1、第十四章 超静定结构,14.1 超静定结构概述,回顾：拉伸压缩时求解超静定结构弯曲变形时求解超静定梁用能量方法求解超静定结构,定义：用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的结构，统称为静不定结构或系统，也称为超静定结构或系统。,14.1 超静定结构概述,在超静定结构中，超过维持静力学平衡所必须的约束称为多余约束，多余约束相对应的反力称为多余约束反力，多余约束的数目为结构的超静定次数。,静定结构与几何可变结构,14.1 超静定结构概述,静不定问题分类,外静不定：静不定结构的外部支座反力不能全由静力平衡方程求出的情况。内静不定：静不定结构内部约束(或联系)形成的内力不能单由静力平衡方程求出的情况
2、。混合静不定：对于内、外静不定兼而有之的结构，有时称为混合静不定结构。,分析方法,1.力法：以未知力为基本未知量的求解方法。2.位移法：以未知位移为基本未知量的求解方法。,14.1 超静定结构概述,外静不定,内静不定,混合静不定,14.1 超静定结构概述,桁架：由直杆以铰接点相联接组成杆系，若载荷只作用于节点上，则每一杆件只承受拉伸或压缩，这种杆系称为桁架。刚架：若直杆以刚节点相联接组成杆系，在载荷作用下，各杆可以承受拉、压、弯曲和扭转，这样的杆系称为刚架。,14.1 超静定结构概述,超静定次数的确定 根据结构约束性质可确定内、外约束力总数，内、外约束力总数与独立静力平衡方程总数之差即为超静定
3、结构的超静定次数。,14.1 超静定结构概述,外静不定的判断：根据结构与受力性质，确定其是空间或是平面承载结构，即可确定全部约束的个数。,刚架外静不定,14.1 超静定结构概述,内静不定次数确定：桁架：直杆用铰相连接，载荷只作用于节点，杆只受拉压力的杆系，其基本几何不变系由三杆组成（图a）。,静定与内静不定桁架,14.1 超静定结构概述,内静不定次数确定：刚架：对于闭口框架，则需用截面法切开一个切口使其变为静定结构，截面上作为平面受力结构，出现三个内力（轴力 ,弯矩 ，剪力 ），为三次静不定；对大型结构，若为平面问题，则每增加一个闭合框架，结构超静定次数便增加3次。,内静不定刚架,14.1 超
4、静定结构概述,混合静不定次数确定先判断外静不定次数，后判断内静不定次数，二者之和为结构静不定次数。,14.1 超静定结构概述,讨论题判断图示刚架超静定次数。,14.1 超静定结构概述,基本静定系（静定基），相当系统解除静不定结构的某些约束后得到静定结构，称为原静不定结构的基本静定系（简称静定基）。静定基加上外载荷以及多余约束力的系统称为静不定结构的相当系统。,14.1 超静定结构概述,14.2 用力法解超静定结构,力法：以多余约束力为基本未知量，将变形或位移表示为未知力的函数，通过变形协调条件作为补充方程求来解未知约束力，这种方法称为力法，又叫柔度法。位移法：以结点位移作为基本未知量，将力通过
5、本构关系表示成位移的函数。通过结点平衡条件，解出未知量，这种方法称为位移法，又叫刚度法。,力法原理,14.2 用力法解超静定结构,力法的基本思路（举例说明）例14-1 如图所示，梁EI为常数。试求支座反力，作弯矩图，并求梁中点的挠度。,解：判定多余约束反力的数目 选取并去除多余约束，代以多余约束反力，列出变形协调方程。,14.2 用力法解超静定结构,用能量法计算 和,由莫尔定理可得(图c、d、e),14.2 用力法解超静定结构,求多余约束反力,将上述结果代入变形协调方程得,求其它约束反力,由平衡方程可求得A端反力，其大小和方向见图(g)。,作弯矩图，见图(h)。,求梁中点的挠度,14.2 用力
6、法解超静定结构,选取基本静定系( 见图( b) 作为计算对象。单位载荷如图(i) 。,用莫尔定理可得,注意：对于同一静不定结构，若选取不同的多余约束，则基本静定系也不同。本题中若选固定段处的转动约束为多余约束，基本静定系是如图(j)所示的简支梁。,14.2 用力法解超静定结构,力法正则方程,上例中以未知力为未知量的变形协调方程可改写成下式,X1多余未知量；d11在基本静定系上， X1取单位值时引起的在X1作用点沿X1方向的位移；D1P在基本静定系上， 由原载荷引起的在X1作用点沿X1方向的位移；,变形协调方程的标准形式，即所谓的力法正则方程。,14.2 用力法解超静定结构,对于有无数多余约束反
7、力的静不定系统的正则方程：,由位移互等定理知：,dij：柔度系数，表示在基本静定系上由Xj取单位值时引起的在Xi作用点沿Xi方向的位移；DiP：自由项，表示在基本静定系上， 由原载荷引起的在Xi 作用点沿Xi 方向的位移。,14.2 用力法解超静定结构,例14-2 试求图示刚架的全部约束反力，刚架EI为常数。,解：刚架有两个多余约束。,选取并去除多余约束，代以多 余约束反力。,建立力法正则方程,计算系数dij和自由项DiP,用莫尔定理求得,14.2 用力法解超静定结构,14.2 用力法解超静定结构,求多余约束反力,将上述结果代入力法正则方程可得,求其它支反力,由平衡方程得其它支反力，全部表示于
8、图中。,14.2 用力法解超静定结构,作业：P94（II）题14.4,14-3 对称及对称性质的应用,对称结构的对称变形与反对称变形 对称结构：结构几何尺寸、形状，构件材料及约束条件均对称于某一轴，则称此结构为对称结构 。当对称结构受力也对称于结构对称轴，则此结构将产生对称变形；如外力反对称于结构对称轴，则结构将产生反对称变形。,正确利用对称、反对称性质，可大大简化计算过程：如对称变形对称截面上，反对称内力为零或已知；反对称变形反对称截面上，对称内力为零或已知。,14-3 对称及对称性质的应用,例14-3 试求图示刚架的全部约束反力。刚架EI为常数。,解：图示刚架有三个多余未知力。但由于结构是
9、对称的，而载荷反对称，故对称轴横截面上轴力、弯矩为零，只有一个多余未知力（剪力），只需列出一个正则方程求解。,用莫尔定理求D1P和d11。,14-3 对称及对称性质的应用,则,由平衡方程求得：,14-3 对称及对称性质的应用,对于某些载荷既非对称，也非反对称，但可将它们化为对称和反对称两种情况的叠加 。,14-3 对称及对称性质的应用,14-4 连续梁与三弯矩方程,连续梁：为减小跨度很大直梁的弯曲变形和应力，常在其中间安置若干中间支座，在建筑、桥梁以及机械中常见的这类结构称为连续梁。,三弯矩方程设想将每个中间支座上的梁切开并装上铰链，将连续梁变成若干个简支梁，每个简支梁都是一个静定基。这相当于
10、把每个支座上梁的内约束解除，即将其内力弯矩M1、M2、Mn-1、Mn、作为多余约束力，则每个支座上方的铰链两侧截面上需加上大小相等、方向相反的一对力偶矩，与其对应的位移是两侧截面的相对转角。,14-4 连续梁与三弯矩方程,如从基本静定系中任意取出两个相邻跨度ln、ln+1，设n支座上方，铰链两侧的相对转角为Dn，则,1.求DnP：,静定基上只作用外载荷时，跨度ln上弯矩记为MnP，跨度ln+1上弯矩记为M(n+1)P。当只作用单位力偶矩时，跨度ln上和ln+1上弯矩分别记为,14-4 连续梁与三弯矩方程,则由莫尔定理得,式中,因此,类似地可求出,将上述结果代入方程,得,14-4 连续梁与三弯矩
11、方程,三弯矩方程,对于连续梁的每一个中间支座都可以列出一个三弯矩方程，所以可能列出的方程式的数目恰好等于中间支座的数目，也就是等于静不定的次数。而且每一个方程式中只含有三个多余约束力偶矩，这就使得计算得以一定的简化。,14-4 连续梁与三弯矩方程,例14-4 试用三弯矩方程作等刚度连续梁AC的弯矩图。见图(a)。,解：AC梁总共有二跨，跨长l1=l2=l 。中间支座编号应取为1，即n=1。由于已知0，2两支座上无弯矩，故,14-4 连续梁与三弯矩方程,由图(c)和(d)图得：,代入三弯矩方程可得,14-4 连续梁与三弯矩方程,将图(d)中的单位弯矩图乘以,便得到MB在简支梁上产生的M图，再与载荷引起的M图(c)相加，就得到梁AC的图，见图(e)。,14-4 连续梁与三弯矩方程,第十四章 超静定结构,本章小结掌握超静定次数的计算；掌握力法求解超静定结构的方法；掌握力法正则方程熟悉对称变形和反对称变形的求解方法熟悉连续梁和三弯矩方程,
