1、第四章 静定结构的内力分析,第一节 轴向拉压杆,屋架结构的简化,1 轴向拉伸和压缩的概念,工程中有很多构件，例如屋架中的杆，是等直杆，作用于杆上的外力的合力的作用线与杆的轴线重合。在这种受力情况下，杆的主要变形形式是轴向伸长或缩短。,轴向拉伸和压缩,两个FP力指向端截面，使杆发生纵向收缩，称为轴向压力。,FP,FP,FP,FP,在杆的两端各受一集中力FP作用，两个FP力大小相等，指向相反，且作用线与杆轴线重合,两个FP力背离端截面，使杆发生纵向伸长，称为轴向拉力。,轴向拉伸和压缩,2 轴向拉（压）杆的内力,所谓内力，从广义上讲，是指杆件内部各质点之间的相互作用力。显然，在无荷载时，这种力是自然
2、存在的，但一旦有外部荷载存在，杆件内部质点之间的相对位置就要发生改变，这种由于荷载作用而引起的受力构件内部之间相互作用力的改变量称为附加内力。 建筑力学中研究的是这种附加内力，以后简称内力。,轴向拉伸和压缩,构件中的内力随着变形的增加而增加大，但对于确定的材料，内力的增加有一定的限度，超过这一限度，构件将发生破坏。 因此，内力与构件的强度和刚度都有密切的联系。在研究构件的强度、刚度等问题时，必须知道构件在外力作用下某截面上的内力值。,轴向拉伸和压缩,求内力的基本方法截面法,内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的基础。求内力的一般方法是截面法。,截面法的基本步骤： （1）截开：在所求内力
3、的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。 （2）代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。 （3）平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来计算杆在截开面上的未知内力。,轴向拉伸和压缩,由平衡方程 Fx=0， FN-FP=0 得 FN=FP,（）截开,（）代替,（）列平衡方程,轴向拉伸和压缩,轴向拉（压）杆的内力轴力,轴向拉（压）杆的内力是一个作用线与杆件轴线重合的力，习惯上把与杆件轴线相重合的内力称为轴力。并用符号FN表示。,轴力的正负规定:,FN与外法线同向,为正轴力(拉力),FN与外法线反向,为负轴力(压力),轴向拉伸和压缩,注意:
4、 在计算杆件内力时，将杆截开之前，不能用合力来代替力系的作用，也不能使用力的可传性原理以及力偶的可移性原理。因为使用这些方法会改变杆件各部分的内力及变形。,轴向拉伸和压缩,Fx= 0 FN1 + 20 = 0,FN1= -20kN,于1-1截面处将杆截开，取右段为分离体，设轴力 为正值。则,例 试求等直杆指定截面的轴力。,轴向拉伸和压缩,于2-2截面处将杆截开，取右段为分离体，设轴力为正值。则,Fx= 0 -FN2 +20- 20 = 0,FN2= 0,轴向拉伸和压缩,于3-3截面处将杆截开，取右段为分离体，设轴力为正值。则,Fx= 0 -FN3+30+20- 20 = 0,FN3= 30kN
5、,轴向拉伸和压缩,任一截面上的轴力的数值等于对应截面一侧所有外力的代数和，且当外力的方向使截面受拉时为正，受压时为负。,FN=F,结论,FN1= -20kN,FN2= 0,FN1= -20kN,轴向拉伸和压缩,轴力图,为了形象地表明杆的轴力随横截面位置变化的规律，通常以平行于杆轴线的坐标（即x坐标）表示横截面的位置，以垂直于杆轴线的坐标（即FN坐标）表示横截面上轴力的数值，按适当比例将轴力随横截面位置变化的情况画成图形，这种表明轴力随横截面位置变化规律的图称为轴力图。,轴向拉伸和压缩,（1）反映出轴力与截面位置变化关系，较直观； （2）确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定危险截面位
6、置，为强度计算提供依据。,意义：,轴向拉伸和压缩,例 杆受力如图所示。试画出杆的轴力图。,BD段：,DE 段：,AB段：,FN图（kN）,注：内力的大小与杆截面的大小无关，与材料无关。,轴向拉伸和压缩,轴力图要求：,练习 直杆受力如图所示，试画出杆的轴力图。,轴向拉伸和压缩,正负号数值阴影线与轴线垂直图名,例 作边长1.2 m的正方形受压柱的轴 力图（容重=25 kN/m3）解：（1）先写内力函数(压力),（2）作图,N(x)= 40 + 251.2 1.2 x = 40 + 36x,第二节 剪切与扭转,铆钉连接,剪切的工程实例,剪 切,剪切与挤压的实用计算,销轴连接,焊接连接,剪 切,受力特
7、点：构件受到一对大小相等，方向相反，作用线相互平行且相距很近的横向外力作用。,剪切与挤压的概念,变形特点:介于作用力之间的某些截面沿着力的方向产生相对错动。,这种变形称为剪切变形。,剪 切,工程中产生剪切变形的构件通常是一些起作用的部件，称为联接件。,通常把相对错动的截面称为剪切面。 剪切面平行于力的作用线，位于方向相反的两横向外力作用线之间.,剪 切,剪切面上的内力 FQ 与截面相切，称为剪力。剪力仍可用截面法求得。,剪 切,构件在受剪切时，常伴随着挤压现象。 相互接触的两个物体相互传递压力时，因接触面的面积较小，而传递的压力却比较大，致使接触表面产生局部的塑性变形，甚至很可能被压陷的现象，
8、称为挤压。 两构件相互接触的局部受压面称为挤压面。 挤压面上的压力称为挤压力。 由于挤压引起的应力称为挤压应力。,剪 切,扭 转,圆轴扭转的内力,扭转的工程实例,扭 转,框架结构边梁和雨篷梁,扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。,受力特点：杆件受到作用面垂直于杆轴线的力偶的作用。变形特点：相邻横截面绕杆轴产生相对旋转变形。,扭 转,一、扭转的概念,扭矩的符号规定： T 的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。,扭矩 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作T。 截面法求扭矩,扭 转,使卷曲右手的四指其转向与扭矩T 的转向相同，若大拇指的指向离开横截面，则扭矩为正；反
9、之为负。,扭 转,第三节 平面弯曲梁,一、梁的平面弯曲,1. 弯曲:,以弯曲变形为主的构件通常称为梁。,受力特点：杆件受到垂直于杆件轴线方向的外力或在杆轴线所在平面内作用的外力偶的作用。 变形特点：杆轴线由直变弯。,房屋建筑中的楼（屋）面梁、挑梁,火车轮轴,2. 平面弯曲,工程中常见的梁，其横截面大多为矩形、工字形、T形、十字形、槽形等,它们都有对称轴，梁横截面的对称轴和梁的轴线所组成的平面通常称为纵向对称平面 。,具有纵向对称面,外力都作用在此面内,弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线,平面弯曲,3、梁的类型,凡是通过静力平衡方程就能够将梁的支座反力全部求出的梁，统称为静定梁。,梁的三种基本
10、形式,悬臂梁,简支梁,外伸梁,第二节 梁的内力,一、梁的内力剪力和弯矩,现以图示梁为例来分析。 设荷载FP和支座反力FAy、FBy均作用在同一纵向对称平面内，组成了平衡力系使梁处于平衡状态，欲计算任一截面1-1上的内力。,FQ,M,M,FQ,弯矩M ： 构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩。,C,C,Fy=0 FAyFQ=0 FQ=FAy ()MC=0 FAy x+M=0 M=FAy x (),剪力FQ ： 构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。,外力使脱离体产生顺时针转动趋势时为正,外力使脱离体产生逆时针转动趋势时为负,剪力：,二、剪力和弯矩的正负号规定,外力使脱离体产生
11、下凹变形为正，或使脱离体产生下部受拉时为正,弯矩：,外力使脱离体产生上凸变形为负, 或使脱离体产生上部受拉为负,三、用截面法求指定截面上的剪力和弯矩 截面法是求梁的内力的最基本的方法。其步骤为 (1) 求支座反力。 (2) 用假想的截面将梁从要求剪力和弯矩的位置截开。 (3) 取截面的任一侧为隔离体，作出其受力图，列平衡方程求出剪力和弯矩。,例1 试用截面法求图示悬臂梁1-1、2-2截面上的剪力和弯矩。已知：q=15kN/m，FP =30kN。,解 由于悬臂梁具有一端为自由端的特征，所以在计算内力时可以不求其支座反力。,（1）求1-1截面的剪力和弯矩,取1-1截面的右侧为隔离体。1-1截面上的
12、剪力和弯矩都按照正方向假定。,Fy=0 FPq1FQ1=0 FQ1= FPq1 =30151=45kN,M1=0 M1 q12.5 FP3=0 M1=q12.5FP3 =1512.5303=127.5kNm,计算结果为负，说明1-1截面上弯矩的实际方向与图中假定的方向相反，即1-1截面上的弯矩为负值。,计算结果为正，说明1-1截面上剪力的实际方向与图中假定的方向一致，即1-1截面上的剪力为正值。,（2）求2-2截面上的剪力和弯矩,取2-2截面的右侧为隔离体。,Fy =0 FQ2FPq1=0 FQ2= FPq1 =30151=45kN (正剪力),M2=0 M2 q10.5 FP1=0 M2=q
13、10.5FP1 =1510.5301 =37.5kNm (负弯矩),例2 用截面法求外伸梁指定截面上的剪力和弯矩。,MB=0,解 （1）求支座反力,(),Fy=0FBy=25kN (),（2）求1-1截面上的剪力和弯矩 列平衡方程,Fy=0 FQ1 FP=0 FQ1=FP=100kN (负剪力),M1=0 M1FPa=0 M1=FP a= 1001.5 =150kNm (负弯矩),（3）求2-2截面上的剪力和弯矩 Fy=0 FQ2 FPFBy=0 FQ2=FPFBy =100125 =25kN (正剪力) M2=0 M2 FPa=0 M2=FP a =1001.5 = 150KNm (负弯矩)
14、,（4）求3-3截面的剪力和弯矩 Fy =0 FQ3FBy=0 FQ3=FBy=25kN (正剪力) M3=0 M3MFBya=0 M3=MFBya = 75251.5 =112.5kNm (负弯矩),（5）求4-4截面的剪力和弯矩 Fy=0FQ4FBy=0 FQ4= FBy=25kN (正剪力) M4=0M4 FBya=0 M4=FBya=251.5=37.5kNm (负弯矩),总结与提示 截面法是求内力的基本方法。 (1) 用截面法求梁的内力时，可取截面任一侧研究，但为了简化计算，通常取外力比较少的一侧来研究。 (2) 作所取隔离体的受力图时，在切开的截面上，未知的剪力和弯矩通常均按正方向
15、假定。 (3) 在列梁段的静力平衡方程时，要把剪力、弯矩当作隔离体上的外力来看待，因此，平衡方程中剪力、弯矩的正负号应按静力计算的习惯而定，不要与剪力、弯矩本身的正、负号相混淆。,四、直接用外力计算截面上的剪力和弯矩,(1) 求剪力的规律 梁内任一截面上的剪力FQ，在数值上等于该截面一侧（左侧或右侧）所有外力在平行于剪力方向投影的代数和。 FQ=F L 或 FQ=F R 对外力取正、负号的方法是：取左段梁研究时，作用在该段梁上所有向上的外力会在截面上产生正剪力，而所有向下的外力会在截面上产生负剪力；取右段梁研究时，作用在该段梁上所有向下的外力会在截面上产生正剪力，而所有向上的外力会在该截面上产
16、生负剪力， 即：左上右下正，反之负。 作用在梁上的力偶对剪力没有影响。,弯 曲,(2) 求弯矩的规律 梁内任一截面上的弯矩M，等于该截面一侧（左侧或右侧）所有外力对该截面形心的力矩的代数和。 M=MC（FL） 或 M=MC（FR） 对外力矩取正、负号的方法是：取左段梁研究时，作用在该梁段上的外力（包括外力偶）对截面形心的力矩为顺时针时，在截面上产生正弯矩，为逆时针时在截面上产生负弯矩；取右段梁研究时，作用在该梁段上的外力（包括外力偶）对截面形心的力矩为逆时针时，在截面上产生正弯矩，为顺时针时在截面上产生负弯矩。 即：左顺右逆正，反之负。,例3 直接用规律求简支梁指定截面上的剪力和弯矩。,解 （
17、1）求支座反力 MB=0 FAy4 8221=0 FAy=1kN() MA=0 FBy48223=0 FB y=5kN(),(2) 求1-1截面上的剪力和弯矩 取1-1截面的左侧研究,FQ1=FAy =1kN,M1=8kNm,(3) 求2-2截面上的剪力和弯矩。 FQ2=q2FBy=225=1kN M2=q21FBy2=22152=6kNm,(4) 求3-3截面上的剪力和弯矩。 FQ3=q1FBy=215=3kN M3=q10.5FBy1=210.551=4kNm,例4 直接用规律求外伸梁指定截面上的剪力和弯矩。,解 （1）求支座反力MB=0 FAy4 FP6q61M=0 FAy =4.5KN
18、()MA=0 FBy4 FP 2q63M=0 FBy=4.5KN()检验：Fy=FPFAyq6FBy=34.5164.5=0说明支座反力计算正确。,M = 6kNm,(2)求1-1、2-2截面上的剪力和弯矩。 1-1截面： FQ1=FP=3kN M1=FP1=31=3kNm 2-2截面： FQ2=FPFAyq1=34.511=0.5kN M2=FP3FAy1q10.5 =334.51110.5=5kNm,M = 6kNm,(3)求3-3、4-4截面上的剪力和弯矩。3-3截面： FQ3=q3FBy=134.5=1.5kN M3=Mq31.5FBy1 =6131.54.51=6kNm4-4截面：
19、FQ4=0 M4=M =6kNm,M = 6kNm,梁的内力图,通常情况下，梁上不同截面上的剪力和弯矩值是不同的，即梁的内力（剪力和弯矩）随梁横截面的位置而变化。 对梁进行强度和刚度计算时，除了要计算指定截面上的内力外，还必须知道内力沿梁轴线的变化规律，从而找到内力的最大值以及最大内力值所在的位置。,一、剪力方程和弯矩方程 梁横截面上的剪力和弯矩一般是随横截面的位置而变化的。若横截面沿梁轴线的位置用横坐标x表示，则梁内各横截面上的剪力和弯矩就都可以表示为坐标x的函数，即 FQ=FQ（x）和 M=M（x）以上两函数分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。,通过梁的剪力方程和弯矩方程，可以找到剪力和弯矩沿
20、梁轴线的变化规律。,二、剪力图和弯矩图 为了形象地表明沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化情况，通常将剪力和弯矩在全梁范围内变化的规律用图形来表示，这种图形称为剪力图和弯矩图。 作剪力图和弯矩图最基本的方法是：根据剪力方程和弯矩方程分别绘出剪力图和弯矩图。,绘图时，以平行于梁轴线的横坐标x表示梁横截面的位置，以垂直于x轴的纵坐标（按适当的比例）表示相应横截面上的剪力或弯矩。,在土建工程中，对于水平梁而言，习惯将正剪力作在x轴的上面，负剪力作在x轴的下面，并标明正、负号；正弯矩作在x轴的下面，负弯矩作在x轴的上面。即弯矩图总是作在梁受拉的一侧。 对于非水平梁而言，剪力图可以作在梁轴线的任一侧，并标
21、明正、负号；弯矩图作在梁受拉的一侧。,FP,FPl,FQ图,M图,例5 作图示悬臂梁在集中力作用下的剪力图和弯矩图。,解 (1) 列剪力方程和弯矩方程 将坐标原点假定在左端点A处，并取距A端为x的1-1截面的左侧研究。 剪力方程为： FQ =FP (0xl) 弯矩方程为： M =FP x (0xl),(2) 作剪力图和弯矩图 当x=0时 MA=0 当x=l时 MB=FP l,例6 作图示简支梁在集中力作用下的剪力图和弯矩图。,MB=0 FAy lFP b=0 FAy= (),MA=0FP aFB y l=0 FB y = (),解 （1）求支座反力,（2）列剪力方程和弯矩方程,AC段：距A端为
22、x1的任意截面1-1以左研究,CB段：距B端为x2的任意截面2-2以右研究,FQ图,M图,在梁上无荷载作用的区段，其剪力图都是水平线，在集中力作用处，剪力图突变，突变的绝对值等于集中力的数值，而弯矩图是斜直线，在集中力作用处，弯矩图发生转折，出现尖角现象。,例7 作图示简支梁在集中力偶作用下的剪力图和弯矩图。,解 （1）求支座反力,（2）列剪力方程和弯矩方程,FBy M / l,FAy - M / l,AC段：距A端为x1的任意截面1-1以左研究,CB段：距B端为x2的任意截面2-2以右研究,FQ图,M图,在集中力偶作用处，剪力图无变化；弯矩图不连续，发生突变，突变的绝对值等于集中力偶的力偶矩
23、数值。,例 8 作图示简支梁在满跨向下均布荷载作用下的剪力图和弯矩图。,MB=0 FAy lFP b=0 FAy= (),MA=0FP aFB y l=0 FB y = (),解 （1）求支座反力,距A端为x的任意截面C以左研究,（2）列剪力方程和弯矩方程,在水平梁上有向下均布荷载作用的区段，剪力图为从左向右的下斜直线，弯矩图为开口向上（下凸）的二次抛物线；在剪力为零的截面处，弯矩存在极值。,由弯矩方程可知：弯矩为x的二次函数，弯矩图为一条二次抛物线，至少需要确定三个控制截面的数值。当 x时MA=0当 xl 时MB=0当 xl/2 时 MC =,FQ图,M图,一、M(x)、FQ (x)、q(x
24、)之间的微分关系,对dx 段进行平衡分析，有：,弯矩、剪力和荷载集度之间的微分关系及其应用,q(x),q(x),M(x)+d M(x),FQ(x)+d FQ(x),FQ(x),M(x),dx,C,y,剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。,Fy =0FQ (x)+q(x) dx FQ (x)+d FQ (x)=0,弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。,弯矩与荷载集度的关系是：,C,二、用M(x)、FQ (x)、q(x)三者之间的微分关系说明内力图的特点和规律,三、应用规律绘制梁的剪力图和弯矩图,用规律作剪力图和弯矩图的步骤 (1) 求支座反力。 对于悬臂梁由于其一端为自由
25、端，所以可以不求支座反力。 (2) 将梁进行分段 梁的端截面、集中力、集中力偶的作用截面、分布荷载的起止截面都是梁分段时的界线截面。 (3) 由各梁段上的荷载情况，根据规律确定其对应的剪力图和弯矩图的形状。 (4) 确定控制截面，求控制截面的剪力值、弯矩值，并作图。,例 简支梁受力如图，作弯剪图解：支座反力RA= RB = P分段写内力函数共分三段,Pa,x1,x2,x3,AC：,CD：,BD：,分段作图,x,Q,P,P,x,M,纯弯曲,横力弯曲,集中力的影响,Q=P,Q=0,Q=-P,CA：Q= - P M=Px2 1.5Pa 分段作图,例 作悬臂梁的剪力和弯矩图解：从自由端开始，就不需求反
26、力 梁分两段BC：Q= - P M=Px1,P(b-0.5a),x,P,x,Q,M,Pa,0.5Pa,集中力偶对图形的影响,x1,例 作图示外伸梁的Q、M图解：支座反力,RA,RB,kN,kN,作剪力图,Q,10 kN,10,20,M,作弯矩图,kN.m,kN.m,10 kN.m,20,QMAX=20kN,例外伸梁如图所示，已知q=5kN/m，P=15kN，试画出该梁的内力图。,Q 图,M 图,RB=(15*2+5*2*5)/4 =20kN,RD=(15*2-5*2*1)/4 =5kN,例 作下列图示梁的内力图。,P,PL,PL,0.5P,0.5P,0.5P,0.5P,P,0,0.5P,0.5
27、P,0.5P,P,P,PL,PL,0.5P,0.5P,0.5P,0.5P,P,0,M,x,M1,x,M2,x,0.5PL,PL,0.5PL,0.5PL,第四节 平面刚架,刚架是由梁和柱以刚性结点相连组成的，其优点是将梁柱形成一个刚性整体，使结构具有较大的刚度，内力分布也比较均匀合理，便于形成大空间。,(a),(b),(c),(d),(e),下图是常见的几种刚架：图（a）是车站雨蓬，图（b）是多层多跨房屋，图（c）是具有部分铰结点的刚架。,刚架结构优点：,（1）内部有效使用空间大；（2）结构整体性好、刚度大；（3）内力分布均匀，受力合理。,一、平面刚架结构特点：,1、悬臂刚架,2、简支刚架,3、
28、三铰刚架,4、主从刚架,二、常见的静定刚架类型,O,.,刚架分析的步骤一般是先求出支座反力，再求出各杆控制截面的内力，然后再绘制各杆的弯矩图和刚架的内力图。,三、 静定刚架支座反力的计算,在支座反力的计算过程中，应尽可能建立独立方程。,如图（a）三铰刚架，具有四个支座反力，可以利用三个整体平衡条件和中间铰结点C 处弯矩等于零的局部平衡条件，一共四个平衡方程就可以求出这四个支座反力。,于是,对O点取矩即得：,(c),如右图(a)是一个多跨刚架，具有四个支座反力，根据几何组成分析：以右是基本部分、以左是附属部分，分析顺序应从附属部分到基本部分。,分段：根据荷载不连续点、结点分段。定形：根据每段内的
29、荷载情况，定出内力图的形状。求值：由截面法或内力算式，求出各控制截面的内力值。画图：画M图时，将两端弯矩竖标画在受拉侧，连以直线，再叠加上横向荷载产生的简支梁的弯矩图。Q，N 图要标，号；竖标大致成比例。,四、刚架的内力分析及内力图的绘制,例1. 试计算图(a)所示简支刚架的支座反力，并绘制、Q和N图。,(1)支座反力,(a),(b),(c),解,。,(2)求杆端力并画杆单元弯矩图。,40,160,（右侧受拉）,160,40,80,20,60,Q图（kN),M图 (kNm）,+,M图,80,（下拉）,20,N图（kN),例2. 试计算下图所示悬臂刚架的支座反力，并绘制、Q和N图。,解：（1）计
30、算支座反力,（2）计算各杆端截面力，绘制各杆M图,1）杆CD,结点D,2）杆DB,2qa2,M图,M图,3)杆BE,M图,M图,4）杆AB,2qa2,M图,（3）绘制结构M图,也可直接从悬臂端开始计算杆件弯矩图,Q 图,N 图,（4）绘制结构Q图和N图,例3 试绘制下图所示刚架的弯矩图。,A,B,C,D,E,40kNm,A,D,B,E,40kNm,D,20,40,E,40,D,C,E,20kNm,40kNm,40,20,40,M图（kNm）,1、悬臂刚架 可以不求反力，由自由端开始直接求作内力图。,qL,qL,2q,2q,6q,弯矩图的绘制 如静定刚架仅绘制其弯矩图，并不需要求出全部反力，只需
31、求出与杆轴线垂直的反力。,B,A,B,C,A,C,D,2、简支型刚架弯矩图,简支型刚架绘制弯矩图时，往往只须求出一个与杆件垂直的支座反力，然后由支座作起。,qL2/2,qa2/2,qa2/2,注意：BC杆和CD杆的剪力等于零，相应的弯矩图与轴线平行,ql2/2,qa2,qa2,qa2/2,qa2/2,M图（kN.m）,4、主从结构绘制弯矩图 可以利用弯矩图与荷载、支承及连结之间的对应关系，不求或只求部分约束力。,第五节 平面桁架,一、概述,桁架是由许多直杆按适当方式分别在两端连接而成的几何形状不变的结构。,特点：杆件截面受力均匀，因而可节省材料，减少自重，所以在工程上应用很广。,房屋和桥梁上常
32、采用桁架结构；水利工程上的闸门以及起重机、高压输电线塔等采用桁架结构的也很多。,图 房屋结构,图 桥梁结构,铁 塔,桁架中杆件与杆件的连接点，称为结点或节点。所有杆件的轴线都在同一平面内的桁架称为平面桁架；杆件轴线不在同一平面内的桁架则称为空间桁架。,设计桁架时，必须首先根据作用于桁架的荷载，确定各杆件所受的力内力。杆件内力可用静力学平衡方程求得的桁架，称为架静定桁。,实际桁架的构造和受力情况较复杂，作为初步分析，为了简化计算，通常采用如下基本假设：,杆端用光滑铰连接，铰的中心就是节点 的位置；各杆的轴线都通过节点。,所有外力（包括荷载和支座反力）都集中作用于节点。对于平面桁架，还假设所有荷载
33、都在各杆轴线所在的中央平面内。,假设所有外力都作用于节点，而且各杆是光铰链连接，所以每一杆件只在两端受力，是二力杆。 作用于杆件两端的两个力必定沿着杆件的轴线作用，这种力称为轴向力。它们只在杆件内引起拉力或压力。,考察桁架中的任一杆件AB 。该杆两端A、B各受力F1及F2；由杆AB的平衡可知，F1及F2必须大小相等，方向相反，并沿轴线AB作用。 现在假想在任一处M将杆截断，则由左边部分AM的平衡可知，横截面M上必受到右边部分的作用力FN，而且FN= - F1 ，力FN就是杆AB的内力。,杆件的内力是沿着杆件轴线作用的拉力或压力，而且，对于同一杆件来说，各横截面上的内力是相同的。进行计算时，总是
34、假想在任一处将杆件截断，求出它的内力。,注意：上述结论是根据两个假设，通过简化得到的，与实际情况并不完全相符。首先，杆件的连接方法多半不是铰接，而是榫接（木材）或铆接、焊接（钢材）或刚性连接（钢筋混凝土）；即使采用铰接，铰与杆件之间也总有些摩擦等。其次，假设外力集中于节点也并不完全可能，杆件本身的重量就无法使其集中于两端。再次，使杆件的轴线准确地通过节点，在施工上也有困难。,在以上的讨论中，都没有考虑杆件的变形。事实上，杆件并非刚体，受力后必将发生变形。实践证明，对于一般的结构物用的桁架不考虑杆件变形，并根据上述假设进行分析计算，所得结果已能满足设计要求。,一般来说，实际结构中的杆件受力情况比
35、较复杂，除了杆端不是光滑铰连接外，所受外力沿杆轴线的变化也各不相同。 计算杆件横截面上的内力，常采用截面法：即用一假想截面在需求内力的截面处将杆件切断，考虑其中任一部分的平衡，求该截面上的内力。,二、桁架内力分析的节点法,桁架受到外力作用时，整个桁架保持平衡，如截取桁架的任一部分来考察，该部分也必然处于平衡状态。,节点法就是假想将某一节点周围的杆件截断，取该节点作为考察的对象，则节点在外力和被截断的那些杆件的内力作用下保持平衡。,作用于节点的外力和杆件的内力组成一平衡的汇交力系,由平衡条件可以求出未知的杆件内力。,试求图所示桁架中各杆的内力。,解： 首先考虑整个桁架的平衡，求支座反力。,例1,
36、解得：,由于桁架结构及所受外力(包括荷载和约束反力)都对称于中线DE，所以桁架中对称杆件的内力必定相同。 因此，只需计算其右半部分(或左半部分)各杆的内力。现列表计算如下：,表 杆件内力计算,注意：计算时构件内力均设为拉力，如果算得某杆件内力为负值，即为压力。,桁架各杆的内力常用图b的形式表示出来。,通常，无需计算，根据观察即可判定哪些杆件是零杆。,本例中有两根杆件BC及FG的内力是零，在结构上常将内力为零的杆件称为零杆。,判断平面桁架零杆的准则：,如果某一结点有三根杆件相交，其中两根在一直线上，且该节点不受外力作用，则第三根杆件（不必一定与另两根杆件垂直）必为零杆。,如果一结点只有两根不共线
37、的杆件，又别无外力，该两杆件必然都是零杆。,指出桁架中零杆 。,2.5 静定平面桁架,三、平面桁架内力分析的截面法,因为平面任意力系只有三个独立的平衡方程，所以被截断的杆件的未知内力一般不超过三个。但在特殊情况下可以多于三个。,应用截面法时，必须注意截面的选取，对截面形状并无任何限制，可以是平面，也可以是曲面。,对某些较复杂的桁架，有时需要联合应用截面法与结点法，才能较方便地求出各杆内力。,截面法适用于只需求出某几根杆件的内力的情况。,试求图所示桁架中、杆的内力。,解：首先考虑整个桁架的平衡，求出支座反力FA=0.8FP，FK=0.2FP。 然后用截面m-m将桁架分截成两部分，取右边部分考察其
38、平衡。,例2,由,得到 ：,由,求得 ：,试求图所示的悬臂桁架中杆的内力。,解： 对于悬臂式桁架，不必先求反力。 用截面n-n将杆及、截断，取右边部分考察。,例3,图（b）,于是有：,解得 :,求上例中悬臂桁架的及两杆的内力。,解: 如用结点法，从结点L开始，依LKJI 的次序考虑各结点的平衡，必能求得DF及EF的内力，但计算太多，过于麻烦。,例4,如用截面将DF、EF两杆截断，则同时被截断的杆件将在根以上，不能直接求得。联合应用结点法与截面法。,解得：,然后再用截面将DG、DF、EF、EH各杆截断，取右边为考察对象，如图b。,先考虑结点F：,取轴铅直，由,得,将 FNFDFNFE 代入，解得
39、:,求图示桁架1，2杆内力。已知a，F。,整体受力如图,2.5 静定平面桁架,将FB代入得,巧作截面，使多个未知力共线，方程中不出现。,作1-1截面，研究右半部，受力如图，,2.5 静定平面桁架,第6节 平面组合结构,其中一部分杆件只受轴力作用，是链杆。另一部分杆件除轴力外同时还承受弯矩和剪力，是梁式杆。这种由梁式杆与链杆混合组成的结构，称为组合结构。也称构架。,第7节 三铰拱,1. 拱的概念：,2 .拱常用的形式,3. 拱的特点：,4. 拱的各部分名称,跨度L,起拱线,拱顶,拱高,拱趾,拱趾,拱轴线,高跨比,杆轴线为曲线并且在竖向荷载作用下产生水平反力的结构。,在竖向荷载作用下会产生水平反力
40、（推力），截面上主要承受压力，应力分布均匀。,三铰拱,两铰拱,无铰拱,1. 支反力的计算,支反力计算同三铰刚架。,由 MB=0 及 MA=0,得,VA=,VB=,由,X=0 可得 HA=HB=H,取左半拱为隔离体，由MC=0 有 VAL1P1(L1a1) Hf=0,可得,H=,（a）,（b）,（c）,以上三式可写成：,（41）,式中,为相应简支梁的有关量值。,H,H,142,2. 内力的计算,用截面法求任一截面K(x,y)的内力。,y,取AK段为隔离体,截面K的弯矩为,M=VAxP1(xa1) Hy,即 M=,Hy （内侧受拉为正）,截面K上的剪力为,Q=VAcosP1 cos Hsin =(
41、VAP1) cos Hsin = Q0cos Hsin,截面K上的轴力(压为正）为,N=Q0sin + Hcos,综上所述,M=,Hy,Q=Q0cos HsinN=Q0sin + Hcos,K,Q0为相应简支梁的剪力,H,H,A,B,C,a1,P2,P1,x,y,x,A,K,VA,H,VA,N,Q,M,VB,K,解：,1. 先求支座反力,由式（41）得,VA,VB,例 作三铰拱的内力图。拱轴为抛物线，其方程为,VA=75.5kN,VB=58.5kN,H=50.25kN,75.5kN,58.5kN,2. 按式（42）计算各截面的内力。为此，将拱轴沿水平方向八等分（见图），计算各分段点的M、Q、N
42、值。,以1截面为例：,将 L=12m、f=4m 代入拱轴方程得,1,H,H,。,VA0,VB0,VA,VB,58.5kN,75.5kN,50.25kN,50.25kN,x,y,o,1,2,3,4,代入 x1=1.5m 得,y1=1.75m tg1=1,据此可得 1=450,sin 1=0.707 cos 1=0.707,于是由式（42）得,N1=Q10sin 1+Hcon1=(7551415) 0707+50250707=740kN,H,H,1.合理拱轴线的概念：拱上所有截面的弯矩都等于零，只有轴力时，这时的拱轴线为合理拱轴线。,2.合理拱轴线的确定：,由式得,M=M0Hy=0,由此得,上式表明，三铰拱合理拱轴线的纵坐标y与相应简支梁弯矩图的竖标成正比。当荷载已知时，只需求出相应简支梁的弯矩方程式，除以常数H便得到合理拱轴线方程。,例 求图示对称三铰拱在均布荷载q作用下的合理拱轴线。,解：,x,y,x,相应简支梁的弯矩方程为,M0=,合理拱轴线为抛物线,
