1、第七章,第六节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,曲面及其方程,二、柱面、锥面、旋转曲面,一、基本概念,三、二次曲面,曲面方程的定义：,一、基本内容,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解：,根据题意有,所求方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,问：方程,表示怎样的曲面？,说明:,如下形式的三元二次方程 ( A 0 ),都可通过配方研究它的图形。,其图形可能是,一个球面, 或点, 或虚轨迹.,研究曲面的两个基本问题：,（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状,（讨论旋转曲面）,（讨论柱面、二次曲面）,（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,播放,定义
2、,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,二、柱面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(不含z),N,(x, y, 0),S,曲面S上每一点都满足方程；,曲面S外的每一点都不满足方程,F(x,y)=0表示母线平行于z轴的柱面,点N 满足方程，故点M 满足方程,考察方程 F(x,y)=0,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(不含x),F(y,z)=0表示母线平行于x轴的柱面,考察方程 F(y, z)=0,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一般地，在三维空间中，,柱面，,柱面，,平行于 x 轴;,平行
3、于 y 轴;,准线是 xoz 面上的曲线,母线,柱面，,准线是 xoy 面上的曲线,母线,准线 是 yoz 面上的曲线,母线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平行于 z 轴;,a,b,椭圆柱面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,y,o,双曲柱面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,抛物柱面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、 锥面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解：,椭圆的参数方程为,过原点和椭圆上任一点的直线的方向向量为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,过原点和椭圆上任一点的直线族方程为：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,即,n次齐次方程,F(x,y,z)= 0,的
4、图形是以原点为顶点的锥面；,方程 F(x,y,z)= 0是 n次齐次的：,准线,顶点,n次齐次方程,F(x,y,z)= 0.,反之，以原点为顶点的锥面的方程是,锥面是直纹面,t是任意数,一般锥面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,定义,这条定直线叫旋转曲面的轴,播放,四、旋转曲面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面曲线称为旋转曲面的母线,考察旋转过程中的特征：,如图：,将 代入,得方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 试建立顶点在原点,
5、 旋转轴为z 轴, 半顶角为,的圆锥面方程.,解: 在yoz面上直线L 的方程为,绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为,两边平方,机动 目录 上页 下页 返回 结束,o,例4 旋转抛物面,抛物线,绕 z 轴一周,机动 目录 上页 下页 返回 结束,o,.,抛物线,绕 z 轴一周,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4 旋转抛物面,y,.,o,x,z,.,抛物线,绕 z 轴一周,得旋转抛物面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4 旋转抛物面,例5 环面,r,R,绕 y轴 旋转所成曲面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,绕 y轴 旋转所成曲面,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5 环面,
6、绕 y轴 旋转所成曲面,环面方程,.,.,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5 环面,定义：,三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面,相应地平面被称为一次曲面,讨论二次曲面性状的方法截痕法：,用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌,以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面,五、二次曲面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（一）椭球面,1. 有界性,2. 对称性,关于原点，三个坐标面，三个坐标轴都对称。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 截痕法,用 z = h 截曲面,用 y = m 截曲
7、面,用 x = n 截曲面,a,b,c,椭球面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,椭球面的几种特殊情况：,旋转椭球面,由椭圆 绕 轴旋转而成,方程可写为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,球面,方程可写为,（二）抛物面,椭圆抛物面,用截痕法讨论：,用坐标面 与曲面相截,截得一点，即坐标原点,原点也叫椭圆抛物面的顶点.,1.,关于 z 轴，yoz , xoz 坐标面对称,机动 目录 上页 下页 返回 结束,截痕法,用z = z1 截曲面,用y = y1 截曲面,用x = x1 截曲面,椭圆抛物面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,截痕法,椭圆抛物面,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
8、用z = z1 截曲面,用y = y1 截曲面,用x = x1 截曲面,椭圆抛物面的图形如下：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特殊地：当 a=b 时方程变为,旋转抛物面,双曲抛物面（马鞍面）,2.,关于z 轴 ，yoz , xoz 坐标面对称,机动 目录 上页 下页 返回 结束,用z = z1 截曲面,用y = y1 截曲面,用x = x1 截曲面,截痕法,（马鞍面）,双曲抛物面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,截痕法,.,双曲抛物面,（马鞍面）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,用z = z1 截曲面,用y = y1 截曲面,用x = x1 截曲面,截痕法,.,双曲抛物面,（马鞍
9、面）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,用z = z1 截曲面,用y = y1 截曲面,用x = x1 截曲面,z,o,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（三）双曲面,单叶双曲面,(1)无界，关于三个坐标轴，三个坐标面，原点对称。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2)与平面 的交线为椭圆.,与平面 的交线称为腰椭圆.,(4)与平面 的交线为双曲线.,与平面 的截痕是两对相交直线.,平面 的截痕是两对相交直线.,(3)与平面 的截痕为双曲线.,双叶双曲面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,单叶：,双叶：,.,.,
10、.,在平面上，双曲线有渐近线。相仿，单叶双曲面和双叶双曲面有渐进锥面。用z=h去截它们，当|h|无限增大时，双曲面的截口椭圆与它的渐进锥面 的截口椭圆任意接近，即：双曲面和锥面任意接近。,渐进锥面：,双曲面的渐进锥面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,直纹面在建筑学上有意义,含两个直母线系,例如，储水塔、电视塔等建筑都有用这种结构的。,.,单叶双曲面是直纹面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,含两个直母线系,双曲抛物面是直纹面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,六、内容小结,1. 空间曲面,三元方程,球面,旋转曲面,如, 曲线,绕 z 轴的旋转曲面:,柱面,如,曲面,表示母线平行 z 轴
11、的柱面.,又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 二次曲面,三元二次方程,椭球面,抛物面:,椭圆抛物面,双曲抛物面,双曲面:,单叶双曲面,双叶双曲面,椭圆锥面:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,习题6-6(P40) 6，9,第四节 目录 上页 下页 返回 结束,作业,习题6-7(P45) 2(3)(4),解,根据题意有,所求方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,备用题,x,0,2 双叶旋转双曲面,绕 x 轴一周,机动 目录 上页 下页 返回 结束,x,0,.,绕 x 轴一周,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2 双叶旋转双曲面,x,0
12、,.,.,绕 x 轴一周,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2 双叶旋转双曲面,a,3 单叶旋转双曲面,上题双曲线,绕 y 轴一周,机动 目录 上页 下页 返回 结束,a,.,上题双曲线,绕 y 轴一周,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3 单叶旋转双曲面,a,.,.,.,上题双曲线,绕 y 轴一周,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3 单叶旋转双曲面,4 旋转锥面,两条相交直线,绕 x 轴一周,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,两条相交直线,绕 x 轴一周,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4 旋转锥面,.,两条相交直线,绕 x 轴一周,得旋转锥面,.,机动 目录 上页 下页
13、返回 结束,4 旋转锥面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,定义,这条定直线叫旋转曲面的轴,四、旋转曲面,平面曲线称为旋转曲面的母线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,定义,这条定直线叫旋转曲面的轴,四、旋转曲面,平面曲线称为旋转曲面的母线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,定义,这条定直线叫旋转曲面的轴,四、旋转曲面,平面曲线称为旋转曲面的母线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,以一
14、条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,定义,这条定直线叫旋转曲面的轴,四、旋转曲面,平面曲线称为旋转曲面的母线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,定义,这条定直线叫旋转曲面的轴,四、旋转曲面,平面曲线称为旋转曲面的母线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,定义,这条定直线叫旋转曲面的轴,四、旋转曲面,平面曲线称为旋转曲面的母线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线
15、旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,定义,这条定直线叫旋转曲面的轴,四、旋转曲面,平面曲线称为旋转曲面的母线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,定义,这条定直线叫旋转曲面的轴,四、旋转曲面,平面曲线称为旋转曲面的母线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,定义,这条定直线叫旋转曲面的轴,四、旋转曲面,平面曲线称为旋转曲面的母线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,定义,这条定直线叫旋转曲面的轴,
16、四、旋转曲面,平面曲线称为旋转曲面的母线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,定义,这条定直线叫旋转曲面的轴,四、旋转曲面,平面曲线称为旋转曲面的母线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,定义,这条定直线叫旋转曲面的轴,四、旋转曲面,平面曲线称为旋转曲面的母线,定义,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,二、柱面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义,观察柱面的形
17、成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,二、柱面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,二、柱面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,二、柱面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所
18、形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,二、柱面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,二、柱面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,二、柱面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，
19、动直线 叫柱面的母线.,二、柱面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,二、柱面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,二、柱面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,二、柱面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.,二、柱面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
