1、12019-2020年高考数学压轴题集锦导数及其应用（三）1.已知函数 .xafln)(（1）若函数 有零点，求实数 的取值范围；（2）证明：当 时， .ea2xef)(2.已知函数 （ ）， （ ）.2()lnfxaxR()FxbR（1）讨论 的单调性；（2）设 ， ，若 （ ）是 的两个零点，且a()()gf12,120x()g，试问曲线 在点 处的切线能否与 轴平行？请说明理由.120xyx03.已知函数 （ ）32()fxmnx,R（1）若 在 处取得极大值，求实数 的取值范围；1m（2）若 ，且过点 有且只有两条直线与曲线 相切，求实数 的()0f(0,)P()yfxm值.24.已知
2、函数 ， .2()xfe3()gx（1）求函数 的单调区间；（2）求证： ，R()f5.已知函数f（x ）= ax+b在点（e，f （e）处的切线方程为y=ax+2exln（）求实数b的值；（）若存在x e，e 2，满足 f（x） +e，求实数a的取值范围416.已知函数 的图像在 处的切线 过点 .21()lnfxaxb1xl1(,)2（1）若函数 ，求 的最大值（用 表示）；()0gf()ga（2）若 ， ，证明： .4a12121)3xx12x37.已知函数 ， ， .()lnafxx32()gxaR（1）当 时，求曲线 在 处的切线方程；ayf1（2）若对任意的 ，都有 成立，求实数
3、的取值范围.12,2()xga8.设函数 2)(axef（1）求 的单调区间；（2）若 为整数，且当 时， 1)(xfk恒成立，其中 )(xf为 的导k,0 f函数，求 的最大值. 9.设函数 .2()ln(1)fxbx（1）若对定义域内的任意 ，都有 成立，求实数 的值；()1fxb（2）若函数 的定义域上是单调函数，求实数 的取值范围；()f（3）若 ，证明对任意的正整数 ， .bn3311()2kf n410.已知函数 （ 且 ）， 为自然对数的底数1()()lnxfaea01ae（）当 时，求函数 在区间 上的最大值；yf,2x（）若函数 只有一个零点，求 的值()fx11.已知函数
4、， .1()fx()2lngxa（1）当 时，求 的单调递增区间；a()Ff（2）设 ，且 有两个极值 ，其中 ，求()()hxfxh12,x1(0,3x的最小值.1212.已知函数f（x ）=lnx +x22ax+1（a为常数）（1）讨论函数f（x ）的单调性；（2）若存在x 0（0，1 ，使得对任意的a（2，0，不等式2me a（a+1）+f（x 0）a 2+2a+4（其中e为自然对数的底数）都成立，求实数m 的取值范围513.已知函数f（x ）=a x+x2xlna（a0，a1）（1）求函数f（x ）在点（0，f（0）处的切线方程；（2）求函数f（x ）单调增区间；（3）若存在x 1，x
5、 21，1，使得 |f（x 1）f（x 2）|e 1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围14.已知函数 ， 1()lnfx()gxab（1）若函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围；hf0,a（2）若直线 是函数 图像的切线，求 的最小值；()gxab1()lnfxb（3）当 时，若 与 的图像有两个交点 ，求证：0bfg12(,)(,)AxyB21xe615.某工艺品厂要设计一个如图1所示的工艺品， 现有某种型号的 长方形材料如图2所示，其周长为4m，这种材料沿其对角线折叠后就出现图1的情况如图，ABCD（ABAD）为长方形的材料，沿AC折叠后 交DC于点P，设 ADP的面积为 ，折
6、叠后重合部分 ACP的面积AB 2S为 1S（）设 m，用 表示图中 的长度，并写出 的取值范围；xDx（）求面积 最大时，应怎样设计材料的长和宽？2（）求面积 最大时，应怎样设计材料的长和宽？1S16.已知 .2lnxfea（1）当 时，求 在 处的切线方程；af0,1（2）若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围.0,x2002lnfxaxa717.已知函数 恰有两个极值点 ，且 .2ln1fxaxaR12,x12x（1）求实数 的取值范围；（2）若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.12ll18.已知函数f（x ）=（lnxk1）x（kR）（1）当x1时，求f（x）的单调区间和极值（2）
7、若对于任意x e，e 2，都有 f（x）4ln x成立，求k的取值范围（3）若x 1x2，且f（x 1）=f（x 2），证明：x 1x2e 2k19.已知函数 （ ）.21exfaaR（）若曲线 在点 处的切线与 轴垂直，求 的值；y0,fya（）若函数 有两个极值点，求 的取值范围；fx（）证明：当 时， .11elnx820.已知函数 .()()321fxxbR=-+(1)当 时，求 在 上的值域；0b,4(2)若函数 有三个不同的零点，求 的取值范围.fx21.已知函数 .2ln21)(xaxf（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；)(f)1(,f（2）讨论函数 的单调性.)(f22
8、.已知函数 在 上为增函数，且 .1()lnsifxx,(0,)（）求函数 在其定义域内的极值；（）若在 上至少存在一个 ，使得 成立，求实数 的取值范围.1,e0x002()ekfxk9参考答案1.（1）函数 xafln)(的定义域为 ),0(.由 xfl)(，得 21)(xaf .当 0a时， 0恒成立，函数 )(f在 ),0上单调递增，又 ,1ln)(xf ，所以函数 x在定义域 )(上有 1个零点.当 0a时，则 ,a时， ),(;0(axf时， 0)(xf.所以函数 )(f在 上单调递减，在 ,上单调递增.当 1lnmix.当 l，即 e1时，又 01ln)(af，所以函数 )(f在
9、定义域 ),0(上有 2个零点.综上所述实数 a的取值范围为 ,e.另解：函数 xfln)(的定义域为 ),0(.由 axfl，得 l.令 gn)(，则 )1(n)xg.当 1,0ex时， 0(x；当 ,e时， 0)(xg.所以函数 )g在 ,上单调递增，在 ,(上单调递减.故 ex1时，函数 (x取得最大值 eeg1ln)1.因 ),f，两图像有交点得 a，综上所述实数 a的取值范围为 1,(e.（2）要证明当 e2时， xf)，即证明当 ax,0时， xealn，即 xealn.10令 axhln)(，则 1ln)(xh.当 e10时， 0f；当 e时， 0)(f.所以函数 )(xh在 ,
10、上单调递减，在 ,上单调递增.当 e1时， ae1min.于是，当 a2时， xh)(.令 xe)(，则 )1(xeex.当 10时， 0)(f；当 时， 0f.所以函数 在 ,上单调递增，在 ),(上单调递减.当 x时， ex1)(min.于是，当 0时， .显然，不等式、 中的等号不能同时成立 .故当 ea2时， xef)(.2.（） 0,2)( xaxf(1)当 0a时， 0， )(f在 上单调递增，(2)当 时， 2)(af得 有 ,22,0)(0 aaxfa， 单 调 增 区 间 是的 单 调 减 区 间 是时 ，所 以() bgln211假设 )(xgy在 0处的切线能平行于 x轴
11、. ,2b 由假设及题意得： 0ln)(121xxg2b120x 0)(bg 由- 得， 0ln2212121 xbxx即 021lnxb由得，11222lnxx令 12tx， 12,0t.则上式可化为 12lnt， 设函数 1lnttth，则01422ttt, 所以函数 lnth在 (,1)上单调递增.于是，当 01t时，有 0h，即2ln01t与矛盾. 所以 ()yfx在 0处的切线不能平行于 x轴. 3.（） nmxf23)(001得由 .42n123032m， 得 到 3212)( mxxxf 31或， 得由题 ,32m解 得由得 （） 001nf得由所以 xx233)(2因为过点 ,
12、且与曲线 )(fy相切的直线有且仅有两条，令切点是 0P，则切线方程为 0xf由切线过点 )1,(，所以有001xfy 002023 233xmxmx 整理得 10 .1203有 两 个 不 同 的 实 根的 方 程所 以 ， 关 于 x需 有 两 个 零 点， 则令 hxh223m6所以 300mx或得， 且3,h或由 题 ， 0,10所 以又 因 为 13223m所 以 解 得,即为所求4.（） xexexf x22)(213 上 单 调 递 减 ；在时 ， 0,2,02xffx .,上 单 调 递 增和在时 ，或 ,02,)( ，和， 单 调 递 增 区 间 是的 单 调 递 减 区 间
13、 是所 以 f（）显然 0x时有 )(xgf，只需证 0时 )(xgf，由于 2e2时 ，只 需 证 ,0)(hx令 2ln,)(得 02ln2lnl2ln)(lnmi eehx恒 成 立0)(,0所以当 时， )(xgf.综上 Rx， () 5.解：（）f（x）= ax+b，x （0，1）（1，+），求导，f（x）= a，则函数f（x）在点（e，f（e ）处切线方程y（e ex+b）=a（xe），即y=ax+e+b，由函数f（x）在（e，f（e ）处的切线方程为y=ax+2e，比较可得 b=e，实数b的值e；（）由f（x） +e，即 ax+e +e，则a 在e ，e 2，上有解，0,l,0,
14、l0 xhx 上 单 调 递 增上 单 调 递 减 ， 在，在 14设h（x）= ，xe ， e2，求导h（x）= = = ，令p（x）=lnx2 ，x在 e， e2时，p（x）= = 0，则函数p（x）在e，e 2上单调递减，p（ x） p（e）=lne2 0，则h（x）0，及h（x）在区间e，e 2单调递减，h（x）h（e 2） = = ，实数 a的取值范围 ，+ 6.（1）由 ，得 ，1()fxab(1)fab的方程为 ，又 过点 ，l )2yxl1(,)2 ，解得 .(1(1)22abab0b ，)lngxfxxa ，2 1()1(1)() (0)xaaxx当 时， ， 单调递增；0,
15、a()0g()当 时， ， 单调递减.1(,xxg故 .2max11)ln()ln2gaaa（2）证明： ，415，22121211 121()3lnln3fxfxxxx，2ln()1 2()ln()x令 ， ， ，令 得 ；令120m(lm()m0m得 . 在 上递减，在 上递增，(),1, ， ， ，解得： .212()xx12x12x7.（1）当 时， ， ， ，a)lnf(f 2()lnf，从而曲线 在 处的切线为 ，即 .()2f (yx121yx3yx（2）对任意的 ，都有 成立，从而12,x()fgmina()()fg对 ， ，从而 在 递减，3()g 2()32)gxxyx2,
16、3递增， .2,max1(),()又 ，则 .(1)f下面证明当 时， 在 恒成立.ln1x,2x，即证 .()lnlafxln1令 ，则 ， .1lhx 2()lhx()0h当 时， ，当 时， ，从而 在 递减，,2x01,x()yhx1,2递增， ，1min()()hx从而 时， 在 恒成立.ala,2x8.（1）函数f（x ）=e x-ax-2的定义域是R，f（x ）= ex-a， 若a0，则f（x）=e x-a0，所以函数f（x ）= ex-ax-2在（-，+ ）上单调递增 若a0，则当x（- ，lna）时，f（x）=e x-a0；当x（lna，+）时，f（x ）= ex-a0；所以
17、，f（x）在（ -，lna）单调递减，在（lna，+）上单调递增16（2）由于a=1， 1)(1)( xexkxfkeexxx .01,令 gx)(， min)(gk， 22 )1()1()xxee令 01,2 xeheh， h在 ,0单调递增， 且 )(0)(,)1在 ),上存在唯一零点，设此零点为 0，则 ),(当 0x时， g，当 ),(0时， )(xg00min1)()(xegx， 由 )3,2(1)(,200 x ，又 )(0xk所以 k的最大值为2 9.（1）由 0x,得 1x xf的定义域为 ,1 因为对x ,都有 f， 是函数 xf的最小值，故有 01f ,212)(/ bxf
18、解得 4 经检验， 4b时， )(f在 1上单调减，在 ),1(上单调增 )(f为最小值（2） ,)(/ xf 又函数 xf在定义域上是单调函数， 0x或 x在 ,上恒成立若 f，则 012b在 ,上恒成立,即 xb= 2)(恒成立,由此得 b21；若 0f,则 012b在 ,上恒成立,即 xb= 2)(恒成立因 2)(在 ,1上没有最小值，不存在实数 b使 0xf恒成立 综上所述，实数 b的取值范围是 ,217（3）当 1b时，函数 1ln2xxf令3xfh，则 223 当 ,0时， 0h，所以函数 xh在 ,0上单调递减又 h， 当 ,x时，恒有 ，即 321lnxx恒成立故当 ,x时，有
19、 3f 而 Nk， ,01取 k1，则有 31kf3312nfnk 所以结论成立 10.解：（）当 时， ， ，令 ，解得ae1()()xfee()xfe()0fx，1x时， ； 时， ，(0,)()0fx(1,2)()0f ，而 ， ，max,ff 1e21()3fe即 2ax()()3ffe（） ， ，1lnfa()lnln()xxfaeae令 ，得 ，则()0xoge当 时， ，1al(,log)aelogae(log,)ae()fx 0极小值所以当 时， 有最小值 ，logae()fmin 1()(log)lnafxfea因为函数 只有一个零点，且当 和 时，都有 ，则()fx()fx
20、，即 ，min1l0fea1l0ea因为当 时， ，所以此方程无解当 时， ，0l18x(,log)aelogae(log,)ae()f 0 极小值 所以当 时， 有最小值 ，logaxe()fxmin 1()(log)lnafxfea因为函数 只有一个零点，且当 和 时，都有 ，()f ()fx所以 ，即 （ ）（*）min1l0xea1l0ea1设 ，则 ，()l()ga2()aeg令 ，得 ，01e当 时， ；当 时， ；a()0ga1e()0ga所以当 时， ，所以方程（*）有且只有一解 1emin()l1ae综上， 时函数 只有一个零点afx11.(1)由题意得F(x) = x 2a
21、ln x. x 0, = ,令m（x）=x 2ax+1，当 时 F(x)在（0，+ 单调递增；当a 1时，令 ，得x 1= , x2=x (0, ) ( ) ( )+ +F(x)的单增区间为(0, )，( )综上所述，当 时F(x)的单增区间为（0，+ ）当a 1时，F(x)的单增区间为(0, )，( ) （2）h(x)= x 2alnx, h/(x)= ,(x0),由题意知x 1,x2是x 2+2ax+1=0的两根，19x1x2=1, x1+x2=2a,x 2= ,2a= , = =2( )令H(x)=2( ), H/(x)=2( )lnx=当 时，H /(x)x由 ， .0f=()43=
22、在 上的值域为 ；()fx1,40,(2)由(1)可知， ，()()24313fxx=-+-由 得 ，由 得 或 .()0fx0-()10,x$21,3x(),4x，()()123fxffx由 的单调性知，当且仅当 时， 有三个不同零点.4,3b-fx3021.（1）当 a时，函数 2ln1)(2xxf， xf1)(， 0)(f， 23)(f，曲线 xf在点 1,f处的切线方程为 23y.（2） )0()(2xaf.当 0时， ， f的单调递减区间为 ),0(；当 a时， )(xf在 ),0a递减，在 ,(a递增.22.（） 21()0sinfxx在 1,)上恒成立，即 2sin10x. 0,， .故 i在 上恒成立只须 sin1，即 s，又 sin只有 si1，得 2.由 221()0xfx，解得 1x.当 01时， ()f；当 时， ()0f.故 ()f在 处取得极小值1，无极大值.（）构造 21lnlneeFxkxkx，则转化为；若在 1,e上存在 0x，使得 0()，求实数 的取值范围.当 k时， 1,e， ()0在 ,e恒成立，所以在 1,e上不存在 0x，使得002()xfx成立.当 k时， 21()eFkx2211()kexkex.因为 1,xe，所以 ，所以 ()0F在 ,恒成立.故 ()在 上单调递增， max3ek，只要 30ke，解得 23ek.
