1、结构可靠度理论与应用1、如图所示圆截面直杆，承受拉力 P=120KN，已知材料的强度设计值 fy 的均值 fy=310MPa，标准差为 fy=25MPa，杆直径 d 的均值 d=30mm，标准差为 d=3mm，在功能函数为：（1） ；（2） ，2(/4)ZrF24/ZrFd在这两种情况下，试用中心点法求其可靠度指标和可靠度。程序：clear;clc;muX=310;30;sigmaX=25;3;Z=pi/4*muX(2)2*muX(1)-120e3;Zx=pi/4*muX(2)2;pi/2*muX(1)*muX(2);betaC1=Z/norm(Zx.*sigmaX)Pr1=normcdf(b
2、etaC1)Z=muX(1)-4/pi*120e3/muX(2)2;Zx=1;8*120e3/pi/muX(2)3;betaC2=Z/norm(Zx.*sigmaX)Pr2=normcdf(betaC2)运行结果：betaC1 =2.0977Pr1 =0.9820betaC2 =3.3259Pr2 = 0.99962、粒状土承受剪切应力 =52KPa ，其剪切面法向应力 w 服从正态分布，均值为 100KPa，标准差为 20KPa，土的磨擦角 服从正态分布，均值为 35，标准差为 5(=0.0873 弧度)。 w 和 相互独立，极限状态方程为：Z=wtan-=0，用中心点法计算 值和失效概率
3、pf。程序：clear;clc;muX=100;35*pi/180;sigmaX=20;5*pi/180;Z=muX(1)*tan(muX(2)-52;Zx=tan(muX(2); muX(1)/cos(muX(2)2;betaC=Z/norm(Zx.*sigmaX)Pf=normcdf(-betaC)运行结果：betaC =0.9429Pf =0.17293、某钢梁承受确定性弯矩 ，抗弯截面模量138MkNm，服从正态分布；钢材强度 f 服从对数正态分布63(8901,0.5)WWm（ ） ，极限状态方程为 =0。试用中心点法和验2fPaf ZfWM算点法求可靠指标 及梁的失效概率 ，并比较
4、其计算结果。fP中心点法：clear;clc;muX=262e6;8.9e-4;cvX=0.1;0.05;sigmaX=cvX.*muX;Z=muX(1)* muX(2)-1.38e5;Zx= muX(2); muX(1);beta1=Z/norm(Zx.*sigmaX)Pf1=normcdf(-beta1)结果：beta1 =3.6509Pf1 =1.3066e-004验算点法：clear;clc;muX=262e6;890e-6;cvX=0.1;0.05;sigmaX=cvX.*muX;sLn=sqrt(log(1+sigmaX(1)/muX(1)2);mLn=log(muX(1)-sLn
5、*2/2;muX1=muX;sigmaX1=sigmaX;x=muX;normX=eps;while abs(norm(x)-normX)/normX1e-6normX=norm(x);Z= x(1)*x(2)-1.38e5;Zx= x(2); x(1);cdfX=logncdf(x(1),mLn,sLn);pdfX=lognpdf(x(1),mLn,sLn);nc=norminv(cdfX);sigmaX1(1)=normpdf(nc)/pdfX;muX1(1)=x(1)-nc*sigmaX1(1);Zs=Zx.*sigmaX;aX=-Zs/norm(Zs);beta=(Z+Zx*(muX1
6、-x)/norm(Zs)x=muX1+beta*sigmaX1.*aX;endbeta2=betaPf2=normcdf(-beta2)结果：Beta2 =3.9421Pf2 = 4.0391e-005验算点法得到的可靠度指标大一些，验算点法考虑了随机变量的分布，使用验算点法得到的结果更加准确。4、已知某钢筋混凝土受压短柱的极限状态方程为 ，(,)0ZgRGQ抗力 R 服从对数正态分布 ；恒载 ，服从0.17R(GN53,.71)GkkN正态分布；活载 服从极值 I 型分布， 。试用 JC 法求Q0,Q2.Q当目标可靠指标 =3.7 时，构件截面的抗力平均值R？程序：clear;clc; de
7、ltaR=0.17; muG=53;sigmaG=3.71; muQ=70;sigmaQ=20.31; beta=3.7; sigmaLnR=sqrt(log(1+deltaR2);aEv=sqrt(6)*sigmaQ/pi; uEv=-psi(1)*aEv-muQ; S0=muG, muQ;R0=muG+muQ;R1=0;cosR=0;while abs(R1-R0)1e-6R1=R0;cdfQ=1-evcdf(-S0(2),uEv,aEv);pdfQ=evpdf(-S0(2),uEv,aEv);sigmaQ1=normpdf(norminv(cdfQ)/pdfQ;muQ1=S0(2)-no
8、rminv(cdfQ)*sigmaQ1;muS=muG,muQ1;sigmaS=sigmaG,sigmaQ1;sigmaR1=sigmaLnR*R0;cosS=-(-1, -1.* sigmaS)./norm(1,-1,-1.*sigmaR1, sigmaS);cosR=-1*sigmaR1/norm(1,-1,-1.*sigmaR1,sigmaS);S0=muS+cosS.*sigmaS*beta;R0=S0(1)+S0(2);endRR=R0*sqrt(1+deltaR2)*exp(-beta*sigmaLnR*cosR);muR=RR结果：muR=320.01195、设某构件正截面强度计
9、算的极限状态方程为 Z=R-S=0。其中 R 和 S 分别为正态和极值 I 型分布的随机变量，其统计量为 R(100,20)和 S(80,24)，20 和 24为标准差。试用 JC 法和蒙特卡罗模拟分别求解构件失效概率。JC 法：clear;clc; muX=100;80;sigmaX =20;24; g=muX(1)- muX(2); gX= muX(2);muX(1); aEv=sqrt(6)*sigmaX(2)/pi; uEv=-psi(1)*aEv-muX(2); muX1=muX;sigmaX1=sigmaX;x=muX;normX=eps;while abs(norm(x)-nor
10、mX)/normX1e-6normX=norm(x);g=x(1)-x(2);gX=1;-1;cdfX=1-evcdf(-x(2),uEv,aEv);pdfX=evpdf(-x(2),uEv,aEv);nc=norminv(cdfX);sigmaX1(2)=normpdf(nc)/pdfX;muX1(2)=x(2)-nc*sigmaX1(2);gs=gX.*sigmaX1;alphaX=-gs/norm(gs);beta1=(g+gX*(muX1-x)/norm(gs);x=muX1+beta1*sigmaX1.*alphaX;endPf1=normcdf(-beta1) 结果：Pf1=0.2
11、221蒙特卡罗法：clear;clc;muX=100;80;sigmaX=20;24;aEv=sqrt(6)*sigmaX(2)/pi;uEv=-psi(1)*aEv-muX(2);g=muX(1)- muX(2);gX= muX(2);muX(1);nS=1e6;ig=ones(nS,1);x=normrnd(muX(1),sigmaX(1),nS,1),-evrnd(uEv,aEv,nS,1);g=x(:,1)-x(:,2);nF=sum(ig(g=0); Pr=nR/nS结果：Pr=0.50127、设构件的极限状态方程为 ， ，1234Zxx1(,)(234.,01)x为对数正态分布；
12、，为对数正态分布；2(,)(9.5,0)x 3x，为正态分布； ，为极值 I 型分布。(152.9,0)4(96.,0)x试用蒙特卡洛法计算该结构构件的可靠度。程序：clear;clc;muX=2234.32;949.59;1521.9;496.1;sigmaX =0.1;0.1;0.109;0.292;sLn1=sqrt(log(1+sigmaX(1)/muX(1)2);mLn1=log(muX(1)-sLn1*2/2;sLn2=sqrt(log(1+sigmaX(2)/muX(2)2);mLn2=log(muX(2)-sLn2*2/2;nS=1e6;ig=ones(nS,1);x1 = l
13、ognrnd(mLn1,sLn1,1,nS);x2 = lognrnd(mLn2,sLn2,1,nS);x3 = normrnd(muX(3),sigmaX(3),1,nS);syms x alpha k; EVIpdf = alpha*exp(-alpha*(x-k)-exp(-alpha*(x-k);EVIcdf = exp(-exp(-alpha*(x-k);alpha=1.2825/sigmaX(4); k=muX(4)-0.5772/alpha; EVIpdfStar = eval(vpa(subs(EVIpdf,x,muX(4); EVIcdfStar = eval(vpa(subs(EVIcdf,x,muX(4); aEv = normpdf(norminv(EVIcdfStar)/EVIpdfStar;uEv = muX(4)-norminv(EVIcdfStar)*sigmaX(4);x4 = evrnd(uEv,aEv,1,nS);g=x1+x2-x3-x4; nR=sum(ig(g=0); Pr=nR/nS 结果：Pr=1
