC acsin B ac.又S ABC 2，则ac .由余 15 17 8 17 1 2 4 17 17 2 弦定理及ac6得b 2 a 2 c 2 2accos B(ac) 2 2ac(1cos B)362 4.所 17 2 ( 1 15 17 ) 以b2. 21(本小题满分15分)已知向量m(2sin x，cos 2 xsin 2 x)，n( cos x,1)， 3 其中0，xR.若函数f(x)mn的最小正周期为. (1)求的值； (2)在ABC中
17、，若f(B)2，BC ，sin B sin A，求 的值 3 3 BA BC 解：(1)f(x)mn2 sin xcos xcos 2 xsin 2 x sin 2xcos 3 3 2x2sin .f(x)的最小正周期为，T .0，1. ( 2x 6 ) 2 2| (2)设ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c.f(B)2，2sin 2， ( 2B 6 ) 即sin 1，解得B .BC ，即a ，又sin B sin ( 2B 6 ) 2 3 3 3 3 A，b a，b3，由正弦定理得 ，解得sin 3 3 sin A 3 sin 2 3 A .0A ，A ，C ，c ， cacos B
18、 cos 1 2 3 6 6 3 BA BC 3 3 2 3 . 3 2 22(本小题满分15分)在ABC 中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知- 8 - a(sin Bsin C，sin Csin A)，b(sin Bsin C，sin A)，且ab. (1)求角B的大小； (2)若bccos A，ABC的外接圆的半径为1，求ABC的面积 解：(1)a(sin Bsin C，sin Csin A)，b(sin Bsin C，sin A)，且ab， (sin Bsin C)(sin Bsin C)(sin Csin A)sin A0，b 2 a 2 c 2 ac，由 余弦定理知，b 2 a 2 c 2 2accos B，2cos B1，B . 3 (2)bccos A，ABC是直角三角形，而B ，故A ，由 2R， 3 6 a sin A b sin B 得 2，解得a1，b ，故S ABC 1 . a sin 6 b sin 3 3 1 2 3 3 2
