1、华航教育一对一课外辅导第 1 页 共 21 页第一章 导数及其应用1.1 变化率与导数【知识点归纳】1.平均变化率：2.瞬时速度：3.导数及导函数的概念：4.导数的几何意义：拓展知识：5.平均变化率的几何意义：6.导数与切线的关系：【典型例题】题型一 求平均变化率：例 1.已知函数 的图像上一点（1,1）及其邻近一点 ，则2()1yfx(1,)xy=_.x变式训练：1.以 速度竖直向上抛出一物体，t 秒时的高度为 ，求物体在0()v 201()stvgt到 这段时间的平均速度 .tv2.求正弦函数 在 和 附近的平均变化率，并比较他们的大小.sinyx02x华航教育一对一课外辅导第 2 页 共
2、 21 页题型二 实际问题中的瞬时速度例 2 已知质点 M 按规律 做直线运动（位移单位：cm，时间单位：s）23st（1）当 时，求 ；（2）当 时，求 ；,0.1tt2,0.1tst（3）求质点 M 在 t=2 时的瞬时速度.题型三 求函数的导数及导函数的值例 3 求函数 在 处的导数.1yx题型四 曲线的切线问题例 4 （1）已知曲线 上一点 A（1，2） ，求点 A 处的切线方程. 2yx（2）求过点（-1，-2）且与曲线 想切的直线方程 .3x（3）求曲线 在 x=1 处的切线的倾斜角.321()5fx（4）曲线 在点 P 处的切线斜率为 3，求点 P 的坐标.y华航教育一对一课外辅
3、导第 3 页 共 21 页1.2 导数的计算【知识点归纳】1.常见函数的导数：2.基本初等函数的导数公式：3.导数的运算法则：4.复合函数的导数：【典型例题】题型 一 基本初等函数导数公式运用例 1 给出下列结论： ；若 ，则 ；若 ，则1(cos)in6221yx3yx()3fx；.若 ，则3f3yx3其中正确的是_.题型 二 导数运算法则的应用例 2 求下列函数的导数：（1） ；（2） ；（3） ；（4）53yxlgxye1cosxA.sincoA变式训练：判断下面的求导是否正确，如果不正确，加以改正.华航教育一对一课外辅导第 4 页 共 21 页221cos(1cos)in()xx题型
4、三 复合函数求导的应用例 7 求下列函数的导数.（1） ；（2） .3(cos)yx21sinyx变式训练：求函数 的导数22(3)1yx题型 四 切线方程及应用例 4 曲线 在点（0，1）处的切线方程是？sinxye变式训练：曲线 在 P 处的切线平行于直线 ，则点 P 的坐标为32yx41yx_.题型 五 利用导数求参数问题例 5 若曲线 在坐标原点处的切线方程是 ，则实数 a=_3yxa20xy变式训练：若函数 在 x=a 处的导数值为函数值互为相反数，求 a 的值()xef华航教育一对一课外辅导第 5 页 共 21 页题型 六 对数求导数的应用（选讲）例 6 求下列函数的导数（1） ；
5、(1)2(3)yxx（2） ；1)2题型 七 求导数的实际应用例 7 有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离 s （单位：m）关于时间 t （单位 s）的函数为 .求函数在 时的导数，并解释它的实际2()59stt715t意义.华航教育一对一课外辅导第 6 页 共 21 页1.3 导数在研究函数中的应用1.3.1 函数的单调性与导数【知识点归纳】1.函数的单调性与其导数的关系：2.利用导数求函数的单调区间：3.导数的绝对值的大小与图像的关系（选讲）：【典型例题】题型 一 里用导数的信息确定函数大致图像例 1 已知导函数 的下列信息：()fx当 时， ； 当 或 时， ； 23x03
6、x2()0fx当 或 时， ；()fx试画出函数 f（x）图像的大致形状 .题型 二 判断或者证明函数的单调性例 2 试判断函数 在其定义域上的单调性.()lnfx变式训练：证明：函数 在区间（0，2）上是单调递增函数.ln()xf华航教育一对一课外辅导第 7 页 共 21 页题型 三 求函数的单调性例 3 确定函数 的单调区间.32()67fx变式训练：求函数 的单调性.3yx题型 四 含有参数的函数的单调性例 4 已知函数 ，讨论 f（x）的单调性.2()ln()fxa变式训练：已知函数 在 内单调递增，求实数 a 的取值范围.1()2axf(,)华航教育一对一课外辅导第 8 页 共 21
7、 页1.3.2 导数的极值与导数【知识点归纳】1.导数的极值的概念：2.导数的极值的判断和求法：【典型例题】题型 一 求函数的极值例 1 求下列函数的极值：（1） ； （2） .276yx 2lnyx变式训练：设 的导数 满足 ，其中常32()1fxabx()fx(1)2,()fafb数 .,abR（1）求曲线 在点 处的切线方程.()yfx,()f（2）设 ，求函数 的极值.gegx华航教育一对一课外辅导第 9 页 共 21 页题型 二 判断函数极值点的情况例 2 判断下列函数有无极值，若有极值，请求出极值；如果没有极值，请说明理由.（1） ； （2） ； （3） .3()4fx321()4
8、fxx23()1)fx变式训练：设函数 ，其中 .证明：当 时，函数 f（x）没有2()lnfxabx0ab0ab极值点，当 时,函数 f（ x）有且只有一个极值点，并求出极值.0ab题型 三导函数的图像与函数极值的关系例 3 函数 f（x）的定义域为开区间（ a，b） ，导函数 f（x）在（a ，b）内的图象如图所示，则函数 f（x）在开区间（a，b）内有极小值点的个数为（ ）A 1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个华航教育一对一课外辅导第 10 页 共 21 页题型 四 极值的逆向问题例 4 已知函数 在 x=1 处取得极值-3-c，其中 a，b 为常数.44()ln(0)fxabx
9、c（1）试确定 a，b 的值.（2）讨论函数 f（x）的单调区间 .综上：若说明函数没有极值，一般不讨论有无导数，而是在区间上只有一个单调性，没有“拐点”.华航教育一对一课外辅导第 11 页 共 21 页1.3.3 函数的最大小值与导数【知识点归纳】1.最大小值与极值的关系：2.求最大小值的步骤：3.开区间的最值问题：【典型例题】题型 一 利用导数求函数最值问题例 1 求函数 在区间 上的最大值和最小值.543()1fxx,4变式训练：设函数 为奇函数，其图像在 处的切线与直3()(0)fxabc(1,)f线 垂直，导数的最小值为-12.670xy（1）求 a，b，c 的值.（2）求函数 f（
10、x）的单调递增区间，并求函数 f（x）在 -1,3上的最大小值.华航教育一对一课外辅导第 12 页 共 21 页题型 二 含参数最值问题例 2 设 a 为常数，求函数 的最大值.3()(01)fxax变式训练：1.设 321()fxxa（1）若 f（x）在 上存在单调递增区间，求 a 的取值范围.,)（2）当 时,f（ x）在1,4 上的最小值为 ，求 f（x）在该区间上的最大02a163值.题型 三 由函数的最值求参数的值例 3 设 ，函数 的最大值为 1，最小值为 ，21a32()(1)fxaxb62求 a，b 的值.华航教育一对一课外辅导第 13 页 共 21 页1.4 生活中的优化问题
11、【知识点归纳】利用求函数的最大小值的方法求实际应用中的最优化问题函数的极值与端点值的比较【典型例题】题型 一 利润最大问题例 1 某商品每件成本 9 元，售价为 30 元，每星期卖出 432 件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出商品件数与商品单价的降低值 x（单位：元, ）的平方021x成正比，已知商品单价降低 2 元时，一星期多卖出 24 件.（1）将一星期的商品销售利润表示成 x 的函数（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大变式训练：某分公司经销某种品牌的产品，每件产品的成本为 3 元，并且每件产品需向总公司交 m（3m5）元的管理费，预计当每件产品的售价为 x（9x1
12、1 ）元时，一年的销售量为(12-x) 2 万件（1）求分公司一年的利润 L（万元）与每件产品的售价 x 的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润 L 最大，并求出 L 的最大值Q（m） 华航教育一对一课外辅导第 14 页 共 21 页题型 二 用料最省、费用最低问题例 2 如图，某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为 x，y（单位：米）的矩形，上部是斜边长为 x 的等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为 8 平方米（）求 x，y 的关系式，并求 x 的取值范围；（）问 x，y 分别为多少时用料最省？变式训练：某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单
13、位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为 立方米，且 假设该容器的8032lr建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元，半球形部分每平方米建造费用为 c（c 3）千元设该容器的建造费用为 y 千元（）写出 y 关于 r 的函数表达式，并求该函数的定义域；（）求该容器的建造费用最小时的 r华航教育一对一课外辅导第 15 页 共 21 页题型 三 面积、体积最值问题例 3 如图在二次函数 的图像与 x 轴所围成的图形中有一个内接矩形2()4fxABCD，求这个内接矩形的最大面积.变式训练：请您设计一个帐篷它下部的形状是高为 1m 的正
14、六棱柱，上部的形状是侧棱长为 3m 的正六棱锥（如图所示） 试问当帐篷的顶点 O 到底面中心 O1 的距离为多少时，帐篷的体积最大？xy华航教育一对一课外辅导第 16 页 共 21 页1.5 定积分的概念【知识点归纳】定积分的概念：定积分的性质：【典型例题】题型 一 利用定义计算积分例 1 利用定积分定义，计算 21(3)xd题型 二 求曲边梯形的面积例 2 利用定积分的定义求出直线 x=1，x=2 和 y=0 及曲线 围成的图形的面积.3yx华航教育一对一课外辅导第 17 页 共 21 页1.6 微积分基本定理【知识点归纳】1.牛顿莱布尼茨公式：2.定积分的取值：3.定积分的一些性质：【典型
15、例题】题型 一 求简单函数的定积分例 1 求下列函数的定积分：（1） ； （2） ； （3） ；22()xd2sinxd94(1)xd题型 二 求分段函数的定积分例 2 求函数 在区间0，3 上的定积分 .32, 0,1(), ,xf华航教育一对一课外辅导第 18 页 共 21 页变式训练：求定积分：（1） ； （2）201xd01sin2xd题型 三 定积分的实际应用例 3 汽车以每小时 36 km 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车的减速度为刹车，求从开始停车到停车，汽车的走过的距离.21.8/ams变式训练：等比数列 中， ，前三项和 ，则公比 q 的值是多少？na36304sxd华
16、航教育一对一课外辅导第 19 页 共 21 页1.7 定积分的简单应用【知识点归纳】1.常见的平面图形的面积求法：2.定积分在物理公式中的应用：【典型例题】题型 一 用定积分求平面图形的面积例 1 求曲线 与 所围成的图形的面积.2yx变式训练：求由抛物线 所围成的图形的面积22,15xy华航教育一对一课外辅导第 20 页 共 21 页例 2 求正弦曲线 和直线 及 x 轴所围成的平面图形的面积.3sin,02yx32变式训练：求由曲线 所围成的图形的面积22,4yxyx题型 二 用定积分求变速直线运动的距离例 3 有一两汽车以每小时 36km 的速度形式，在 B 出以 的加速度减速停车，问从2 /ms开始刹车到停车一共行驶多少的路程.题型 三 用定积分解决变力作功问题例 4 有一个长为 25cm 的弹簧，若以 100N 的力，则弹簧伸长到 30cm，求弹簧由 25cm 伸长到 40 所做的功.华航教育一对一课外辅导第 21 页 共 21 页
