1、1导数专题目 录一、导数单调性、极值、最值的直接应用 （1）二、交点与根的分布 （23）三、不等式证明 （31）（一）作差证明不等式 （二）变形构造函数证明不等式（三）替换构造不等式证明不等式四、不等式恒成立求字母范围 （51）（一）恒成立之最值的直接应用（二）恒成立之分离常数（三）恒成立之讨论字母范围五、函数与导数性质的 综合 运用 （70）六、导数应用题 （84）七、导数结合三角函数 （85）书中常用结论(zhongdianzhangwo) ，变形即为sin1x，其几何意义为 sin,(0)yx上的的点与原sin,(0)x点连线斜率小于1. 1e l() n,0x.一、导数单调性、极值、最
2、值的直接应用1. （切线）设函数 axf2)(.（1）当 a时，求函数 )(fg在区间 1,0上的最小值；（2）当 0时，曲线 y在点 )(axfP处的切线为 l， 与 x轴交于点),(xA求证： ax21.2解：(1) 1a时， xg3)(，由 013)(2xg，解得 3x.)(x的变化情况如下表：0 ),( )1,(1)(g- 0 +x0 极小值 0所以当 3时， )(g有最小值 932)(g.(2)证明：曲线 xfy在点 ,1axP处的切线斜率 12)(xfk曲线 )(在点P处的切线方程为 (21axy.令 0y，得 12x， 12 x ax1，0，即 12x.又 12，axax112
3、2所以 x.2. （2009天津理20，极值比较讨论）已知函数22()3)(),xfaeR其中 a当 0a时，求曲线 (1,yff在 点 处的切线的斜率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当 3时，求函数 )x的单调区间与极值.解：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。 .3)1()2()(02 efexfefax ， 故，时 ，当 .1,y处 的 切 线 的 斜 率 为在 点所 以 曲 线 .4)(2 xaxfw.w.w.k.s.5.u.c.o.m .23 a知 ，由， 或， 解 得令以下分两种情况讨论：
4、a若 32，则 a 2.当 x变化时， )(xf， 的变化情况如下表：x， a2， a，2+ 0 0 + 极大值 极小值 .)()()() 内 是 减 函 数，内 是 增 函 数 ， 在，在所 以 f3.3)2()(2)( 2aefafaxf ， 且处 取 得 极 大 值在函 数w.w.w.k.s.5.u.c.o.m .)4(2， 且处 取 得 极 小 值在函 数 a若 3，则 ，当 x变化时， )(xf， 的变化情况如下表：x2a， a2， ，a+ 0 0 + 极大值 极小值 内 是 减 函 数 。，内 是 增 函 数 ， 在，在所 以 )()()()f .34( 2 aeffx， 且处 取
5、 得 极 大 值在函 数w.w.w.k.s.5.u.c.o.m .)22 2aaf ， 且处 取 得 极 小 值在函 数3. 已知函数21(),()3ln.fxgxb设两曲线 yx与 有公共点，且在公共点处的切线相同，若 0a，试建立 b 关于 a的函数关系式，并求 b的最大值；若 0,2()()2)bhfxax在(0,4)上为单调函数，求 的取值范围。44. （最值，按区间端点讨论）已知函数f( x)=lnxa.(1)当a0时，判断f( x)在定义域上的单调性；(2)若f(x )在1,e上的最小值为 ，求a的值.32解：(1)由题得f (x)的定义域为(0 ,)，且 f (x) 2xa.1a
6、0，f ( x)0，故f(x) 在(0 ,)上是单调递增函数.(2)由(1)可知：f (x ) 2，若a1，则xa0，即f (x)0在1, e上恒成立，此时f(x)在1 ,e上为增函数，f(x) minf(1)a ，a (舍去).3若ae，则x a0，即f (x)0在1 ,e上恒成立，此时f(x) 在1,e上为减函数，f(x) minf(e)1 ，a (舍去).2若e0 ，f( x)在( a,e )上为增函数，f(x) minf(a)ln(a) 1 a .32综上可知：a .e5. （最值直接应用）已知函数 )1ln(2)(xxf ，其中 aR.（）若 2x是 )(f的极值点，求 a的值；（）
7、求 f的单调区间；（）若 在 0,上的最大值是 0，求 的取值范围 .解：（） (1),(1,)xfx .依题意，令 2，解得 3a. 经检验， 13a时，符合题意 . （）解： 当 0a时， ()1xf.故 )(xf的单调增区间是 ,；单调减区间是 )0,(. 当 时，令 ()f，得 10，或 21xa.当 10a时， x与 的情况如下：5x1(,)x112(,)x2x2(,)()f 00 1()f 2()f所以， ()fx的单调增区间是 ,a；单调减区间是 ,1和 (,)a.当 1a时， 的单调减区间是 ),(. 当 时， 20x， )f与 fx的情况如下：(1,)221(,)1x1(,)
8、()fx 0 2()fx 1()f所以， ()f的单调增区间是 1,0a；单调减区间是 ,a和 (0,). 当 0a时， )(f的单调增区间是 ()；单调减区间是 .综上，当 时， x的增区间是 ,，减区间是 ),1(；当 1时， f的增区间是 10a，减区间是 0和 ,)a；当 a时， )(的减区间是 ),(；当 时， fx的增区间是 ；减区间是 1(,)和 (,).（）由（）知 0a时， )(xf在 0,)上单调递增，由 0f，知不合题意.当 10时， )(f在 ,的最大值是 ()fa，由 ()fa，知不合题意.当 时， (xf在 0,)单调递减，可得 f在 ,上的最大值是 0)(f，符合
9、题意. 所以， )在 上的最大值是 时， a的取值范围是 1,).6. （2010北京理数18）已知函数 =ln(1+ x)- +2(k0).()f()当 k=2时，求曲线 y= 在点(1, f(1)处的切线方程；)f()求 的单调区间.f解：（I）当 2时，2()ln1)fxx，1()2fx6由于 (1)ln2f，3(1)f，所以曲线 yfx在点 ,f处的切线方程为3ln2(1)yx即 3l30x（II）(1)kf， (,)x.当 0k时，x.所以，在区间 (1,)上， ()0f；在区间 (,)上， ()0fx.故 )f得单调递增区间是 ,，单调递减区间是 ,.当 0k时，由1()xkf，得
10、 1x， 2k所以，在区间 1,0和,)上， ()0f；在区间(,)上， ()0fx故 ()fx得单调递增区间是 (,和,k，单调递减区间是10,k.当 1k时，2()1xf故 )f得单调递增区间是 (,).当 时， 0k，得 10kx， 2x.所以没在区间(,)和 (,)上， ()f；在区间1(,)k上， ()0fx故 ()fx得单调递增区间是1k和 0,，单调递减区间是,7. （2010山东文21，单调性）已知函数1()ln()afxRx当 a时，求曲线 yf在点 2,(f处的切线方程；当12时，讨论 ()的单调性.解： ln0xy因为 1)(xaf，所以 21x2xa， ),0(，令 ,
11、)(2ag),0(78. (是一道设计巧妙的好题，同时用到 e 底指、对数，需要构造函数，证存在且唯一时结合零点存在性定理不好想，联系紧密)已知函数 ln,().xfxg若函数 (x) = f (x) 1+-，求函数 (x)的单调区间；设直线 l 为函数 f (x)的图象上一点 A(x0，f (x0)处的切线，证明：在区间(1,+) 上存在唯一的x0，使得直线 l 与曲线 y=g(x)相切解：（） 1()fln， 2211 xx 且 ， 函数 ()x的单调递增区间为 ，和,0（） ()fx ， 0()fx， 切线 l的方程为 01ln)y, 即 001lnyx, 设直线 与曲线 ()gx相切于
12、点 1(xe， ()xge， 10， 0l, .0ln1()xge直线 l也为 nyx， 即 00y， 由得 00l1nx， 01lx下证：在区间（1,+ ）上 x存在且唯一 .由（）可知， ()1l在区间 ,+（ ） 上递增又 12()ln0e，22213()ln0ee，结合零点存在性定理，说明方程 0x必在区间 (,)上有唯一的根，这个根就是所求的唯一 0x， 故结论成立89. （最值应用，转换变量）设函数21()2)ln(0)axfx(1)讨论函数 在定义域内的单调性；(2)当 (3,)a时，任意 12,3， 12(ln)2l3|()|mafxf恒成立，求实数 m的取值范围解： 22fx
13、ax21x2(当 a时， ，增区间为(,)，减区间为0,)a，(,)当 2时，1a，减区间为 0,当 0时， 2，增区间为1()2a，减区间为1(0,)2，,)a由知，当 (3,)时， )fx在 ,3上单调递减， 12,x， 12|(|fx (1)f()()ln36，即 2|()|f4)ln3a 12lnl(|maffx恒成立， ()l3，即24ma，又 0a，243a (,)，189， 1310. （最值应用）已知二次函数 gx对 R都满足2()()gxx且 (1)g，设函数1()ln28fxm（ ， 0） （）求 的表达式；（）若 ，使 ()0fx成立，求实数 m的取值范围；（）设 1e，
14、 (1)Hx，求证：对于 12,xm、，恒有2|()|Hx 解：（）设 2gxabc，于是22111xx，所以21.ac，9又 1g，则12b所以 21gxx 3分 （）9()lnln(0).8fxmmR，当m0 时，由对数函数性质，f （x）的值域为R；4 分当m=0 时，2()0对 ， ()0f恒成立； 5分 当m0时， )fx在区间（0，1）上的单调递减，在区间（1，4）上单调递增，函数 ()fx在区间 ,4上的最小值为 ()2)fae又 0(23)bea，44130，函数 f在区间0，4上的值域是 ,f，即4(,13)ae又24()1)xgx在区间0，4 上是增函数，且它在区间0，4上
15、的值域是2428(),()ea.24ae4(3ae 1240e，存在 ,0,1使得 |21ff成立只须24()4()g()=的两根都小于0，在 (,上， ()0fx，故()0,)fx在上单调递增当 2aA时 ,(x的两根为22144,aax，当 1时， )0f；当 2时， ()0fx；当 2x时， ()0f，故 ()fx分别在 12,上单调递增，在 12,上单调递减由知，若 (f有两个极值点 12,x，则只能是情况，故 a因为121212)(ln)f ax，所以 121212(xfkxA又由知， ，于是lxka若存在 a，使得 2.则12lnx即 1212lnx亦即21l0()*xx再由知，函
16、数1)lnhtt在 (0,)上单调递增，而 21x，所以221ln.xx这与 *式矛盾故不存在 a，使得 .ka1818. （构造函数，好，较难）已知函数 .21()ln()0)fxaxaR，求函数 的单调增区间；记函数 的图象为曲线 ，设点 是曲线 上两个不同点，如果曲线FC12,(,AxyB、 C上存在点 ，使得： ；曲线 在点 处的切线平行于直线 ，C0(,)Mxy20MAB则称函数 存在“中值相依切线”.试问：函数 是否存在中值相依切线，请说明理由.()f解：（）函数 ()f的定义域是 (,). 由已知得，1()1 axfxa. 当 0a时, 令 ()0,解得 ;函数 fx在 (0,)
17、上单调递增 当 时，当 1时，即 1时, 令 ()0fx,解得 1a或 ;函数 ()fx在 0,)a和 (上 单调递增当 时，即 时, 显然，函数 ()fx在 ,)上单调递增； 当 1时，即 1时, 令 0,解得 1或 xa函数 ()fx在 0,和 ()a上单调递增.综上所述:当 a时,函数 )f在 ,1上单调递增当 1时,函数 (x在 )和 (,)上单调递增当 时,函数 )f在 0,上单调递增；当 0a时,函数 (在 1)和 (,)a上单调递增 .()假设函数 ()fx存在“中值相依切线”.设 1(,Ay, 2B是曲线 yfx上的不同两点，且 120x，则 11ln)a， 22ln()x.2
18、1ABykx21212(ln()xaax192112ln()(xax.曲线在点 0(,)My处的切线斜率 0)kfx12()xf 1212()xa， 依题意得： 2112ln(xa12().化简可得 21lx2x， 即 21ln= 1()x12(x. 设 21t ( )，上式化为： ()4ltt,4lnt,令 4ln1gtt, 2()1)gtt2()t.因为 ,显然 ()0，所以 在 上递增,显然有 g恒成立.所以在 (1内不存在 t,使得 lt成立. 综上所述，假设不成立.所以，函数 ()fx不存在“中值相依切线”19. (2011天津理19，综合应用 )已知 0a，函数 2lnfxa， 0
19、x( f的图象连续)求 fx的单调区间；若存在属于区间 1,3的 ,，且 1 ，使 ff，证明：ln32l5a 解：2axfx， 0令 0fx，则2a当 变化时， ， f的变化情况如下表：x0,2a2,2af0单调递增 极大值 单调递减所以 fx的单调增区间是2,a，单调减区间是2,a20由 ff及 fx的单调性知2a从而 fx在区间 ,上的最小值为 又由 1， ,3，则 13所以2,fff即ln24,l9.a所以ln3l53a20. （恒成立，直接利用最值）已知函数2()l1), 0fxxa，若 21是函数 f的一个极值点，求 ；讨论函数 )(的单调区间；若对于任意的 1,a,不等式 fxm
20、 在1,2上恒成立，求 m的取值范围.解：22()()xf,因为x是函数 )(f的一个极值点，所以0)21(f，得 02a.又 0a，所以 2. 因为 )(f的定义域是1, )a， 222()11xaxf.当 时，列表x(, 0)a2(, )a2(, )a)(f 增 减 增21)(xf在 1, 0)a， 2(, )是增函数； )(xf在 20, )a是减函数.当 时，201xf， f在, 是增函数.当 20时，列表x2(, )a2(, )a(0, )(f 增 减 增)(xf在21, )a, (0 )是增函数； )(xf在2, 0)a是减函数.21. （最值与图象特征应用）设 Ra，函数eaxe
21、f)(1(2)(为自然对数的底数）.判断 xf的单调性；若,1)(2e在上恒成立，求a的取值范围.解：)2()(2axexxf ),12(1axex令 .)(2ag当 )(,0)(,1)(,0ff时 在R 上为减函数.当 ,0442 aax的 判 别时 ,)(xff即在R 上为减函数. 当 0a时，由 ,012a得,11axx或22由 ,012ax得,11axa),(),() f在上为增函数；,ax在上为减函数. 由知当 2,1)(,0在时 xfa上为减函数. .515)( 2min aeef 得由当 2)(,af时 21)(exf在1，2上不恒成立，a的取值范围是).,(22. (单调性)已
22、知 fx=ln(x+2)x 2+bx+c若函数 在点(1，y )处的切线与直线3x+7 y+2=0垂直，且f(1)=0，求函数 ()fx在区间0,3上的最小值；若 ()f在区间0,m上单调，求 b的取值范围.解： x21，依题意令 (1)f= 73， ()f0，解得b=4 ，c =5.20294)( xxf 得x 0(0,3) （3,3）3y + 0 y ln2+5 极大 8+ln5因为8+ln55+ln2 x=0时 ()f在0，3上最小值 ()f=5+ln2.若 ()f在区间0，m上单调，有两种可能令b210得b2x 21，在0，m上恒成立而y=2x 在0，m上单调递增，最大值为2m m，b
23、2m 21.令f1)(0 得b2x1，而 y=2x 2在0，m 单增，最小为y= ，b 2.23故b2m 21m或b 时 ()fx在0，m上单调.23. （单调性，用到二阶导数的技巧）已知函数 xfln)(若)(RaF，求 )(xF的极大值；若 kfG2)(在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k的取值范围.解： xln定义域为 ),0(2)1()aF令ae10得由aexxF1)(得由 x)(得即 ),1a在上单调递增，在 ,1ae上单调递减ex时，F(x )取得极大值1)(ae kG2ln)的定义域为(0 ，+)，kxGln2(由G (x)在定义域内单调递减知：0ln2(kx在(0，+)内恒
24、成立令kxHl，则 2)1)xH由 exH得(当 ),0(e时 (,0(为增函数当 x时 ， 为减函数当x = e时，H(x )取最大值ke)(故只需02k恒成立，2又当 e时，只有一点x = e使得 0)(xHG不影响其单调性.2ek二、交点与根 的分布24. （2008四川22，交点个数与根的分布）已知 3x是函数2()ln(1)0fxax的一个极值点求 a；24求函数 ()fx的单调区间；若直线 yb与函数 ()yfx的图像有 3个交点，求 b的取值范围解：2()ln(10fa，()210afx3x是函数 )1x的一个极值点()40f， 6由 21ln()x， (,) 813() xfx
25、x令 0，得 ， 3， ()f和 随 的变化情况如下：,1 (,)3 (,)0 0fx增 极大值 减 极小值 增()fx的增区间是 (1,)， ,)；减区间是(1,3)由知， f在 上单调递增，在 (,)上单调递增，在 (1,3)上单调递减 6ln29f极 大 ， 32lnff极 小 又 x时， ()fx； x时， x；可据此画出函数 y的草图（图略） ，由图可知，当直线 b与函数 f的图像有3个交点时， b的取值范围为 (32ln1,6l29)25. 已知函数 2fabc在 ,0上是减函数，在 0,上是增函数，函数fx在 R上有三个零点（1）求 的值； （2）若1是其中一个零点，求 f的取值
26、范围；（3）若 23lnagxx，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g(x)相切？请说明理由.25 ()gx=2x+lnx，设过点（2，5）与曲线g ( x)的切线的切点坐标为 0(,)xy/00)y， 即0 012ln5(2)lnx，令h(x)=lx，/h()=2x=0， xh(x)在（0，2）上单调递减，在（ 2， ）上单调递增又1(l0h，h(2)=ln2-10，20eh(x)与x轴有两个交点， 过点（2，5）可作2条曲线y=g(x)的切线.26. （交点个数与根的分布）已知函数 ()8,(6ln.fxgm求 在区间 1t上的最大值 ();ht是否存在实数 ,m使得 yfx的图像
27、与 ()ygx的图像有且只有三个不同的交点？若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由。解：22()8(4)6.fx当 14,t即 3t时， f在 ,1t上单调递增，2217;hf t当 ,t即 t时， ()htf当 时， ()fx在 ,上单调递减，2()8.tft综上22673,1,48tthtt 26函数 ()yfx的图像与 ()ygx的图像有且只有三个不同的交点，即函数()g的图像与 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。2286ln,86(1)3() (0),mxxx当 0,1时， ()0,()是增函数；当 3时， 是减函数；当 (,x时， ,x是增函数；当 或 时， ().)17,(3
28、)6ln15.mm最 大 值 最 小 值当 充分接近0时， 0当 充分大时， 0x要使 (x的图像与 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须),6ln315,最 大 值最 小 值即 7156ln3.存在实数 m，使得函数 ()yfx与 ()g的图像有且只有三个不同的交点， m的取值范围为 (7,l).27. （交点个数与根的分布）已知函数.23)ln()xxf求f(x) 在0,1 上的极值；若对任意03)(ln|,16 xfa不 等 式成立，求实数a的取值范围；若关于x的方程 bxf2)(在0，1 上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围.解： 3)1(32)(f，令10x或得（舍去） )(,0
29、)(,3ffx时当单调递增；当)(,0)(,13xffx时递减. 1,61ln)(在为 函 数 xf上的极大值.由 3)(| fxa得 xa2ln2l或设 3n)(xxh， xg32lnln)( ，27依题意知31,6)()(xgaxh在或上恒成立， 0)2(23)( xg，)(12 xxh， 3,6)(都 在与g上单增，要使不等式成立，当且仅当.51ln3l),(aga或即或由.022ln)( bxxbxf令 xx32973)(,3)l 则，当7,0,0(,7,0 在于 是时 xxx上递增；1,3)(,),13在于 是时 上递减，而 37(,0)7(， ,0)2在即 xbxf恰有两个不同实根
30、等价于0215ln)(672)(37l)(bb.3726)l(28. (2009宁夏，利用根的分布 )已知函数32()xfxabe如 ab，求 (f的单调区间；若 在 ,)单调增加，在 (,2)单调减少，证明： 6. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解： 时，33xfxe，故w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 28322()3)(63)xxfxxee(3)xew.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当 或 00;f时 ， 当 00.f或 时 ，从而 (,(,f在 单 调 增 加 ， 在 （ ， ） ， （ ， ） 单调减少.3223)()(6).xxxabaaxb由条件得3,6,4
31、,f b即 故从而 (4.xe因为 )0,ff所以362)()aaxx2()().xx将右边展开，与左边比较系数得， 2,.a故()41.又 20,()40.即 由此可得 6.于是 6. w.w 29. （2009天津文，利用根的分布讨论）设函数3211fxxmxR，其中 0m当 m时，求曲线 yf在点 ,f处的切线的斜率求函数 f的单调区间与极值已知函数 x有三个互不相同的零点 120x、 、 ，且 12x，若对任意的12,1xff恒成立，求 的取值范围.解：当)(,)(,3)( 2/2 ffx故时 ，所以曲线 yfx在点 ,f处的切线斜率为1. 12)( mf，令 0)(f，得到 mx1,
32、因为 ,0所 以 ，当x变化时， )(xf的变化情况如下表： ,)1,(m),(f+ 0 0 +)( 极小值 极大值 xf在 1,m和 ),(内减函数，在 ),(内增函数。函数 )(在 处取得极大值 )1f，且 1f= 31223m函数 xf在 1处取得极小值 (m，且 )(=29由题设)(31)31() 2122 xxmxxf 所以方程2=0由两个相异的实根 21,，故 321，且0)1(34m，解得)(2，舍因为3,2,11 xxx故所 以（难点）若0)(3)(, 2f则，而 0)(1xf，不合题意；若 21x则对任意的 ,1x有 ,21则)()(21f，又 )(f，所以函数 )(xf在
33、,21x的最小值为0，于是对任意的 ,， 恒成立的充要条件是03)1(2mf,解得 3m，综上，m的取值范围是)3,2(30. （2007全国II理22，转换变量后为根的分布）已知函数3()fx（1）求曲线 y在点 ()Mtf， 处的切线方程；（2）设 0a，如果过点 ab， 可作曲线 ()yfx的三条切线，证明： ()abf解：（1）2()1f yfx在点 t， 处的切线方程为ytxt，即23（2）如果有一条切线过点 ()ab， ，则存在 t，使23(1)btat若过点 ()ab， 可作曲线 yfx的三条切线，则方程 320t有三个相异的实数根记 gt，则2()6gtt()当 t变化时， (
34、)g， 变化情况如下表：t)，0 0)a， ()a，0 0()tA极大值 abA极小值 )bfA如果过 ab， 可作曲线 ()yfx三条切线，即 ()0gt有三个相异的实数根，则 ()0.fa，即 ()fa3031. 已知函数 32,fxabxaR在点 1,f处的切线方程为 20y求函数 的解析式；若对于区间 ,上任意两个自变量的值 12,x都有 12fxfc，求实数 的最小值；若过点 2,Mm可作曲线 yf的三条切线，求实数 m的取值范围解： 3fxabx2 分根据题意，得 1,0f即 32,0a解得 1ab3 分所以 3fx4 分令 ，即 2x得 1x,1 ,22fx+ +2增 极大值 减 极小值 增 2因为 1f， f，所以当 ,x时， max2， min2f6 分则对于区间 2上任意两个自变量的值 1,x，都有1axin4ffff，所以 c所以 c的最小值为 48 分因为点 2,M不在曲线 yfx上，所以可设切点为 0,xy则 300yx因为 2f，所以切线的斜率为 2039 分则 203x=30m， 11 分即 6因为过点 2,M可作曲线 yfx的三条切线，
