用轴对称知识求线段和的最小值.doc

1、浅析用轴对称知识求线段和的最小值求线段和的最小值问题，在初中数学中经常会遇到，利用轴对称知识可以比较简单的解决。我们先通过一个非常典型的例题来推导一个性质：一、性质推导例题：如图所示，在河岸 L 的一侧有两个村庄 A、B，现要在河岸 L 上修建一个供水站，问供水站应建在什么地方，才能到 A，B 两村庄的距离之和最短？首先，我们来推导一个轴对称的性质，如图，作 B 点关于 L 的对称点 B1, 在直线 L 上任意定一点 M，连接 B B1，BM ，B 1M，根据轴对称知识，我们可以求证BM B1M，所以，我们可以得出这样的性质：成轴对称的两个对应点到对称轴上任意一点的距离相等。在该例题中，利用这

2、一性质，我们可得出：点 B 到河岸 L 上任意点 M 的距离等于对称 B1 到点 M 的距离。要使 AM+ B1M 最小，必须使 A、M 、B 1 三点共线，也就是说，必须使点 M，与 A B1 连线和 L 的交点 N 重合，所以，河岸上的 N 点为到 A、B 的距离之和最小的点。LN OB1BAM证明：M 为 L 上的任意点因为 BMB 1M所以，BM+AMB 1M+AM，而 B1M+AM 大于 B1A，所以，结论成立二、应用1 ：在图（1）中，若 A 到直线 L 的距离 AC 是 3 千米，B 到直线 L 的距离 BD 是 1 千米，并且 CD 的距离 4 千米，在直线 L 上找一点 P，

3、使 PA+PB 的值最小。求这个最小值。解：作出 A1B（作法如上图）过 A1 点画直线 L 的平行线与 BD 的延长线交于 H，在 RtA1BH 中，A1H=4 千米，BH=4 千米，用勾股定理求得 A1B 的长度为 4 千米，2即 PA+PB 的最小值为 4 千米。L PA1ACBDH2、 如图（1） ，在直角坐标系 XOY 中，X 轴上的动点M（ x，0）到定点 P（5，5）和到 Q（2，1）的距离分别为MP 和 MQ，那么当 MP+MQ 取最小值时，点 M 的横坐标x=_。(5,5)(2,1)YXOQP1 2 3 4 5 6-1-1123456 (5,5)(2,1)YXMOQPQ11

4、2 3 4 5 6-1-1123456解：如图（2） ，只要画出点 Q 关于 x 轴的对称点Q1（2，-1 ） ，连结 PQ1 交 x 轴于点 M，则 M 点即为所求。点 M 的横坐标只要先求出经过 PQ1 两点的直线的解析式，（y=2x-5） ，令 y=0，求得 x=5/2。 （也可以用勾股定理或相似三角形求出答案） 。图（1）图（2）图（1）3、 求函数 y= + 的最小值。2610x2634x解：方法（）把原函数转化为 y= + ，因此可以)3(2x2()5x理解为在 X 轴上找一个点，使它到点（3，1）和（-3，5）的距离之和最小。 （解法同上一题） 。方法（）如图（9） ，分别以 P

5、M=（3-x） 、AM=1 为边和以PN=（ x+3） 、BN=5 为边构建使（3-x） 和（x+3）在同一直线上的两个直角PAM、PNB，两条斜边的长就是 PA=和 PB= ，因此，求 y 的最小值就是求2(3)1x2(3)5xPA+PB 的最小值，只要利用轴对称性质求出 BA1 的长，就是 y 的最小值。 （6 ） 。253-X116X+39NBAA1 GM P三、拓展（一）三条线段的和最小的问题：如图 3， 已知甲、乙、丙三人做接力游戏，开始时,甲站在AOB 内的 P 点，乙站在 OA 边上，丙站在 OB 边上，游戏规则：甲将接力棒传给乙，乙将接力棒传给丙，最后丙跑至终点 P 处。如果三

6、人速度相同，试作图求出乙丙站在何处，他们比赛所用时间最短。析解：三人的速度一定且相同，要使比赛时间最短，只需三人所走的路程最短，因此可以利用轴对称知识，作点 P关于OA、OB 的对称点 、 ，连接 ，交 OA 于 ，交 OBPPO于 ，则点 和点 应分别是乙、丙的位置。这样连接 、OOP则三人行的路程和为 。P POPO规律总结：轴对称在本题中的主要作用是将线段在保证长度不变的情况下改变位置，要注意体会轴对称在这方面的应用。 （二）利用菱形的对称性，求线段和的最小值1、如图（5） ，在菱形 ABCD 中，AB=4a,E 在 BC 上，EC=2a，BAD=1200, 点 P 在 BD 上，则 P

7、E+PC 的最小值是（ ）（A）6a , (B) 5a , (C) 4a , (D) 2 a 。35CEDPBA6E1CEDPBA解：如图（6） ，因为菱形是轴对称图形，所以 BC 中点E 关于对角线 BD 的对称点 E 一定落在 AB 的中点 E1，只要连结 CE1，CE1 即为 PC+PE 的最小值。这时三角形CBE1 是含有 300 角的直角三角形，PC+PE=CE1=2 a 。3所以选（D） 。2、已知在菱形 ABCD 中， A=600，AD=8，M、N 分别是 AB，BC 边上的中点， P 是对角线 AC 上一动点，求PMPN 的最小值。分析：因为动点 P 在菱形 ABCD 的对角线

8、 AC 上，而 CD 边的中点 G，是 N 关于对称轴 AC 的对应点所以，PGPN ，因此求 PMPN 的最小值就转化为求 PMPG 的最小值，连接 MG，在PMG 中，PMPG 的最小值就是 MG，即PMPGMG（仅当 M、P 、G 三点共线时取得最小值） 。GNMCBADP解：取 CD 的中点 G，连接 PG AC 是菱形 ABCD 的对角线 PCGPCN又 CBCD，N 是 BC 边的中点 CNCG又 PCPC，PCGPCN PGPN连接 MG。 四边形 AMGD 为平行四边形MGAD8在PMG 中， （仅当 P、M 、G 三点共线时取等号）即，故 PMPN 的最小值为 8。（三）利用

9、正方形的对称性，求线段和的最小值已知如图：正方形 ABCD 的边长是 3,E 点分边 BC 为2:1,P 为对角线 BD 上一点,求 PE+PC 的最小值. B CA DPE分析:要想求 PE+PC 的最小值,关键是确定点 P 的位置,根据对称的知识我们知道点 P 的位置应是，点 C 关于直线 BD 的对称点和点 E 连线与 BD 的交点.解:因为四边形 ABCD 为正方形,所以点 C 关于 BD 的对称点为 A,连接 AE 交 BD 于 P 点,则此时 PE+PC 的最小值最小,最小值为:PE+PC=AE= 13（四）利用等腰梯形的对称性，求线段和的最小值如图，在梯形 ABCD 中，ADBC

10、，ABCDAD1，B60，直线 MN 为梯形 ABCD的对称轴，P 为 MN 上一点，那么 PCPD 的最小值为_。MN CBA DP分析：在梯形 ABCD 中，因为 ABCDAD，易知梯形ABCD 是等腰梯形，又直线 MN 是梯形 ABCD 的对称轴，所以直线 MN 是底边 AD、BC 的垂直平分线，连接 PA，由线段垂直平分线上任一点，到已知线段两端的距离相等知，PAPD，所以求 PCPD 的最小值就转化为求 PCPA 的最小值，即求 AC 的长度即可。 解：连接 PAABCDAD1，梯形 ABCD 是等腰梯形又直线 MN 是梯形 ABCD 的对称轴PAPD过点 A 作 AEBC，过点 D

11、 作 DFBC，E、F 为垂足，易证ABEDCF，BECF在 RtABE 中，B60，AB1在 RtABC 中，由勾股定理，得即 PAPC 的最小值为（当 A、P、C 三点共线时取得最小值）也可这样求 AC 的值：过 A 点作 CD 的平行线，交 BC 于 G，则BGAB1,GCAD1BC2而角 BCADACDCA，角 BCA30,角 BAC90 度在三角形 ABC 中，可求得 AC（五）利用圆的对称性，求线段和的最小值已知如图,AB 是的直径,AB=2cm,OCAB,点 D 是弧 AC的三等分点,P 是 OC 上一动点,求 PA+PD 的最小值.16OABCPDEPFCOABD分析：圆是一个

12、轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆上任意一点的关于直径所在直线的对称点都在圆上。 解:作点 D 关于 OC 的对称点 F,连接 AF,此时 PA+PD 的最小值为 AF.因为 AB 是圆 O 的直径,OCAB，则弧 AC 的度数为 900，因为 D 是弧 AC 的三等分点，所以弧 AD 的度数是 600，弧 DC的度数是 300，因为点 D 与点 F 关于 OC 的对称，所以且弧DC 与弧 CF 相等,都为 300，AOF=120 0，作 OEAF，则AOE=60 0。在 RtAOE 中，AO= 1cm，AOE=60 0，则AE=，AF= 。3（六）利用坐标系的对称性，求线段

13、和的最小值如图,在直角坐标系中, 有四个点 A（-8，3）、B（-4，5）、C（0，n）、D（m，0），求四边形 ABCD 周长最短时的值。8642-2-4-6-8-10 -5 5 10DCBAAB分析：因为 A、B 是定点且长度不变，四边形 ABCD 的周长最短，需使 AD+CD+BC 的值最小，由于 C、D 两点未知，所以本题关键是找 C、D 两点，可考虑用轴对称的方法将BC、 CD、AD 这三条折线拉直。解：分别作 A 点关于 x 轴、B 点关于 y 轴的对称点A/（-8，-3）、B /（4，5），连接 A/B/分别交 x 轴、y 轴于D、C 点。设直线 A/B/的解析式为 y=kx+b

14、，把 x=-8，y=-3；x=4，y=5 分别代入得：-8k+b=-3 4k+b =5 解得 k 和 b 值，得到 A/B/的解析式为:3y=2x+7 令 x=0，求得 y，得到 C 点令 y0，求得 x，得到 D 点由以上几例可以看出，当求线段和的最小值时，常常借助轴对称将两条线段转化到一条直线上，再利用“两点之间线段最短”进行求解。四、链接看这样一题：要在一条河上架一座桥（桥须与河岸垂直，两河岸平行） ，请提供一种设计方案，使从 A 地到 B 地的路径最短，请说明理由。AB请思考：1、这题为什么不能用轴对称知识解决？(认真理解我推导出的性质就可明白)2、如何用平移知识解决此题？3、类似我推

15、导出的轴对称性质，平移的知识能否推导出类似的性质？五、练习1、 （2002 湖北黄岗竞赛题）如图（10） ，AOB=45 0，角内有一点 P，PO=10，在角两边上有两点 Q、R（均不同于点 O） ，则PQR 的周长最小值是 _ 。当PQR 周长最小时，QPR 的度数= _。AB1010OPQRRQP2P1BOAP提示：画点 P 关于 OA 的对称点 P1，点 P 关于 OB 的对称点 P2， AOB=45 0，P 1OP2 是等腰直角三角形，P1P2=10 。又问:当 PQR 周长最小时，QPR 的度数=_。 （答案： 900）2、已知点 A（-2，1） ，点 B（3，4） 。在 X 轴上求

16、一点 P，使得 PA+PB 的值最小。这个最小值是 _。 （同例 2）3、 （北京市竞赛题）如图（11） ，在矩形 ABCD 中，AB=20，BC=10，若在 AC、AB 上各取一点 M、N，使 BM+MN 的值最小，求这个最小值。11CDA BMN提示：要使 BM+MN 的值最小，应设法把折线BM+MN 拉直，从而想到用轴对称性质来做。画出点 B 关于直线 AC 的对称点 B1，则 B1N 的长就是最小值；又因为 N 也是动点，所以，当 B1N AB 时这个值最小，利用勾股定理和三角形面积公式可以求得这个最小值为 16。初三的同学也可以用射影定理和面积公式求解。4、如图（12）在菱形 ABC

17、D 中，DAB=120 0，点 E 平分BC，点 P 在 BD 上，且 PE+PC=1，那么边长 AB 的最大值是 _。12D BACPE提示：因为当 PE+PC 最小时，AB=CD 达到最大，这个最大值是 。325、如图（15） ，在河湾处 M 点有一个观察站，观察员要从 M 点出发，先到 AB 岸，再到 CD 岸然后返回 M 点，则该船应该走的最短路线是 （先画图，再用字母表示） 。DB (15)CAM6、求代数式 + 的最小值。 （答案：243x2146x）2145求两线段长度值和最小”问题全解析山东沂源县徐家庄中心学校 左进祥在近几年的中考中，经常遇到求 PA+PB 最小型问题，为了让

18、同学们对这类问题有一个比较全面的认识和了解，我们特此编写了“求两线段长度值和最小”问题全解析，希望对同学们有所帮助一、在三角形背景下探求线段和的最小值1.1 在锐角三角形中探求线段和的最小值例 1 如图 1，在锐角三角形 ABC 中，AB=4 ,BAC=45，BAC 的平分线交 BC 于点 D，M,N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值为 分析：在这里，有两个动点，所以在解答时，就不能用我们常用对称点法我们要选用三角形两边之和大于第三边的原理加以解决解：如图 1，在 AC 上截取 AE=AN，连接 BE因为BAC 的平分线交 BC 于点D，所以EAM=NAM，又因为 A

19、M=AM， 所以AMEAMN，所以 ME=MN所以BM+MN=BM+MEBE因为 BM+MN 有最小值当 BE 是点 B 到直线 AC 的距离时，BE取最小值为 4，以 BM+MN 的最小值是 4故填 41.2 在等边三角形中探求线段和的最小值例 2（2010 山东滨州）如图 4 所示，等边ABC 的边长为 6,AD 是 BC 边上的中线,M 是 AD 上的动点,E 是 AC 边上一点.若 AE=2,EM+CM 的最小值为 . 分析：要求线段和最小值，关键是利用轴对称思想，找出这条最短的线段，后应用所学的知识求出这条线段的长度即可解：因为等边ABC 的边长为 6,AD 是 BC 边上的中线,所

20、以点 C 与点 B 关于AD 对称，连接 BE 交 AD 于点 M，这就是 EM+CM 最小时的位置，如图 5 所示，因为 CM=BM，所以 EM+CM=BE，过点 E 作 EFBC，垂足为 F，因为 AE=2，AC=6，所以 EC=4，在直角三角形 EFC 中，因为 EC=4, ECF=60，FEC=30，所以FC=2,EF= =2 因为 BC=6，FC=2，所以 BF=4在直角三角形 BEF 中，BE= .二、在四边形背景下探求线段和的最小值2.1 在直角梯形中探求线段和的最小值例 3（2010 江苏扬州）如图 3，在直角梯形 ABCD 中，ABC90，ADBC，AD4，AB5，BC6，点

21、 P 是 AB 上一个动点，当 PCPD 的和最小时，PB 的长为_分析：在这里有一个动点，两个定点符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法解：如图 3 所示，作点 D 关于直线 AB 的对称点 E，连接 CE，交 AB 于点 P，此时 PCPD 和最小，为线段 CE因为 AD4，所以 AE=4因为ABC90，ADBC，所以EAP90因为APEBPC,所以APEBPC，所以 .因为AE=4，BC6，所以 ，所以 ，所以 ,因为 AB5，所以 PB=3.2.2 在等腰梯形中探求线段和的最小值例 4 如图 4，等腰梯形 ABCD 中，AB=AD=CD=1，ABC=60，P 是上底，下

22、底中点 EF 直线上的一点，则 PA+PB 的最小值为 分析：根据等腰梯形的性质知道，点 A 的对称点是点 D，这是解题的一个关键点其次运用好直角三角形的性质是解题的又一个关键解：如图 4 所示，因为点 D 关于直线 EF 的对称点为 A，连接 BD，交 EF 于点 P，此时 PAPB 和最小，为线段 BD过点 D 作 DGBC，垂足为 G，因为四边形 ABCD 是等腰梯形，且 AB=AD=CD=1，ABC=60，所以C=60，GDC=30，所以 GC= ,DG= 因为ABC60，ADBC，所以BAD120因为 AB=AD，所以ABD=ADB=30，所以ADBC=30，所以BD=2DG=2 =

23、 所以 PA+PB 的最小值为 2.3 在菱形中探求线段和的最小值例 5 如图 5 菱形 ABCD 中，AB=2，BAD=60，E 是 AB 的中点，P 是对角线 AC 上的一个动点，则 PE+PB 的最小值为 分析：根据菱形的性质知道，点 B 的对称点是点 D，这是解题的一个关键点解：如图 5 所示，因为点 B 关于直线 AC 的对称点为 D，连接 DE，交 AC 于点 P，此时 PEPB 和最小，为线段 ED因为四边形 ABCD 是菱形，且BAD=60，所以三角形 ABD 是等边三角形因为 E 是 AB 的中点，AB=2，所以AE=1，DEAB，所以 ED= 所以 PEPB 的最小值为 2

24、.4 在正方形中探求线段和的最小值例 6 如图 6 所示，已知正方形 ABCD 的边长为 8，点 M 在 DC 上，且DM=2，N 是 AC 上的一个动点，则 DN+MN 的最小值为 分析：根据正方形的性质知道，点 B 的对称点是点 D，这是解题的一个关键点解：如图 6 所示，因为点 D 关于直线 AC 的对称点为 B，连接 BM，交 AC 于点 N，此时 DNMN 和最小，为线段 BM因为四边形 ABCD 是正方形，所以BC=CD=8因为 DM=2，所以 MC=6，所以 BM= =10.所以DN+MN 的最小值为 10.例 7（2009?达州）如图 7，在边长为 2cm 的正方形 ABCD

25、中，点 Q 为 BC 边的中点，点 P 为对角线 AC 上一动点，连接 PB、PQ，则PBQ 周长的最小值为 cm（结果不取近似值）分析：在这里PBQ 周长等于 PB+PQ+BQ，而 BQ 是正方形边长的一半，是一个定值 1，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得 PB+PQ 的和最小问题因为题目中有一个动点 P，两个定点 B,Q 符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法解:如图 7 所示，根据正方形的性质知道点 B 与点 D 关于 AC 对称，连接DQ，交 AC 于点 P，连接 PB所以 BP=DP，所以 BP+PQ=DP+PQ=DQ在 RtCDQ 中，DQ= = ，所

26、以PBQ 的周长的最小值为：BP+PQ+BQ=DQ+BQ= +1故答案为 +1三、在圆背景下探求线段和的最小值例 8（2010 年荆门）如图 8，MN 是半径为 1 的O 的直径，点 A 在O 上，AMN30，B 为 AN 弧的中点，P 是直径 MN 上一动点，则 PAPB 的最小值为( )(A)2 (B) (C)1 (D)2分析：根据圆的对称性，作出点 A 的对称点 D，连接 DB，则线段和的最小值就是线段 DB 的长度解：如图 8，作出点 A 的对称点 D，连接 DB，OB,OD因为AMN30，B为 AN 弧的中点，所以弧 AB 的度数为 30，弧 AB 的度数为 30，弧 AN 的度数为

27、 60根据圆心角与圆周角的关系定理得到：BON30由垂径定理得：弧 DN 的度数为 60所以BODBON +DON= 30+60=90.所以 DB= .所以选择 B四、在反比例函数图象背景下探求线段和的最小值例 9（2010 山东济宁）如图 9，正比例函数 y= x 的图象与反比例函数 y=（k0）在第一象限的图象交于 A 点，过 A 点作 x 轴的垂线，垂足为 M，已知三角形 OAM 的面积为 1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果 B 为反比例函数在第一象限图象上的点（点 B 与点 A 不重合），且 B 点的横坐标为 1，在 x 轴上求一点 P，使 PA+PB 最小.分析：利用三角形的

28、面积和交点坐标的意义，确定出点 A 的坐标是解题的第一个关键要想确定出 PA+PB 的最小值，关键是明白怎样才能保证 PA+PB 的和最小，同学们可以联想我们以前学过的对称作图问题，明白了最小的内涵，解题的过程就迎刃而解了解：（1）设点 A 的坐标为（x，y），且点 A 在第一象限，所以OM=x,AM=y因为三角形 OAM 的面积为 1，所以 所以 xy=2，所以反比例函数的解析式为 y= （2）因为 y= x 与 y= 相交于点 A，所以 = x，解得 x=2，或 x=-2.因为 x0，所以 x=2，所以 y=1，即点 A 的坐标为（2，1）因为点 B 的横坐标为 1，且点 B 在反比例函数

29、的图像上，所以点 B 的纵坐标为 2，所点 B 的坐标为（1，2），所以点 B 关于 x 轴的对称点 D 的坐标为（1，-2）设直线 AD 的解析式为 y=kx+b，所以 ，解得 k=3，b=-5，所以函数的解析式为 y=3x-5，当 y=0 时，x= ，所以当点 P 在（ ，0）时，PA+PB 的值最小五、在二次函数背景下探求线段和的最小值例 10（2010 年玉溪改编）如图 10，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（1， ） ，AOB 的面积是 .（1）求点 B 的坐标；（2）求过点 A、O、B 的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点 C，使AOC 的周长最小？若存在，求出点 C 的 坐标；若不存在，请说明理由； 分析：在这里AOC 周长等于 AC+CO+AO，而 A,O 是定点，所以 AO 是一个定长，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得 AC+CO 的和最小问题因为题目中有一个动点 C，两个定点 A,O 符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法