1、第三章 多维随机变量及其分布,在第二章, 我们讨论了一个随机变量的情况. 在许多实际问题中, 对于随机试验的结果仅用一个随机变量来描述是不够的, 需要同时考虑两个或两个以上的随机变量.,(1) 调查炮弹落地点的位置时, 须同时由平面上横坐标X和纵坐标Y这两个随机变量来确定;,例如:,(2) 研究某地区儿童的身体素质时, 对这一地区的儿童进行抽查, 须同时考察其身高X1, 体重X2, 心肺功能X3, 以及视力X4等多个随机变量.,显然此时, 我们必须必须把这些随机变量作为一个整体(即向量)来研究.,我们称由同一样本空间的n个随机变量X1,X2, ,Xn构成的整体X=(X1,X2, ,Xn) 为n
2、维随机变量或n维随机向量.,一维随机向量就是我们第二章所讲的随机变量.,第一节 多维随机变量及其联合分布,1. 多维随机变量的联合分布2. 常用的多维随机变量,多维随机变量的概率分布该怎么描述呢?,类似于一维随机变量, 我们可以统一用分布函数来研究; 然后, 对于离散和连续两种情形下的多维随机变量, 我们可以用分布列和密度函数来分别研究.,1.多维随机变量的联合分布,定义:,为简明起见, 本章则主要讨论二维随机变量, 二维以上的随机变量可类似地进行.,定义:,(X,Y)取值就相当于在平面内取值, 所以F(x,y)就是随机向量(X,Y)落在以(x,y)为顶点的左下方无穷矩形区域内的概率, 见下面
3、阴影部分.,分布函数F(x,y)具有下列基本性质:,注意:,二维随机向量的分类: 离散型和连续型,定义 若二维随机向量(X,Y)的可能取值(x,y)是有限个或可列无穷个, 则称(X,Y)是二维离散型随机向量.,设随机向量(X,Y)的所有可能值为(xi,yj), i,j=1,2, , 则,为随机向量(X,Y)的联合分布列.,或更加直观的, (X,Y)的联合分布列也可用二向表来表示,分布律pij的两条基本性质:,例一. 连续抛一枚硬币三次, 定义X是获得的正面的次数, Y是三次中正面向上的次数与反面向上的次数差的绝对值. 试求(X,Y)的分布律.,解: (X,Y) 取值情况为,所以(X,Y)的分布
4、律为,或更加直观的, (X,Y)的分布律可用下表表示,例二. 从分别标有号码1,2,2,3,3,4的6个球中任取三个球, X,Y分别表示其中的最小号码与最大号码. 求: (1) (X,Y)的分布律; (2) P(X+Y5); (3)分布函数值F(1,3).,解: (1) X的可能值为1,2,3; Y的可能值为2,3,4.,但(X,Y)的可能取值为,(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4).,根据古典法求概率:,所以, (X,Y)的分布律为,定义: 对二维随机向量(X,Y)的分布函数为F(x,y), 如果存在非负可积二元函数p(x,y), 使得对任意(x,
5、y),有,则称(X,Y)为二维连续随机变量, 称p(x,y)为(X,Y)的联合密度函数.,联合密度函数p(x,y)具有下列基本性质:,这条性质表明: 密度函数p(x,y)与xy平面之间的体积等于1.,一般地, 设G是XY平面上的任一区域, 则,即(X,Y)落在区域G中的概率等于p(x,y)在G上的二重积分, 也就是以G为底面, p(x,y)为顶面的柱体体积.,类似于一维情形,因此, p(x,y)反映了(X,Y)落在(x,y)附近的概率的大小.,例三. 设连续型随机向量(X,Y)具有概率密度,解:,(3) 首先在平面上画出区域G:X+Y1.,2.常用多维随机变量,多项分布多维超几何分布多维均匀分
6、布二维正态分布,多项分布(Multinomial Distribution),多项分布的适用情形.,进行n重独立的试验, 每次试验有r种可能的结果:A1, A2, ,Ar, 且每个结果发生的概率为pi=P(Ai). 记Xi是在这n次试验里Ai的次数, 多维随机变量 (X1, X2, ,Xr )称为多项分布的变量, (X1, X2, ,Xr )的概率分布称为多项分布, 记为 M(n, p1, p2, , pr),多项分布的分布列,从二项分布的分布列的求法, 不难推出,例四，袋中有N个球, 其中a个红球, b个白球, c个黑球(a+b+c=N), 现每次从袋中取一球, 放回式的抽样, 共取n球.
7、设X, Y分别是n球中红球和白球的个数, 求 (X,Y)的联合分布列.,每取一球相当于一次试验, 有三种可能结果: 红球, 白球, 黑球, 而且在每次试验中, 由于是放回式抽样, 各个结果出现的概率是定值. 再令Z代表黑球的数目, 则根据多项分布的定义,注意: 本题中, 放回式抽样是保证(X,Y,Z)是多项分布的关键; 当采用非放回是抽样时, (X,Y,Z)不再是多项分布, 而是下面即将介绍的多维超几何分布.,多维超几何分布,多项超几何分布的适用情形.,同一维超几何分布一样, 它常用在抽样调查中, 抽样是非放回式的, 只是现在产品不再仅仅分为两类: 正品, 次品, 而是多类. 例如: 袋子中有
8、N只球, 共分为r类, 其中第i类的只数为Ni, 所以有N=N1+N2+Nr. 现从中非放回地抽取n只球, 记Xi为n个球中第i类球的个数, 则(X1,X2, ,Xr)服从多维超几何分布, 其分布列为,例五，在例四中, 若采用非放回式的抽样, 求(X,Y)的联合分布列.,解: 令Z代表黑球的数目. 由于采用非放回式的抽样, 则根据多维超几何分布的定义, (X,Y,Z)服从超几何分布,多维均匀分布,二维均匀分布,定义: 设D为xy平面上的一个有界区域, 其面积为SD, 若二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为,则称(X,Y)服从区域D上的二维均匀分布.,例六. 设三角形ABC中, AB=BC=1
9、, 角B=90度. 现在三角形ABC内任取一点M, M到AB, BC的距离分别为X,Y, 求:(1) (X,Y)的联合密度函数;(2) M到B的距离小于1/2的概率;(3) M到BC的距离大于1/2的概率.,解: 以B为原点, BC为横轴, BA为纵轴建立直角坐标系,(1), 因M在三角形ABC内是随机的, 所以(X,Y)是三角形ABC内的均匀分布, 所以其联合概率密度是,(2) M到B的距离小于1/2的概率为,(3) M到BC的距离大于1/2的概率为,二维正态分布,定义: 如果二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为,二维正态分布的联合密度函数的图形为:,关于二维正态随机变量联合密度函数里各个参数的含义, 以及该变量的概率的计算, 我们将在后续的章节里进一步的详细讨论.,3.1 作业,教材第150页习题 5, 6, 9,13,
