1、第七节 双曲线,三年18考 高考指数:1.了解双曲线的定义，掌握双曲线的几何图形和标准方程，理解它的简单几何性质.2.了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用.3.理解数形结合的思想.,1.双曲线的定义、标准方程、几何性质是高考的重点，双曲线的离心率、渐近线或与其他知识结合是高考的热点；2.选择题、填空题、解答题均有所考查.,1.双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离_为一定值；(3)这一定值一定要_两定点的距离.,之差的绝对值,小于,【即时应用】判断下列点的轨迹是否为双曲线（请在括号内填写“是”或“否”）(1)平面内到点A(0,2)，B(0,-2
2、)距离之差等于2的点的轨迹； ( )(2)平面内到点A(0,2)，B(0,-2)距离之差的绝对值等于3的点的轨迹； ( )(3)平面内到点A(0,2)，B(0,-2)距离之差等于4的点的轨迹； ( ),(4)平面内到点A(0,2)，B(0,-2)距离之差的绝对值等于4的点的轨迹； ( )(5)平面内到点A(0,2)，B(0,-2)距离之差等于6的点的轨迹； ( )(6)平面内到点A(0,2)，B(0,-2)距离之差的绝对值等于6的点的轨迹. ( ),【解析】由双曲线的定义可知：(1)点的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的一支；(2)点的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为3的双曲线；(3)点
3、的轨迹是以B为端点方向向下的一条射线;（4）点的轨迹是分别以A、B为端点方向向上、下的两条射线；（5）距离之差大于|AB|，所以点的轨迹不存在；(6)距离之差的绝对值大于|AB|，所以点的轨迹不存在.答案：（1）否 (2)是 (3)否 (4)否 (5)否 （6）否,2.双曲线的标准方程和几何性质,【即时应用】(1)思考：双曲线离心率的大小与双曲线“张口”大小有怎样的关系?提示:因为离心率所以，离心率越大， 就趋近于+，即两条渐近线所形成的角（双曲线所在的区域）就越大，即双曲线的“张口”就越大；离心率越小即接近1， 就趋近于0，即两条渐近线所形成的角（双曲线所在的区域）就越小，即双曲线的“张口”
4、就越小.,(2)已知曲线2x2-y2+6=0上一点P到一个焦点的距离为4，则它到另一个焦点的距离为_.【解析】曲线2x2-y2+6=0的方程可化为：所以a2=6，又因为点P到一个焦点的距离为4，所以到另一焦点的距离为答案：4+2,(3)已知双曲线 (a0,b0)的虚轴长为2，焦距为2 ，则双曲线的渐近线方程为_.【解析】依题意知：2b=2，2c=2 ，所以b=1，c= ，a= ，因此，双曲线的渐近线方程为：答案：y= x,双曲线的定义、标准方程【方法点睛】1.应用双曲线定义的注意事项(1)距离之差的绝对值;（2）2a|F1F2|;（3）双曲线上任意一点与两焦点围成的“焦点三角形”中的数量关系.
5、,2.双曲线的标准方程(1)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为 (mn0)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax2+By2=1(AB 0)，这种形式在解题时更简便；(2)当已知双曲线的渐近线方程bxay=0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为 b2x2-a2y2=(0)，据其他条件确定的值；(3)与双曲线 有相同的渐近线的双曲线方程可设为 （0），据其他条件确定的值.,3.求双曲线标准方程的方法及步骤(1)定义法：根据题设条件得出或已知曲线为双曲线，可直接求出a、b、c，得出双曲线方程；(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程，将题设条件代入方程确定相关系数，最后得出方
6、程.【提醒】用定义法求双曲线方程时，要注意焦点所在坐标轴的位置.,【例1】(1)与双曲线 有相同的渐近线，且过点(-3,2 )的双曲线方程为_.(2)已知定点A(0,7)，B(0,-7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A、B的椭圆，求另一个焦点F的轨迹方程.,【解题指南】(1)先设出双曲线的方程，用待定系数法求解；(2)由椭圆定义得出关于点F的等式，化简后可得出点F的轨迹，进而得出轨迹方程.【规范解答】(1)因为所求双曲线与 有相同的渐近线，所以设所求双曲线方程为 （0），又因为双曲线过点(-3,2 )，所以 ，解得= ，所以所求双曲线方程为： ，即 .答案：,（2）由椭圆的定义知：|AC
7、|+|AF|=|BC|+|BF|，又因为A(0,7),B(0,-7),C(12,2),所以|AC|=13,|BC|=15,因此|AF|-|BF|=2,所以F的轨迹是双曲线的一支，其中c=7,a=1,b2=48,因此所求轨迹方程为: （y0）.,【互动探究】本例(1)中“有相同的渐近线”改为“有相同的焦点”，结果如何？【解析】双曲线 中，c=5，焦点坐标为(-5,0)、(5,0)，又因为所求双曲线与双曲线 有相同的焦点，所以可设双曲线方程为 ,又因为双曲线过点(-3,2 )，所以 ,解得a2=23+4 （舍去）或a2=23-4 ，所以双曲线方程为：,【反思感悟】1.第一小题有相同渐近线的双曲线方
8、程的设法只有一个参数，再需一个条件即可求解；2.第二小题是借助于椭圆的定义，得出一个等式，再由双曲线的定义得出轨迹为双曲线的一支.,【变式备选】过双曲线x2-y2=8的左焦点F1有一条弦PQ交左支于P、Q两点，若|PQ|=7，F2是双曲线的右焦点，则PF2Q的周长为_.,【解析】因为x2-y2=8，所以2a=4 ，由题设及双曲线的定义得:|PF2|-|PF1|=4 ，|QF2|-|QF1|=4 ，所以|PF2|+|QF2|-|PF1|-|QF1|=8 ,即|PF2|+|QF2|-|PQ|=8 ,又因为|PQ|=7，所以|PF2|+|QF2|=7+8 ,因此,PF2Q的周长为|PF2|+|QF2
9、|+|PQ|=14+8 .答案：14+8,双曲线的几何性质【方法点睛】1.双曲线的几何性质的关注点双曲线的几何性质从以下三点关注：（1）“六点”:两焦点、两顶点、两虚轴端点;（2）“四线”：两对称轴（实、虚轴），两渐近线;（3）“两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形，双曲线上的一点（不包括顶点）与两焦点构成的三角形.,2.双曲线的离心率与渐近线斜率的关系(1)已知双曲线的离心率e求渐近线方程要注意 及判断焦点的位置；(2)已知渐近线方程y=mx(m0)求离心率时，若焦点不确定时，m= 或m= ，因此离心率有两种可能.【提醒】双曲线中a、b、c之间的关系为c2=a2+b2,不要和椭圆之间的关
10、系混淆.,【例2】（1）(2011福建高考）设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|F1F2|PF2|=432，则曲线C的离心率等于( )(A) 或 (B) 或 2(C) 或 2(D) 或,（2）(2012杭州模拟）已知点F是双曲线 （a0,b0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是( )（A）（1,+）（B）（1,2）（C）（1,1+ ）（D）（2,1+ ）（3）(2010北京高考)已知双曲线 的离心率为2，焦点与椭圆 的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为_,渐近线
11、方程为_.,【解题指南】(1)由于已知圆锥曲线的两个焦点，所以该圆锥曲线为椭圆或双曲线.再由椭圆、双曲线的定义及离心率的定义即可求解（2）利用ABx轴得ABE为等腰三角形，从而由AEB为锐角得AEF0,其中|F1F2|=2c=3k，c= .若圆锥曲线C为椭圆，则|PF1|+|PF2|=2a=6k，a=3k，若圆锥曲线C为双曲线，则|PF1|-|PF2|=2a=2k,a=k, e的取值为 或 .,（2）选B.因为ABx轴，所以ABE为等腰三角形.又ABE是锐角三角形，所以AEB为锐角，即AEF1，从而1e0,a0 =0,a0 0,1,2,1,0,直线与双曲线的渐近线平行，两者相交,相交,相切,相
12、离,2.解决与双曲线有关的参数的取值范围或最值问题的常用方法(1)当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义时,可考虑利用数形结合法求解或构造参数满足的不等式(组),通过解不等式(组)求得参数的取值范围；(2)当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系时,则可先建立目标函数,进而转化为求解函数的值域.,【提醒】解决直线与双曲线相交问题时，若涉及到弦的中点或斜率，一般用点差法求解.,【例3】(2012合肥模拟）已知双曲线C: (a0)与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A、B.（1）求双曲线C的离心率e的取值范围.(2)设直线l与y轴交点为P，且 ，求a的值.,【解题指南】（1）将直线方程代入
13、双曲线方程消去y，整理成关于x的一元二次方程,得a的范围，利用a的取值范围求解;（2）设出A，B的坐标，利用(1)中一元二次方程的根与系数的关系求解.,【规范解答】（1）由双曲线C与直线相交于两个不同的点，知方程组 有两个不同的解，消去y并整理得:(1-a2)x2+2a2x-2a2=0,解得0a 且a1,双曲线的离心率0a 且a1,e 且e ,即离心率e的取值范围为( , )( ,+).,（2）设A(x1，y1)，B（x2,y2）,P(0,1),(x1,y1-1)= (x2,y2-1),得x1= x2,由于x1,x2是方程的两个根，x1+x2= ,x1x2= ,即 x2= ， = ，消去x2，得 = ,解得a= .,【反思感悟】双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系.解决这类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程联立组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系，整体代入的思想解题.设直线与双曲线交于A（x1,y1)，B(x2,y2)两点，直线的斜率为k,则|AB|= |x1-x2|.,【变式训练】已知双曲线E的中心为原点，F（3，0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（-12，-15），则E的方程为( )(A) (B) (C) (D),
