1、量子力学常用积分公式(1) dxeanexdexaan11)0(n(2) cossi(si2bbax(3) deaxco)in(2xaex(4) cos1sinsin2(5) axdi2 axax)(i22(6) sinco1cos2(7 )axxaaxdi2(322 ( )ln(22 cc0a(8)dxca2(a0)arcsin(22xcax( 正偶数)20sinxd!)1(n(9) =( 正奇数)20cosxn!)(n( )20a(10) 0sindxa( )(11) ( )10!naxe 0,a正 整 数(12) dax202(13) 12102!)(nnaxnade(14) 10122
2、naxn(15) si02d(16) ( )0 2)(sinbabxea 0a( )0 2)(codax第二章：函数与波动方程1 试用量子化条件,求谐振子的能量 谐振子势能 21)(xmV(解)(甲法 )可以用 Wilson-Sommerfeld 的量子化条件式: nhpdq在量子化条件中,令 为振子动量, 为振子坐标,设总能量 Exmpxq则 2PE)2(mE代入公式得: nhdxm)(2量子化条件的积分指一个周期内的位移,可看作振幅 的四倍,要决定振幅 ,注意在 A 或OAaB 点动能为 0, ,(1)改写为:21aE(2)nhdxam22积分得: 遍乘 得21nhE乙法也是利用量子化条件
3、,大积分变量用时间 而不用位移 ,按题意振动角频率为 ,直接tx写出位移 ,用 的项表示:xtaqsi求微分: (4)tddcos求积分: (5)maxp将(4)(5)代量子化条件: nhtddqT022cosT 是振动周期,T= ,求出积分,得nham2 E2正整数3,1#2用量子化条件,求限制在箱内运动的粒子的能量,箱的长宽高分别为 .,cba(解 )三维问题,有三个独立量子化条件,可设想粒子有三个分运动,每一分运动是自由运动.设粒子与器壁作弹性碰撞,则每碰一次时,与此壁正交方向的分动量变号(如 ),其余分动量不变 ,设想粒子从某一分运动完pxx成一个周期,此周期中动量与位移同时变号,量子
4、化条件:(1) pnqpxaxxx dhd20(2)ybyyy(3)zczzz 0都是常数,总动量平方 总能量是:zyx, 22zyxpp)(212zyxpmE= )()()(22chbahnzyx= 822zyx但 正整数.3,1,nzyx#3 平面转子的转动惯量为 ,求能量允许值.(解)解释题意:平面转子是个转动体,它的位置由一坐标（例如转角 ）决定,它的运动是一种刚体的平面平行运动.例如双原子分子的旋转.按刚体力学,转子的角动量 ,但 是角速度,能量是21E利用量子化条件,将 理解成为角动量, 理解成转角 ,一个周期内的运动理解成旋转一周,pq则有(1)nhdpq220(1) 说明 是量
5、子化的(2) ( ) (2)nh3,1(3) 代入能量公式,得能量量子化公式: (3)2)(2nE#4有一带电荷 质量 的粒子在平面内运动,垂直于平面方向磁场是 B,求粒子能量允许值.em(解 )带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动 ,设圆半径是 ,线速度r是 ,用高斯制单位，洛伦兹与向心力平衡条件是:v(1)rmvcBe2又利用量子化条件,令 电荷角动量 转角pq(2)nhvvdpq220即 (3)nhr由(1)(2)求得电荷动能= mcBe12再求运动电荷在磁场中的磁势能,按电磁学通电导体在磁场中的势能=, 是电荷的旋转频率, ,代cBrvc *2场 强线 圈 面 积电 流场 强磁 矩 rv
6、2入前式得运动电荷的磁势能= (符号是正的)mcnBe2点电荷的总能量=动能+ 磁势能=E= ( )cne23,21#5对高速运动的粒子(静质量 )的能量和动量由下式给出:(1)21cvE(2)2cvmp试根据哈密顿量 (3)242pcEH及正则方程式来检验以上二式.由此得出粒子速度和德布罗意的群速度相等的关系.计算速度并证明它大于光速.(解)根据(3)式来组成哈氏正则方程式组: ,本题中 , ,因而qiiH vi pi(4)242242 pcmpcpv从前式解出 (用 表示)即得到(2).又若将(2)代入(3), 就可得到 (1)式. v其次求粒子速度 和它的物质波的群速度 间的关系.运用德
7、氏的假设: 于(3) 式vG kp右方, 又用 于(3)式左方,遍除 :Eh)(224kcm按照波包理论，波包群速度 是角频率丢波数的一阶导数：vG224kckvG= 242224 pcmc最后一式按照（4）式等于粒子速度 ，因而 。vvG又按一般的波动理论，波的相速度 是由下式规定 （ 是频率）kvp利用（5）式得知（6）cmp24故相速度（物质波的）应当超过光速。最后找出 和 的关系，将（1） （2）相除，再运用德氏波假设：vGp， （7）GcvkpE2vGpc2#6（1）试用 Fermat 最小光程原理导出光的折射定律21sinsi（2）光的波动论的拥护者曾向光的微粒论者提出下述非难：
8、如认为光是粒子，则其运动遵守最小作用量原理 认为 则0pdlmvp这将导得下述折射定律0pdl131sinsi这明显违反实验事实，即使考虑相对论效应，则对自由粒子： 仍就成立，E2cvp是粒子能量，从一种媒质到另一种媒质 E 仍不变，仍有 ，你怎样解决矛盾？0dl（解）甲法：光线在同一均匀媒质中依直线传播，因此自定点 A 到定点 B 的路径是两段直线：光程 QIn21设 A，B 到界面距离是 a,b(都是常量) 有2211secsecbaI又 AB 沿界面的投影 c 也是常数，因而 ， 存在约束条件：12（2）tgt21求(1)的变分,而将 , 看作能独立变化的,有以下极值条件 1(3)0se
9、csec 2221 dtgbtaI ndn再求（2）的变分 sec1c(3)与(4)消去 和 得12(5)21sinsi乙法见同一图,取 为变分参数,取 0 为原点，则有:x)(2221 xcbaI 求此式变分,令之为零,有： 0)(2221 xcbaIn这个式子从图中几何关系得知,就是(5).(2)按前述论点光若看作微粒则粒子速度 应等于光波的群速度 光程原理作vvG,依前题相速 ,而 , 是折射率, 是波前阵面更引起的,而0dlvGvGpc2cnp2n波阵面速度则是相速度 ,这样最小作用量原理仍可以化成最小光程原理.p0ndl前一非难是将光子的传播速度 看作相速度 的误解.vp#7当势能
10、改变一常量 C 时,即 ,粒子的波函数与时间无关部分变)(rV crV)(否?能量本征值变否?(解)设原来的薛定谔方程式是将方程式左边加减相等的量 得: 0)(2xEmdx C)(2CV这两个方程式从数学形式上来说完全相同,因此它们有相同的解 ,)(x从能量本征值来说,后者比前者增加了 C。#8设粒子势能的极小值是 EnVmi(证)先求粒子在某一状态中的平均值能量 xdrE32*)(其中动能平均值一定为正: xmT32*)(= d2*= mm*2*)(用高斯定理: dsdTB*2*2)(= dm*2中间一式的第一项是零,因为 假定满足平方可积条件,因而 因此 ,能0TVTE让能量平均值 因此
11、令 (本征态) 则 而VminEminnn得证i#9设粒子在势场 中运动 (1)证明其能量的平均值是:)(r(1)dxmWdxE2*其中 W 是能量密度 (2)证明能量守恒公式(2)0St其中 (能流密度)(2*ttm(证明)(1)三维粒子的能量算符是: (3)VmH2求 在状态 中的平均值HxddxE32* )( 由于 ，将此式代入前一式：*2*)( rr dxdxmE*3* rr rdx*3*23*2)(最末一式按高斯定理化为面积分 Sdxmr S*3*2)(若 满足平方可积条件，则 ，S 考虑为无限远处的界面。结果证得公式0lir求式中能量密度 W 的时间偏导数，注意 。 一般都含时间，
12、 ， 也是如*此，因而： 2*mttttt *2 2 2*2* tttmtt* 22* mttm*2t粒子满足含时间薛定谔方程及其共轭方程式：2mti *2*mti又设 则有*2ttS StttW*公式得证。10设 N 个粒子的哈密顿量为：211jiNijii rmH是它的任一态函数，定义：),(21trN(,ti),)(trjrji*331, Nrdt)(2),( *11*331 Nrdrimtrj 求证： 0jt证明按定义： ),(trtii Nii trdd*31313 i ii tr )(*31313iitr),(多粒子的体系的状态 应当满足多粒子薛定谔方程式，写出这个方程式和其),2
13、1trN共轭方程式： （6a）jkkvmti(2(6b)jkkkti *2*)(将前二式等式右方的式子代替左方的 ， ，代进式t* )(2*22*1313 kkkiii imrdrt )(*1313 jkjkjkii vi )(2*22*31313 kkkNii imrdrd )(*,31313 kkkkii i又待证的公式的等号左方第二项是： ),(trjjiii ),(,(121 trjii ),(),(),(21 trjtrjtrj iiii)(2 *,31313 iiii Niirdrdmi kkkkiiii imtt )(2*,31313 -将式两个求和合一，注意到 的项不存在，因而
14、等值异号。ki11设 与 是薛定谔方程式两个解，证明 与时间无关。12 321*),(,dxttx证明试将此式对时间求偏导数，再利用 ， 所满足的薛定谔方程式，有：1*2xdttxdt 31*21*321* )(因 1*1*21*mti222ti xdiixdt 321*21*2321* )(mi 321*21*)(2 sdi )(21*21*最后一道等号是利用高斯定理将题给的体积分（）变换成（）的包围面 S 的面积分，若 1， 2 满足平方可积条件0lim,0li11rr等，可使这面积分等于零。所以体积分 是与时间无关的。 32*),(,dxttx#12 考虑单粒子的薛定谔方程式：),()(
15、,(2),( 21txiVxtmtxi V1，V 2 为实函数，证明粒子的几率不守恒。求出在空间体积 内，粒子几率“丧失”或“增加”的速率。解：要证明几率不守恒，可以计算总几率的时间变化率，先考察空间一定体积 中粒子出现的总几率，按 Born 假设，总几率是xdP3*求总几率的时间变化率（1）xdtxt 3*3* )(再根据薛定谔方程式和其共轭方程式求出 和 ，有tt*（2）*21*2* iVmit将（2）代入（1） ，化简后得 xditP 3*2*22* )(利用高斯定理将右方第一项变形： xVxmit 32*3*)(2（3） dSdi 32*)(如果粒子的运动范围是无限的，并且符合平方可积
16、条件，则在无限远处 ，0，因而（3）式的面积分等于 0。0*（4）xdVtP32*)(这证明总几率 不守恒，因为 。x3* 0tP如果考察有限体积 之内总几率的变化率，令： )(2*imJ（3）式改写为：（5）xdVsdJtPs 32*)(是空间 内粒子几率减少或增加的速度，右方 是指 的包围面 S 上几率流tPsJ动的速度（流进或流出） ，右方 指由虚数势能引起的，附加的几率变xdV32*)(化速率，题目所指的是这一项。13对于一维自由运动粒子，设 求 。)(0,(x2),t（解）题给条件太简单，可以假设一些合理的条件，既然是自由运动，可设粒子动量是 ，能量是 E，为了能代表一种最普遍的一维
17、自由运动，可以认为粒子的波函数是个波p包（许多平面波的叠加） ，其波函数：（1）pdetxiExip)(21),( 这是一维波包的通用表示法，是一种福里哀变换，上式若令 应有0t（2）dexpxip)()0,(但按题意，此式等于 。但我们知道一维 函数一种表示是：x（3）kdexik21)(将（2） （3）二式比较：知道 ，并且求得 ，于是（1）成为p2)(p（4）detxiEpxip)(21),(这是符合初条件的波函数，但 之间尚有约束条件 （因为是自由粒子，, mpE2总能量等于动能） ，代入（4）（5）pdetxpimpxi)2(21),(将此式变形成高斯积分，容易得到所需结果：pdet
18、xpimxittimx)2(21),( 利用积分 ：de2timtxtix1),(2写出共轭函数（前一式 变号）： tietxtimx2),(2ttt 2)(1),(2本题也可以用 Fresnel 积分表示，为此可将（6）式积分改为： dptmxtidptmxt 22 )(2sn)(2cos 用课本公式得 ，两者相乘，可得相同的结果。tixeitx*)1(),(#14在非定域势中粒子的薛定谔方程式是：（1）xdtxVtxmtxti 32/,， 求几率守恒对非定域势的要求。此时，只依赖于波函数 在空间一点的几率波是否存在？解 按题意，是要求写出几率守恒的条件，从这个条件寻出 应当遵守的V，要求。
19、几率守恒的条件是：03*xdt或 (2 )3*t与13题类似，可写出1的共轭方程式：(3 )xdtxVtxmtxti x 3*2* ， 将1和3中的 和 想等同的式子代入到2 式中去，就得到如下的条件：t*012 3* 3*22* xdtxVtxtxVtxidmi ， 将前式等号左方第一项变成面积分高斯定理 ，第二项变成六重积分：(4 )012 3* xdtxVtxtxVtisdmixs ， 前式等号左方第一项由于波函数平方可积条件（ ）可消时当， 0*去，因 和 形式相同, 对易：tx，t，x（5）3* xdtVxx ， 这积分式定积分，它等于零的可能性要求被积函数为零，即：V， *因此 必
20、须是 实函数。#x， x与15写出动量表象中的薛定谔方程式。解本题可有二中A 含时间薛定谔方程式，B定态薛定谔方程式。A写出含时间薛氏方程式：（1）xVmti2为将前式变换成动量表象，可写出含时间的表象变换式：（2）pdetxtxxi3/2/3，（3）ttpxpi3/2/3，为了能用（3）变换（1）式，将（1）式遍乘 ，对空间积分：hxpie/2/31xdemtiipxi3/2/32/1xVip3/2/3左方变形(4)tpti xdetxti pi， ，3/2/31等号右方第一积分是可以用三重积分的分部积分来变形的，这式写成标量：(5)dxyzezyxmzpyxi /222/31 计算（5）的
21、 x 部分分部积分法：dyzezpyxizyx/2dzpyxizyx /dyzexzpyiyx/）（ xzipzpyxix/dyeizyxzpyix/）（ zipzpyixyx/）（ dxyeizyxzpyix/2）（）（ zpzyxzpyix/2）（关于 的积分按同法计算， （5）式的结果是2， dxyzetxpmpizyx /22/31 ，/2/31xpiethp，tm，2再计算（4）式右方第二积分xdetxVpi3/2/31， 3/2/3 ptxip ，pdxeVtxde pihipp 3/1）（，（7）dtGp 3，但最后一个积分中 xdexVhpGpip 3/21 ）（， 指坐标空间
22、， 指动量相空间，最后将（4） （6） （7）综合起来就得到动量表象的积分方程式如下：（8）pdtpGtpmtpti p 32 ， 若要将定态薛定谔方程式从坐标表象变成动量表象，运算步骤和上面只有很少的差别，设粒子能量为 E，坐标表象的薛氏方程：02xVx动量表象方程也是积分方程式，其中 G（ ）是这个方程式的核（Kernel）p，（9）02 2dtpEpm， #16*设在曲线坐标（ ）中线元 ds 表为321qkikdgs2写出这曲线坐标中的薛定谔方程式，写出球面坐标系中的薛定谔方程式。（解） 同样关于 y,z 有类似的二式。 （这里为书写方便 q 的321qxqxd上标改成下标。 ）*参看
23、 Amer.J.Phys.Vol.41.1973-11 21212122 dqzqyxdzyxds 2222312323 dqzqyx21212121 32323232 dqzqyxq13131313令 为坐标变换系数：）（ kixyzikqg设沿曲线坐标等势面的单位矢量是 则321a， kzjyixgrad321qgaq1321 g13213212 qgradiv（1） 32322q代入直角坐标薛定谔方程式： 2312132321321 qgqggmtqti （2）tVq313223 但 3213211321 tqzyxtq ，V在球坐标情形 式正交坐标系cossincosinrzryrx
24、， 12221 rzrgrzyxg2222 sin2223 代入后得 ，rVrmtisin1sisii222化简得 ，rVmrtisin1sini122#17证明从单粒子的薛定谔方程式得出的速度场是非旋的，即/0jv*（证明）薛定谔方程式为：（1）EVm2根据它的解 和它的共轭波函数 可写出几率密度 和几率流密度 ：tx，tx，* J*）（ *2miJ速度算符 *2miiv 1112 * kzjyixi kzjyixmilnlln *ln2mi因而证明 v 是一个标量场 的对数的梯度。梯度是非旋的。x/*（周）18.证明在定态中，几率流与时间无关。证：对于定态，可令)r()r()r(m2i e
25、)r(eeei )(2iJ e)r t(ftr( * EtiEti*EtiEti*Eti 与与与与与可见 无关。tJ与19. 由下列定态波函数计算几率流密度：ikrikr ee1)2( 1)( 从所得结果说明 表示向外传播的球面波， 表示向内(即向原点) 传播的球1 2面波。解： 分 量只 有和 rJ21在球坐标中 sinr1er0rmkr rikrii eerrimiJ ikrikrikik302 022 01*11 )()( ( )(2 )(同向。表示向外传播的球面波。rJ1与rmkr r)1ikr(1)i1(2i e(ereri )(m2iJ )( 30 022 0ikrikrikikr*2 可见， 反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。rJ与2补充：设 ，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？ikxe)(d*波函数不能按 方式归一化。1)(2x其相对位置几率分布函数为表示粒子在空间各处出现的几率相同。12
